Jump to content

Вронскиан

В математике вронскиан образованный дифференцируемых n функций — это определитель, функциями и их n – 1 первыми производными. Он был введен в 1812 году польским математиком Юзефом Хёне-Вронским и используется при изучении дифференциальных уравнений , где иногда может показать линейную независимость набора решений.

Определение [ править ]

Вронскиан двух дифференцируемых функций f и g равен .

В более общем смысле, для n действительных или комплексных функций f 1 , …, f n , которые n – 1 раз дифференцируемы на интервале I , вронскиан это функция на определяется

Это определитель матрицы , построенной путем размещения функций в первой строке, первых производных функций во второй строке и так далее до производная, образуя квадратную матрицу .

Когда функции f i являются решениями линейного дифференциального уравнения , вронскиан можно найти явно, используя Абеля , даже если функции fi тождество не известны явно. (См. ниже.)

Вронский линейная независимость и

Если функции f i линейно зависимы, то такими же являются и столбцы вронскиана (поскольку дифференцирование — линейная операция), и вронскиан обращается в нуль. Таким образом, можно показать, что набор дифференцируемых функций линейно независимы на интервале, показав, что их вронскиан не обращается в нуль тождественно. Однако в отдельных точках оно может исчезнуть. [1]

Распространенным заблуждением является то, что W = 0 везде подразумевает линейную зависимость. Пеано (1889) указывал, что функции x 2 и | х |   · x имеют непрерывные производные, и их вронскиан исчезает всюду, однако они не являются линейно зависимыми ни в одной окрестности 0 . [а] Есть несколько дополнительных условий, которые в сочетании с исчезновением вронскиана в интервале подразумевают линейную зависимость.

  • Максим Бошер заметил, что если функции аналитичны , то исчезновение вронскиана на интервале означает, что они линейно зависимы. [3]
  • Бохер (1901) привел несколько других условий исчезновения вронскиана, подразумевающих линейную зависимость; например, если вронскиан n функций тождественно равен нулю и n вронскианов n – 1 из них не все обращаются в нуль в любой точке, то функции линейно зависимы.
  • Уолссон (1989а) дал более общее условие, которое вместе с исчезновением вронскиана подразумевает линейную зависимость.

Над полями положительной характеристики р вронскиан может обращаться в нуль даже для линейно независимых многочленов; например, вронскиан x п и 1 тождественно 0.

к линейным дифференциальным Приложение уравнениям

В общем, для линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка, если решения известны, последнее можно найти с помощью вронскиана.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в обозначениях Лагранжа :

где , известны, а y — неизвестная функция, которую нужно найти. Давайте позвоним два решения уравнения и образуют их вронскиан

Затем дифференцируя и используя тот факт, что подчиняясь приведенному выше дифференциальному уравнению, показывает, что

Следовательно, вронскиан подчиняется простому дифференциальному уравнению первого порядка и может быть точно решен:

где и является константой.

Теперь предположим, что мы знаем одно из решений, скажем . Тогда по определению вронскиана подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка:

и может быть решено точно (по крайней мере теоретически).

Метод легко обобщается на уравнения более высокого порядка.

Обобщенные вронскианцы [ править ]

Для n функций нескольких переменных обобщенный вронскиан — это определитель матрицы размера n на n с элементами D i ( f j ) (при 0 ≤ i < n ), где каждый D i представляет собой некоторый линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами порядка я . Если функции линейно зависимы, то все обобщенные вронскианы обращаются в нуль. Как и в случае с одной переменной, обратное, вообще говоря, неверно: если все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, это не означает, что функции линейно зависимы. Однако во многих особых случаях верно обратное. Например, если функции являются полиномами и все обобщенные вронскианы равны нулю, то функции линейно зависимы. Рот использовал этот результат об обобщенных вронскианах в своем доказательстве теоремы Рота . Более общие условия, при которых справедливо обратное, см. в Wolsson (1989b) .

История [ править ]

Вронский был введен Юзефом Хёне-Вронским ( 1812 г. ), а свое нынешнее название ему дал Томас Мьюир ( 1882 г. , глава XVIII).

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. Пеано публиковал свой пример дважды, потому что в первый раз, когда он опубликовал его, редактор Пол Мэнсион , который неправильно написал учебник, утверждая, что исчезновение вронскиана подразумевает линейную зависимость, добавил сноску к статье Пеано, утверждая, что этот результат верен. до тех пор, пока ни одна из функций не равна тождественному нулю. Во второй статье Пеано указывалось, что эта сноска — ерунда. [2]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Бендер, Карл М .; Орзаг, Стивен А. (1999) [1978], Передовые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений , Нью-Йорк: Springer, стр. 9, ISBN  978-0-387-98931-0
  2. ^ Энгдаль, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г.
  3. ^ Энгдаль, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. Раздел «Об определителе Вронского» . дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г. Самая известная теорема принадлежит Бохеру и гласит, что если вронскиан аналитические функции равны нулю, то функции линейно зависимы ([B2], [BD]). [Цитаты «B2» и «BD» относятся к Бошеру ( 1900–1901 ) и Бостану и Дюма ( 2010 ) соответственно.]

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1853f442f55767805d820307978d0e16__1716725400
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/18/16/1853f442f55767805d820307978d0e16.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Wronskian - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)