Вронскиан
Дифференциальные уравнения |
---|
Объем |
Классификация |
Решение |
Люди |
В математике вронскиан образованный дифференцируемых n функций — это определитель, функциями и их n – 1 первыми производными. Он был введен в 1812 году польским математиком Юзефом Хёне-Вронским и используется при изучении дифференциальных уравнений , где иногда может показать линейную независимость набора решений.
Определение [ править ]
Вронскиан двух дифференцируемых функций f и g равен .
В более общем смысле, для n действительных или комплексных функций f 1 , …, f n , которые n – 1 раз дифференцируемы на интервале I , вронскиан это функция на определяется
Это определитель матрицы , построенной путем размещения функций в первой строке, первых производных функций во второй строке и так далее до производная, образуя квадратную матрицу .
Когда функции f i являются решениями линейного дифференциального уравнения , вронскиан можно найти явно, используя Абеля , даже если функции fi тождество не известны явно. (См. ниже.)
Вронский линейная независимость и
Если функции f i линейно зависимы, то такими же являются и столбцы вронскиана (поскольку дифференцирование — линейная операция), и вронскиан обращается в нуль. Таким образом, можно показать, что набор дифференцируемых функций линейно независимы на интервале, показав, что их вронскиан не обращается в нуль тождественно. Однако в отдельных точках оно может исчезнуть. [1]
Распространенным заблуждением является то, что W = 0 везде подразумевает линейную зависимость. Пеано (1889) указывал, что функции x 2 и | х | · x имеют непрерывные производные, и их вронскиан исчезает всюду, однако они не являются линейно зависимыми ни в одной окрестности 0 . [а] Есть несколько дополнительных условий, которые в сочетании с исчезновением вронскиана в интервале подразумевают линейную зависимость.
- Максим Бошер заметил, что если функции аналитичны , то исчезновение вронскиана на интервале означает, что они линейно зависимы. [3]
- Бохер (1901) привел несколько других условий исчезновения вронскиана, подразумевающих линейную зависимость; например, если вронскиан n функций тождественно равен нулю и n вронскианов n – 1 из них не все обращаются в нуль в любой точке, то функции линейно зависимы.
- Уолссон (1989а) дал более общее условие, которое вместе с исчезновением вронскиана подразумевает линейную зависимость.
Над полями положительной характеристики р вронскиан может обращаться в нуль даже для линейно независимых многочленов; например, вронскиан x п и 1 тождественно 0.
к линейным дифференциальным Приложение уравнениям
В общем, для линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка, если решения известны, последнее можно найти с помощью вронскиана.
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в обозначениях Лагранжа :
Затем дифференцируя и используя тот факт, что подчиняясь приведенному выше дифференциальному уравнению, показывает, что
Следовательно, вронскиан подчиняется простому дифференциальному уравнению первого порядка и может быть точно решен:
Теперь предположим, что мы знаем одно из решений, скажем . Тогда по определению вронскиана подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка:
Метод легко обобщается на уравнения более высокого порядка.
Обобщенные вронскианцы [ править ]
Для n функций нескольких переменных обобщенный вронскиан — это определитель матрицы размера n на n с элементами D i ( f j ) (при 0 ≤ i < n ), где каждый D i представляет собой некоторый линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами порядка я . Если функции линейно зависимы, то все обобщенные вронскианы обращаются в нуль. Как и в случае с одной переменной, обратное, вообще говоря, неверно: если все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, это не означает, что функции линейно зависимы. Однако во многих особых случаях верно обратное. Например, если функции являются полиномами и все обобщенные вронскианы равны нулю, то функции линейно зависимы. Рот использовал этот результат об обобщенных вронскианах в своем доказательстве теоремы Рота . Более общие условия, при которых справедливо обратное, см. в Wolsson (1989b) .
История [ править ]
Вронский был введен Юзефом Хёне-Вронским ( 1812 г. ), а свое нынешнее название ему дал Томас Мьюир ( 1882 г. , глава XVIII).
См. также [ править ]
- Изменение параметров
- Матрица Мура , аналогичная вронскиану с заменой дифференцирования эндоморфизмом Фробениуса над конечным полем.
- Переменная матрица
- Матрица Вандермонда
Примечания [ править ]
- ↑ Пеано публиковал свой пример дважды, потому что в первый раз, когда он опубликовал его, редактор Пол Мэнсион , который неправильно написал учебник, утверждая, что исчезновение вронскиана подразумевает линейную зависимость, добавил сноску к статье Пеано, утверждая, что этот результат верен. до тех пор, пока ни одна из функций не равна тождественному нулю. Во второй статье Пеано указывалось, что эта сноска — ерунда. [2]
Цитаты [ править ]
- ^ Бендер, Карл М .; Орзаг, Стивен А. (1999) [1978], Передовые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений , Нью-Йорк: Springer, стр. 9, ISBN 978-0-387-98931-0
- ^ Энгдаль, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г.
- ^ Энгдаль, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. Раздел «Об определителе Вронского» . дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г.
Самая известная теорема принадлежит Бохеру и гласит, что если вронскиан аналитические функции равны нулю, то функции линейно зависимы ([B2], [BD]). [Цитаты «B2» и «BD» относятся к Бошеру ( 1900–1901 ) и Бостану и Дюма ( 2010 ) соответственно.]
Ссылки [ править ]
- Боше, Максим (1900–1901). «Теория линейной зависимости» . Анналы математики . 2 (1/4). Принстонский университет : 81–96. дои : 10.2307/2007186 . hdl : 2027/hvd.hn57mn . ISSN 0003-486X . JSTOR 2007186 .
- Бошер, Максим (1901), «Некоторые случаи, в которых исчезновение вронскиана является достаточным условием для линейной зависимости» (PDF) , Труды Американского математического общества , 2 (2), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 139 –149, doi : 10.2307/1986214 , ISSN 0002-9947 , JFM 32.0313.02 , JSTOR 1986214
- Бостан, Алин; Дюма, Филипп (2010). «Вронскианы и линейная независимость». Американский математический ежемесячник . 117 (8). Тейлор и Фрэнсис : 722–727. arXiv : 1301.6598 . дои : 10.4169/000298910x515785 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/000298910x515785 . S2CID 9322383 .
- Хартман, Филип (1964), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1 , МР 0171038 , Збл 0125.32102
- Хёне-Вронский, Юзеф (1812), Опровержение теории аналитических функций Лагранжа , Париж
- Мьюир, Томас (1882), Трактат по теории детерминантов. , Макмиллан, JFM 15.0118.05
- Пеано, Джузеппе (1889), «Об определителе Вронского». , Mathesis (на французском языке), IX : 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01
- Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Вронскиан» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Уолссон, Кеннет (1989a), «Условие, эквивалентное линейной зависимости для функций с исчезающим вронскианом», Линейная алгебра и ее приложения , 116 : 1–8, doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5 , ISSN 0024- 3795 , МР 0989712 , Збл 0671.15005
- Уолссон, Кеннет (1989b), «Линейная зависимость набора функций из m переменных с исчезающими обобщенными вронскианами», Линейная алгебра и ее приложения , 117 : 73–80, doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X , ISSN 0024-3795 , МР 0993032 , Збл 0724.15004