Задача Коши

в Задача Коши математике требует решения уравнения в частных производных , которое удовлетворяет определенным условиям, заданным на гиперповерхности в данной области. ^[1] Задача Коши может быть начальной или краевой задачей (для этого случая см. также Краевое условие Коши ). Он назван в честь Огюстена-Луи Коши .

Официальное заявление [ править ]

Для уравнения в частных производных, определенного на R ^п+1 и гладкое многообразие S ⊂ R ^п+1 размерности n ( S называется поверхностью Коши ), задача Коши состоит в нахождении неизвестных функций $u_{1},\dots ,u_{N}$ дифференциального уравнения относительно независимых переменных $t,x_{1},\dots ,x_{n}$ это удовлетворяет ^[2]

{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}

при условии, за некоторую стоимость

t=t_{0}

,

{\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1

где $\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})$ заданы функции, определенные на поверхности $S$ (вместе известные как данные Коши задачи). Производная нулевого порядка означает, что задана сама функция.

Теорема Коши–Ковалевского [ править ]

Теорема Коши –Ковалевского утверждает, что если все функции $F_{i}$ аналитичны точки в некоторой окрестности $(t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )$ , и если все функции $\phi _{j}^{(k)}$ аналитичны в некоторой окрестности точки $(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ , то задача Коши имеет единственное аналитическое решение в некоторой окрестности точки $(t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Адамар, Жак (1923). Лекции по задаче Коши в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. стр. 4–5. OCLC 1880147 .
^ Петровский, И.Г. (1991) [1954]. Лекции по уравнениям в частных производных . Перевод Шеницера А. (изд. Дувра). Нью-Йорк: Межнаучный. ISBN 0-486-66902-5 .

3. ^ Хилле, Эйнар (1956) [1954]. Некоторые аспекты проблемы Коши. Труды '5 4 ICM, том III, раздел II (полчасовой анализ приглашения), стр. 1 0 9 ~ 1 6 .

4. ^ Сигеру Мизохата (опубликовано в 1965 г.). Лекции по задаче Коши. Институт фундаментальных исследований Тата.

5.^ Sigeru Mizohata (1985).On the Cauchy Problem. Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering. 3. Academic Press, Inc.. ISBN 9781483269061

6.^Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши, Биркхаузер.

Внешние ссылки [ править ]

Задача Коши в MathWorld .

[1] Адамар, Жак (1923). Лекции по задаче Коши в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. стр. 4–5. OCLC 1880147 .

[2] Петровский, И.Г. (1991) [1954]. Лекции по уравнениям в частных производных . Перевод Шеницера А. (изд. Дувра). Нью-Йорк: Межнаучный. ISBN 0-486-66902-5 .

[1]

[2]