Дифференциально-алгебраическая система уравнений

В математике дифференциально -алгебраическая система уравнений ( ДАУ ) — это система уравнений , которая либо содержит дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения , либо эквивалентна такой системе.

Множество решений такой системы является дифференциально-алгебраическим многообразием и соответствует идеалу в дифференциальной алгебре дифференциальных полиномов .

В одномерном случае ДАУ по переменной t можно записать в виде одного уравнения вида

$F(x'(t),x(t),t)=0,$

где $x(t)$ — вектор неизвестных функций.

Они отличаются от обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) тем, что ДАУ не полностью разрешима для производных всех компонентов функции x, поскольку не все они могут появиться (т. е. некоторые уравнения являются алгебраическими); технически различие между неявной системой ОДУ [которую можно сделать явной] и системой ДАУ состоит в том, что матрица Якобиана ${\frac {\partial F(u,v,t)}{\partial u}}$ — сингулярная матрица системы ДАУ. Это различие между ОДУ и ДАУ проводится потому, что ДАУ имеют разные характеристики и, как правило, их сложнее решить.

С практической точки зрения различие между ДАУ и ОДУ часто заключается в том, что решение системы ДАУ зависит от производных входного сигнала, а не только от самого сигнала, как в случае с ОДУ; эта проблема обычно встречается в нелинейных системах с гистерезисом . например, триггер Шмитта .

Эта разница станет более заметной, если переписать систему так, чтобы вместо x рассматривать пару $(x,y)$ векторов зависимых переменных, а ДАУ имеет вид

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}$

где $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$, $f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}$ и $g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.$

Система ДАУ такого вида называется полуявной . Каждое решение второй половины g уравнения определяет уникальное направление для x через первую половину f уравнений, в то время как направление для y является произвольным. Но не каждая точка (x,y,t) является решением g . Переменные в x и первой половине f уравнений получают дифференциал атрибутов . Компоненты y и второй половины g уравнений называются алгебраическими переменными или уравнениями системы. [Термин «алгебраический» в контексте ДАУ означает только «свободный от производных» и не имеет отношения к (абстрактной) алгебре.]

Решение ДАУ состоит из двух частей: сначала поиск согласованных начальных значений, а затем вычисление траектории. Чтобы найти согласованные начальные значения, часто необходимо учитывать производные некоторых функций-компонентов ДАУ. Высший порядок производной, необходимый для этого процесса, называется индексом дифференцирования . Уравнения, полученные при вычислении индекса и согласованных начальных значений, также могут быть полезны при расчете траектории. Полуявную систему ДАУ можно преобразовать в неявную, уменьшив индекс дифференцирования на единицу, и наоборот.

DAE

Отличие ДАУ от ОДУ становится очевидным, если некоторые из зависимых переменных встречаются без своих производных. Тогда вектор зависимых переменных можно записать в виде пары $(x,y)$ и система дифференциальных уравнений ДАУ имеет вид

$F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0$

где

• $x$, вектор в $\mathbb {R} ^{n}$, — зависимые переменные, для которых имеются производные ( дифференциальные переменные ),
• $y$, вектор в $\mathbb {R} ^{m}$, являются зависимыми переменными, у которых нет производных ( алгебраические переменные ),
• $t$, скаляр (обычно время) является независимой переменной.
• $F$ представляет собой вектор $n+m$ функции, которые включают в себя подмножества этих $n+m+1$ переменные и $n$ производные.

В целом множество ДАУ представляет собой функцию

$F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.$

Начальные условия должны быть решением системы уравнений вида

$F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.$

Примеры

Поведение маятника длины L с центром в (0,0) в декартовых координатах ( x , y ) описывается уравнениями Эйлера–Лагранжа

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}$

где $\lambda$ является множителем Лагранжа . Переменные импульса u и v должны быть ограничены законом сохранения энергии, а их направление должно указывать вдоль окружности. Ни одно из условий не является явным в этих уравнениях. Дифференцирование последнего уравнения приводит к

${\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}$

ограничивая направление движения касательной к окружности. Следующая производная этого уравнения означает

${\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}$

и производная этой последней идентичности упрощается до $L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0$ что подразумевает сохранение энергии, так как после интегрирования константа $E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy$ представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии.

Для получения уникальных значений производных для всех зависимых переменных последнее уравнение было трижды дифференцировано. Это дает индекс дифференциации 3, что типично для механических систем со связями.

Если начальные значения $(x_{0},u_{0})$ и знак для y заданы, остальные переменные определяются через $y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}$, и если $y\neq 0$ затем $v=-ux/y$ и $\lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}$. Чтобы перейти к следующему пункту, достаточно получить производные x и u , то есть система, которую нужно решить, теперь имеет вид

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}$

Это полуявное ДАУ индекса 1. Другой набор аналогичных уравнений можно получить, исходя из $(y_{0},v_{0})$ и знак x .

ДАУ также естественным образом возникают при моделировании схем с нелинейными устройствами. Модифицированный узловой анализ с использованием DAE используется, например, в повсеместно распространенном SPICE . семействе числовых симуляторов схем Аналогично, компании Fraunhofer пакет Analog Insydes Mathematica можно использовать для получения DAE из списка соединений , а затем в некоторых случаях упрощать или даже символически решать уравнения. Стоит отметить, что индекс ДАЭ (схемы) можно сделать сколь угодно высоким путем каскадирования/связывания через конденсаторы операционных усилителей с положительной обратной связью .

Полуявное DAE индекса 1

ДАЭ формы

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}$

называются полуявными. Свойство index-1 требует, g разрешимо чтобы для y . Другими словами, индекс дифференцирования равен 1, если в результате дифференцирования алгебраических уравнений относительно t получается неявная система ОДУ:

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}$

которое разрешимо для $({\dot {x}},\,{\dot {y}})$ если $\det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.$

Любое достаточно гладкое ДАУ почти всюду сводится к этой полуявной форме индекса 1.

обработка DAE

Двумя основными проблемами при решении ДАУ являются уменьшение индекса и согласованность начальных условий . Большинству численных решателей требуются обыкновенные дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения вида

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}$

Преобразование произвольных систем ДАУ в ОДУ для решения с помощью чистых решателей ОДУ является нетривиальной задачей. Методы, которые можно использовать, включают алгоритм Пантелидеса и метод уменьшения индекса фиктивной производной . В качестве альтернативы также возможно прямое решение ДАУ с высоким индексом и противоречивыми начальными условиями. Этот подход к решению включает преобразование производных элементов посредством ортогонального сочетания конечных элементов или прямой транскрипции в алгебраические выражения. Это позволяет решать ДАУ любого индекса без перестановки в форме открытого уравнения.

${\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}$

После преобразования модели в форму алгебраического уравнения ее можно решить с помощью крупномасштабных решателей нелинейного программирования (см. APMonitor ).

Управляемость

Было разработано несколько показателей управляемости ДАУ с точки зрения численных методов, таких как индекс дифференциации , индекс возмущения , индекс управляемости , геометрический индекс и индекс Кронекера .

DAE

Мы используем $\Sigma$-метод анализа ДАУ. Построим для ДАУ сигнатурную матрицу $\Sigma =(\sigma _{i,j})$, где каждая строка соответствует каждому уравнению $f_{i}$ и каждый столбец соответствует каждой переменной $x_{j}$. Вход в позицию $(i,j)$ является $\sigma _{i,j}$, что обозначает высший порядок производной, к которому $x_{j}$ происходит в $f_{i}$, или $-\infty$ если $x_{j}$ не происходит в $f_{i}$.

Для маятникового DAE, описанного выше, переменные равны $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )$. Соответствующая матрица сигнатур

$\Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}$

См. также

• Алгебраическое дифференциальное уравнение , другое понятие, несмотря на похожее название.
• Дифференциальное уравнение с задержкой
• Алгебраическое уравнение в частных производных
• моделики Язык

Дальнейшее чтение

Книги

• Хайрер, Э.; Ваннер, Г. (1996). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: жесткие и дифференциально-алгебраические задачи (2-е исправленное изд.). Берлин: Springer-Verlag.
• Ашер, Ури М.; Петцольд, Линда Р. (1998). Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений . Филадельфия: СИАМ. ISBN  978-0-89871-412-8 .
• Кункель, Питер; Мерманн, Фолькер Людвиг (2006). Дифференциально-алгебраические уравнения: анализ и численное решение . Цюрих, Швейцария: Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-017-3 .
• Кадзуо Мурота (2009). Матрицы и матроиды для системного анализа . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-03994-2 . (Охватывает структурный подход к расчету индекса DAE.)
• Маттиас Гердтс (2012). Оптимальное управление ОДУ и ДАУ . Вальтер де Грюйтер. ISBN  978-3-11-024999-6 .
• Ламур, Рене; Марч, Росвита ; Тишендорф, Карен (2013). Дифференциально-алгебраические уравнения: анализ на основе проектора . Гейдельберг: Спрингер. ISBN  978-3-642-27554-8 .

Различные статьи

• Г. Фабиан; Д.А. ван Бик; Дж. Э. Руда (2001). «Уменьшение индекса и обработка разрывов с использованием уравнений замены» (PDF) . Математическое и компьютерное моделирование динамических систем . 7 (2): 173–187. CiteSeerX   10.1.1.8.5859 . дои : 10.1076/mcmd.7.2.173.3646 . S2CID   14450374 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 апреля 2005 г.
• Илие, Сильвана; Корлесс, Роберт М.; Рид, Грег (2006). «Численные решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса -1 можно вычислить за полиномиальное время». Численные алгоритмы . 41 (2): 161–171. CiteSeerX   10.1.1.71.7366 . дои : 10.1007/s11075-005-9007-1 . S2CID   14684538 .
• Недиалков, Нед С.; Прайс, Джон Д. (2005). «Решение дифференциально-алгебраических уравнений с помощью ряда Тейлора (I): вычисление коэффициентов Тейлора» (PDF) . КУСОЧЕК . 45 (3): 561–591. дои : 10.1007/s10543-005-0019-y . S2CID   16451180 .
• Недиалков, Нед С.; Прайс, Джон Д. (2005). «Решение дифференциально-алгебраических уравнений с помощью ряда Тейлора (II): вычисление якобиана системы» (PDF) . КУСОЧЕК . 47 : 121–135. CiteSeerX   10.1.1.455.6965 . дои : 10.1007/s10543-006-0106-8 . S2CID   16666782 .
• Недиалков, Нед С.; Прайс, Джон Д. (2007). «Решение дифференциально-алгебраических уравнений с помощью ряда Тейлора (III): код DAETS» (PDF) . Журнал численного анализа, промышленной и прикладной математики (JNAIAM) . 1 (1): 1–30. ISSN   1790-8140 .
• Недиалков, Нед С.; Прайс, Джон Д.; Тан, Гуаннин (2014). «DAESA — инструмент Matlab для структурного анализа дифференциально-алгебраических уравнений: программное обеспечение» (PDF) . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 41 (2): 1–14. дои : 10.1145/2700586 . S2CID   16655498 .
• Прайс, Джон Д.; Недиалков, Нед С.; Тан, Гуаннин (2014). «DAESA — инструмент Matlab для структурного анализа дифференциально-алгебраических уравнений: алгоритм» (PDF) . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 41 (2): 1–20. дои : 10.1145/2689664 . S2CID   311443 .
• Рубичек, Т.; Валашек, М. (2002). «Оптимальное управление причинно-дифференциальными алгебраическими системами» . Дж. Математика. Анальный. Приложение . 269 ​​(2): 616–641. дои : 10.1016/s0022-247x(02)00040-9 .

Внешние ссылки

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations