Динамика населения

Динамика населения — это тип математики, используемый для моделирования и изучения размера и возрастного состава населения как динамических систем .

История [ править ]

Динамика населения традиционно была доминирующей отраслью математической биологии , история которой насчитывает более 220 лет. ^[1] хотя за последнее столетие сфера применения математической биологии значительно расширилась. ^{[ нужна цитата ]}

Начало демографической динамики широко рассматривается как работа Мальтуса , сформулированная как мальтузианская модель роста . Согласно Мальтусу, если предположить, что условия (окружающая среда) остаются постоянными ( при прочих равных условиях ), население будет расти (или сокращаться) в геометрической прогрессии . ^[2]^: 18 Этот принцип лег в основу последующих теорий прогнозирования, таких как демографические исследования, такие как работы Бенджамина Гомпертца. ^[3] и Пьер Франсуа Верхюльст в начале 19 века, который уточнил и скорректировал мальтузианскую демографическую модель. ^[4]

Более общая формулировка модели была предложена Ф. Дж. Ричардсом в 1959 г. ^[5]далее расширенный Саймоном Хопкинсом , в котором модели Гомпертца, Ферхюльста, а также Людвига фон Берталанфи рассматриваются как частные случаи общей формулировки. — Уравнения «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры еще один известный пример. ^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13] а также альтернативные уравнения Ардити–Гинзбурга . ^[14]^[15]

Логистическая функция [ править ]

Упрощенные демографические модели обычно начинаются с четырех ключевых переменных (четырех демографических процессов ), включая смерть, рождение, иммиграцию и эмиграцию. Математические модели, используемые для расчета изменений в демографии и эволюции населения, исходят из предположения об отсутствии внешнего влияния. Модели могут быть более математически сложными, когда «...данным одновременно противопоставляются несколько конкурирующих гипотез». ^[16] Например, в закрытой системе, где не происходит иммиграции и эмиграции, скорость изменения численности особей в популяции можно описать как:

{\frac {dN}{dt}}=B-D=bN-dN=(b-d)N=rN,

где

N

— общее количество особей в конкретной изучаемой экспериментальной популяции,

B

— число рождений, а D — число смертей на одну особь в конкретном эксперименте или модели. Алгебраические символы

b

,

d

и

r

обозначают уровни рождаемости, смертности и скорость изменений на одного человека в общей популяции, внутреннюю скорость роста. Эту формулу можно прочитать как скорость изменения численности населения (

dN / dt

) равна рождаемости минус смертность (

B - D

). ^[2]^[13]^[17]

Используя эти методы, принцип роста населения Мальтуса позже был преобразован в математическую модель, известную как логистическое уравнение :

{\frac {dN}{dt}}=aN\left(1-{\frac {N}{K}}\right),

где

N

— плотность биомассы,

a

— максимальная скорость изменения на душу населения, а

K

— пропускная способность населения. Формулу можно прочитать следующим образом: скорость изменения численности населения (

dN / dt

) равна приросту (

aN

), который ограничен пропускной способностью

(1 - N / K)

. Из этих основных математических принципов дисциплина популяционной экологии расширяется до области исследований, которые изучают демографию реальных популяций и сравнивают эти результаты со статистическими моделями. В области популяционной экологии часто используются данные об истории жизни и матричная алгебра для разработки матриц проекций плодовитости и выживаемости. Эта информация используется для управления запасами диких животных и установления квот на вылов. ^[13]^[17]

роста скорость Внутренняя

Скорость, с которой популяция увеличивается в размерах, если нет сил, зависящих от плотности, регулирующих популяцию, известна как внутренняя скорость роста . Это

{\frac {dN}{dt}}=rN

где производная

dN/dt

— темп прироста населения,

N

— размер населения, а

r

— собственная скорость прироста. Таким образом, r — это максимальная теоретическая скорость увеличения численности населения на одну особь, то есть максимальная скорость роста населения. Эта концепция обычно используется в экологии или управлении популяциями насекомых , чтобы определить, как факторы окружающей среды влияют на скорость увеличения популяций вредителей. См. также экспоненциальный рост населения и логистический рост населения. ^[18]

Эпидемиология [ править ]

Динамика населения пересекается с другой активной областью исследований в математической биологии: математической эпидемиологией , изучением инфекционных заболеваний, поражающих население. Были предложены и проанализированы различные модели распространения вируса, которые дают важные результаты, которые могут быть применены к решениям политики здравоохранения. ^{[ нужна цитата ]}

Геометрические популяции [ править ]

*Популяции Operophtera brumata* геометрические. ^[19]

Приведенная ниже математическая формула используется для моделирования геометрических популяций. Такие популяции растут в отдельные репродуктивные периоды между интервалами воздержания , в отличие от популяций, которые растут без определенных периодов для воспроизводства. Предположим, что натуральное число $t$ является индексом поколения ( $t=0$ для первого поколения, $t=1$ для второго поколения и т. д.). Буква $t$ используется потому, что индексом поколения является время. Скажем $, N t$ обозначает в поколении $t$ количество особей популяции, которые будут воспроизводиться, т. е. размер популяции в поколении $t$ . Популяция следующего поколения, то есть популяция в момент времени $t+1,$ равна: ^[20]

N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}+I_{t}-E_{t}

где

$B t$ — число рождений в популяции между поколениями $t$ и $t +1$ ,
$D t$ — число смертей между поколениями $t$ и $t + 1$ ,
$I t$ — число иммигрантов , добавленных к населению между поколениями $t$ и $t + 1$ , и
$E t$ — число эмигрантов , выбывших из населения между поколениями $t$ и $t + 1$ .

Для простоты мы предполагаем, что миграция в популяцию или из нее отсутствует, но следующий метод можно применить без этого предположения. Математически это означает, что для всех $I$ t $t = E t = 0$ . Предыдущее уравнение принимает вид:

N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}.

В целом число рождений и число смертей примерно пропорциональны численности населения. Это замечание мотивирует следующие определения.

Уровень рождаемости в момент времени $t$ определяется соотношением $b t = B t / N t$ .
Уровень смертности во время $t$ определяется как $d t = D t / N t$ .

Тогда предыдущее уравнение можно переписать так:

N_{t+1}=(1+b_{t}-d_{t})N_{t}.

Тогда мы предполагаем, что уровни рождаемости и смертности не зависят от времени $t$ (что эквивалентно предположению, что число рождений и смертей эффективно пропорционально численности населения). Это основное предположение для геометрических популяций, поскольку с его помощью мы собираемся получить геометрическую последовательность . Затем мы определяем геометрическую скорость роста $R = b t - d t$ как коэффициент рождаемости минус уровень смертности. Геометрическая скорость прироста не зависит от времени $t$ , поскольку, согласно нашему предположению, ни коэффициент рождаемости, ни уровень смертности не зависят друг от друга. Мы получаем:

{\begin{aligned}N_{t+1}&=\left(1+R\right)N_{t}.\end{aligned}}

Это уравнение означает, что последовательность

(N t)

является геометрической с первым членом

N 0

и общим отношением

1 + R

, которое мы определяем как

λ

.

λ

также называется конечной скоростью роста.

Следовательно, по индукции получаем выражение численности популяции в момент времени $t$ :

N_{t}=\lambda ^{t}N_{0}

где

λ т

— конечная скорость роста, возведенная в степень числа поколений. Последнее выражение удобнее предыдущего, поскольку оно явно. Например, скажем, кто-то хочет вычислить с помощью калькулятора

N 10

численность населения в десятом поколении, зная

N 0 —

начальную численность населения и

λ —

конечную скорость прироста. В последней формуле результат виден сразу, если подставить

t = 10

, необходимо ли с предыдущей формулой знать

N 9

,

N 8

, ...,

N 2

до

N 1

.

Мы можем выделить три случая:

Если $λ > 1$ , т. е. если $R > 0$ , т. е. (при условии, что и рождаемость, и смертность не зависят от времени $t$ ), если $b 0 > d 0$ , т. е. если рождаемость строго превышает смертность, то численность популяции увеличивается и стремится к бесконечности. Конечно, в реальной жизни население не может расти бесконечно: в какой-то момент у него не хватает ресурсов, и поэтому уровень смертности увеличивается, что лишает законной силы наше основное предположение, поскольку уровень смертности теперь зависит от времени.
Если $λ < 1$ , т. е. если $R < 0$ , т. е. (в предположении, что и рождаемость, и смертность не зависят от времени $t$ ), если $b 0 < d 0$ , т. е. если рождаемость строго меньше смертности, то численность популяции уменьшается и стремится к $0$ .
Если $λ = 1$ , т.е. если $R = 0$ , т.е. (в предположении, что уровень рождаемости и смертности не зависит от времени $t$ ), если $b0 т.е. если уровень = d0,$ рождаемости равен уровню смертности, то Размер популяции постоянен и равен исходной популяции $N 0$ .

Время удвоения [ править ]

Время удвоения ( $t d$ ) популяции — это время, необходимое для того, чтобы популяция выросла вдвое. ^[24] Мы можем рассчитать время удвоения геометрической популяции, используя уравнение: $N t = λ т N 0$ , используя наши знания о том, что популяция ( $N$ ) увеличивается в два раза по сравнению с размером ( $2 N$ ) после времени удвоения. ^[20]

{\begin{aligned}N_{t_{d}}&=\lambda ^{t_{d}}N_{0}\\2N_{0}&=\lambda ^{t_{d}}N_{0}\\\lambda ^{t_{d}}&=2\end{aligned}}

Время удвоения можно найти, взяв логарифм . Например:

t_{d}\log _{2}(\lambda )=\log _{2}(2)=1\implies t_{d}={\frac {1}{\log _{2}(\lambda )}}

Или:

t_{d}\ln(\lambda )=\ln(2)\implies t_{d}={\frac {\ln(2)}{\ln(\lambda )}}={\frac {0.693...}{\ln(\lambda )}}

Поэтому:

t_{d}={\frac {1}{\log _{2}(\lambda )}}={\frac {0.693...}{\ln(\lambda )}}

полураспада популяций Период геометрических

Период полураспада популяции — это время, необходимое для того, чтобы популяция сократилась вдвое. Мы можем рассчитать период полураспада геометрической популяции, используя уравнение: $N t = λ т N 0$ , используя наши знания о том, что популяция ( $N$ ) уменьшается вдвое ( $0,5 N$ ) после периода полураспада. ^[20]

N_{t_{1/2}}=\lambda ^{t_{1/2}}N_{0}\implies {\frac {1}{2}}N_{0}=\lambda ^{t_{1/2}}N_{0}\implies \lambda ^{t_{1/2}}={\frac {1}{2}}

где

t 1/2

– период полураспада.

Период полураспада можно рассчитать, взяв логарифмы (см. выше).

t_{1/2}={\frac {1}{\log _{0.5}(\lambda )}}=-{\frac {\ln(2)}{\ln(\lambda )}}

Обратите внимание: поскольку предполагается, что численность населения сокращается, $λ < 1$ , поэтому $ln(λ) < 0$ .

Математическая связь между геометрическими популяциями и логистическими

В геометрических популяциях $R$ и $λ$ представляют собой константы роста (см. 2 и 2.3 ). Однако в логистических популяциях внутренняя скорость роста, также известная как внутренняя скорость роста ( $r$ ), является соответствующей константой роста. Поскольку поколения воспроизводства в геометрической популяции не перекрываются (например, размножаются один раз в год), но перекрываются в экспоненциальной популяции, геометрическая и экспоненциальная популяции обычно считаются взаимоисключающими. ^[25] Однако оба набора констант имеют математическое соотношение, приведенное ниже. ^[20]

Уравнение роста экспоненциальной популяции:

N_{t}=N_{0}e^{rt}

где

e

— число Эйлера , универсальная константа , часто применимая в логистических уравнениях, а

r

— собственная скорость роста.

Чтобы найти связь между геометрической популяцией и логистической популяцией, мы предполагаем, что $N t$ одинаково для обеих моделей, и расширяем до следующего равенства:

{\begin{aligned}N_{0}e^{rt}&=N_{0}\lambda ^{t}\\e^{rt}&=\lambda ^{t}\\rt&=t\ln(\lambda )\end{aligned}}

Давая нам

r=\ln(\lambda )

и

\lambda =e^{r}.

Эволюционная теория игр [ править ]

Эволюционная теория игр была впервые разработана Рональдом Фишером в его статье 1930 года «Генетическая теория естественного отбора» . ^[26] В 1973 году Джон Мейнард Смит формализовал центральную концепцию — эволюционно стабильную стратегию . ^[27]

Динамика численности населения использовалась в нескольких приложениях теории управления . Эволюционную теорию игр можно использовать в различных промышленных и других контекстах. В промышленности он в основном используется в системах с несколькими входами и несколькими выходами ( MIMO ), хотя его можно адаптировать для использования в системах с одним входом и одним выходом ( SISO ). Другими примерами применения являются военные кампании, распределение воды , отправка распределенных генераторов , лабораторные эксперименты, транспортные проблемы, проблемы связи и другие.

Колебательный [ править ]

Размер популяции растений испытывает значительные колебания из-за ежегодных колебаний окружающей среды. ^[28] Динамика растений испытывает более высокую степень этой сезонности, чем млекопитающие, птицы или двустворчатые насекомые. ^[28] В сочетании с возмущениями, вызванными болезнями , это часто приводит к хаотичным колебаниям . ^[28]

В популярной культуре [ править ]

Компьютерная игра SimCity , Sim Earth и MMORPG Ultima Online , среди прочего, попытались смоделировать некоторые из этих демографических динамик.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Мальтус, Томас Роберт. Очерк принципа народонаселения : Экономическая библиотека
^ Перейти обратно: ^а ^б Турчин, П. (2001). «Есть ли в популяционной экологии общие законы?». Ойкос . 94 (1). John Wiley & Sons Ltd. ( Северное общество Ойкос ): 17–26. Бибкод : 2001Ойкос..94...17Т . дои : 10.1034/j.1600-0706.2001.11310.x . S2CID 27090414 .
^ Гомпертц, Бенджамин (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизни при непредвиденных обстоятельствах» . Философские труды Лондонского королевского общества . 115 : 513–585. дои : 10.1098/rstl.1825.0026 . S2CID 145157003 .
^ Верхюльст, PH (1838 г.). «Заметьте по закону, что численность населения продолжает увеличиваться» . Корр. Математика и физика . 10 : 113–121.
^ Ричардс, Ф.Дж. (июнь 1959 г.). «Гибкая функция роста для эмпирического использования» . Журнал экспериментальной ботаники . 10 (29): 290–300. дои : 10.1093/jxb/10.2.290 . JSTOR 23686557 . Проверено 16 ноября 2020 г.
^ Хоппенстедт, Ф. (2006). «Модель Хищник-жертва» . Схоларпедия . 1 (10): 1563. Бибкод : 2006SchpJ...1.1563H . doi : 10.4249/scholarpedia.1563 .
^ Лотка, AJ (1910). «Вклад в теорию периодической реакции» . Дж. Физ. хим. 14 (3): 271–274. дои : 10.1021/j150111a004 .
^ Гоэл, Н.С.; и другие. (1971). О Вольтерре и других нелинейных моделях взаимодействующих популяций . Академическая пресса .
^ Лотка, AJ (1925). Элементы физической биологии . Уильямс и Уилкинс .
^ Вольтерра, В. (1926). «Вариации и колебания численности особей сожительствующих видов животных». Мем. Линкейцы Рим . 2 :31–113.
^ Вольтерра, В. (1931). «Вариации и колебания численности особей у видов животных, живущих вместе». В Чепмене, Р.Н. (ред.). Экология животных . МакГроу-Хилл .
^ Кингсленд, С. (1995). Моделирование природы: эпизоды истории популяционной экологии . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-43728-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Берриман, А.А. (1992). «Происхождение и эволюция теории хищник-жертва» (PDF) . Экология . 73 (5): 1530–1535. дои : 10.2307/1940005 . JSTOR 1940005 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 мая 2010 г.
^ Ардити, Р.; Гинзбург, Л.Р. (1989). «Связь в динамике хищник-жертва: зависимость от соотношения» (PDF) . Журнал теоретической биологии . 139 (3): 311–326. Бибкод : 1989JThBi.139..311A . дои : 10.1016/s0022-5193(89)80211-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 17 ноября 2020 г.
^ Абрамс, Пенсильвания; Гинзбург, Л.Р. (2000). «Природа хищничества: зависит от добычи, зависит от соотношения или нет?». Тенденции в экологии и эволюции . 15 (8): 337–341. дои : 10.1016/s0169-5347(00)01908-x . ПМИД 10884706 .
^ Джонсон, Дж.Б.; Омланд, Канзас (2004). «Выбор модели в экологии и эволюции» (PDF) . Тенденции экологии и эволюции . 19 (2): 101–108. CiteSeerX 10.1.1.401.777 . дои : 10.1016/j.tree.2003.10.013 . ПМИД 16701236 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 июня 2011 г. Проверено 25 января 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вандермеер, Дж. Х.; Гольдберг, Делавэр (2003). Популяционная экология: Первые принципы . Вудсток, Оксфордшир : Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11440-8 .
^ Ян, Гэри С.; Алмазан, Либерти П.; Пасия, Джоселин Б. (2005). «Влияние азотных удобрений на внутреннюю скорость роста Hysteroneura setariae (Thomas) (Homoptera: Aphididae) на рисе ( Oryza sativa L.)» . Экологическая энтомология . 34 (4): 938–43. дои : 10.1603/0046-225X-34.4.938 .
^ Хассел, Майкл П. (июнь 1980 г.). «Стратегии добывания пищи, популяционные модели и биологический контроль: практический пример». Журнал экологии животных . 49 (2): 603–628. Бибкод : 1980JAnEc..49..603H . дои : 10.2307/4267 . JSTOR 4267 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Геометрические и экспоненциальные модели населения» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 апреля 2015 г. Проверено 17 августа 2015 г.
^ «Бацилла стеаротермофилус NEUF2011» . Микроб вики .
^ Чендлер, М.; Берд, RE; Каро, Л. (май 1975 г.). «Время репликации хромосомы K12 Escherichia coli как функция времени удвоения клеток». Журнал молекулярной биологии . 94 (1): 127–132. дои : 10.1016/0022-2836(75)90410-6 . ПМИД 1095767 .
^ Тобиасон, DM; Зайферт, HS (19 февраля 2010 г.). «Геномный состав видов Neisseria » . Журнал бактериологии . 192 (8): 2160–2168. дои : 10.1128/JB.01593-09 . ПМЦ 2849444 . ПМИД 20172999 .
^ Баучер, Лорен (24 марта 2015 г.). «Что такое время удвоения и как оно рассчитывается?» . Образование населения .
^ «Рост населения» (PDF) . Университет Альберты . Архивировано из оригинала (PDF) 18 февраля 2018 г. Проверено 16 ноября 2020 г.
^ «Эволюционная теория игр» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Центра изучения языка и информации (CSLI) Стэнфордского университета. 19 июля 2009 г. ISSN 1095-5054 . Проверено 16 ноября 2020 г.
^ Нанджундия, В. (2005). «Джон Мейнард Смит (1920–2004)» (PDF) . Резонанс . 10 (11): 70–78. дои : 10.1007/BF02837646 . S2CID 82303195 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Альтизер, Соня; Добсон, Эндрю; Хоссейни, Парвиес; Хадсон, Питер; Паскаль, Мерседес; Рохани, Пейман (2006). «Сезонность и динамика инфекционных заболеваний» . Обзоры и синтезы. Экологические письма . 9 (4). Blackwell Publishing Ltd ( Национальный центр научных исследований Франции (CNRS)): 467–84. Бибкод : 2006EcolL...9..467A . дои : 10.1111/J.1461-0248.2005.00879.X . hdl : 2027.42/73860 . ПМИД 16623732 . S2CID 12918683 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Андрей Коротаев , Артемий Малков и Дарья Халтурина. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мировой системы . ISBN 5-484-00414-4
Турчин, П. 2003. Комплексная демографическая динамика: теоретический/эмпирический синтез . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
Смит, Фредерик Э. (1952). «Экспериментальные методы динамики населения: критика». Экология . 33 (4): 441–450. Бибкод : 1952Экол...33..441С . дои : 10.2307/1931519 . JSTOR 1931519 .

Внешние ссылки [ править ]

Виртуальный справочник по динамике народонаселения . Онлайн-сборник современных базовых инструментов для анализа динамики популяций с упором на донных беспозвоночных.

[malthus-1] Мальтус, Томас Роберт. Очерк принципа народонаселения : Экономическая библиотека

[Turchin01-2] Перейти обратно: ^а ^б Турчин, П. (2001). «Есть ли в популяционной экологии общие законы?». Ойкос . 94 (1). John Wiley & Sons Ltd. ( Северное общество Ойкос ): 17–26. Бибкод : 2001Ойкос..94...17Т . дои : 10.1034/j.1600-0706.2001.11310.x . S2CID 27090414 .

[3] Гомпертц, Бенджамин (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизни при непредвиденных обстоятельствах» . Философские труды Лондонского королевского общества . 115 : 513–585. дои : 10.1098/rstl.1825.0026 . S2CID 145157003 .

[4] Верхюльст, PH (1838 г.). «Заметьте по закону, что численность населения продолжает увеличиваться» . Корр. Математика и физика . 10 : 113–121.

[5] Ричардс, Ф.Дж. (июнь 1959 г.). «Гибкая функция роста для эмпирического использования» . Журнал экспериментальной ботаники . 10 (29): 290–300. дои : 10.1093/jxb/10.2.290 . JSTOR 23686557 . Проверено 16 ноября 2020 г.

[scholarpedia-6] Хоппенстедт, Ф. (2006). «Модель Хищник-жертва» . Схоларпедия . 1 (10): 1563. Бибкод : 2006SchpJ...1.1563H . doi : 10.4249/scholarpedia.1563 .

[7] Лотка, AJ (1910). «Вклад в теорию периодической реакции» . Дж. Физ. хим. 14 (3): 271–274. дои : 10.1021/j150111a004 .

[Goelmany-8] Гоэл, Н.С.; и другие. (1971). О Вольтерре и других нелинейных моделях взаимодействующих популяций . Академическая пресса .

[9] Лотка, AJ (1925). Элементы физической биологии . Уильямс и Уилкинс .

[10] Вольтерра, В. (1926). «Вариации и колебания численности особей сожительствующих видов животных». Мем. Линкейцы Рим . 2 :31–113.

[11] Вольтерра, В. (1931). «Вариации и колебания численности особей у видов животных, живущих вместе». В Чепмене, Р.Н. (ред.). Экология животных . МакГроу-Хилл .

[12] Кингсленд, С. (1995). Моделирование природы: эпизоды истории популяционной экологии . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-43728-6 .

[Berryman1992-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с Берриман, А.А. (1992). «Происхождение и эволюция теории хищник-жертва» (PDF) . Экология . 73 (5): 1530–1535. дои : 10.2307/1940005 . JSTOR 1940005 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 мая 2010 г.

[14] Ардити, Р.; Гинзбург, Л.Р. (1989). «Связь в динамике хищник-жертва: зависимость от соотношения» (PDF) . Журнал теоретической биологии . 139 (3): 311–326. Бибкод : 1989JThBi.139..311A . дои : 10.1016/s0022-5193(89)80211-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 17 ноября 2020 г.

[15] Абрамс, Пенсильвания; Гинзбург, Л.Р. (2000). «Природа хищничества: зависит от добычи, зависит от соотношения или нет?». Тенденции в экологии и эволюции . 15 (8): 337–341. дои : 10.1016/s0169-5347(00)01908-x . ПМИД 10884706 .

[Johnson04-16] Джонсон, Дж.Б.; Омланд, Канзас (2004). «Выбор модели в экологии и эволюции» (PDF) . Тенденции экологии и эволюции . 19 (2): 101–108. CiteSeerX 10.1.1.401.777 . дои : 10.1016/j.tree.2003.10.013 . ПМИД 16701236 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 июня 2011 г. Проверено 25 января 2010 г.

[Vandermeer03-17] Перейти обратно: ^а ^б Вандермеер, Дж. Х.; Гольдберг, Делавэр (2003). Популяционная экология: Первые принципы . Вудсток, Оксфордшир : Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11440-8 .

[Jahn2005-18] Ян, Гэри С.; Алмазан, Либерти П.; Пасия, Джоселин Б. (2005). «Влияние азотных удобрений на внутреннюю скорость роста Hysteroneura setariae (Thomas) (Homoptera: Aphididae) на рисе ( Oryza sativa L.)» . Экологическая энтомология . 34 (4): 938–43. дои : 10.1603/0046-225X-34.4.938 .

[19] Хассел, Майкл П. (июнь 1980 г.). «Стратегии добывания пищи, популяционные модели и биологический контроль: практический пример». Журнал экологии животных . 49 (2): 603–628. Бибкод : 1980JAnEc..49..603H . дои : 10.2307/4267 . JSTOR 4267 .

[afrc.uamont.edu-20] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Геометрические и экспоненциальные модели населения» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 апреля 2015 г. Проверено 17 августа 2015 г.

[21] «Бацилла стеаротермофилус NEUF2011» . Микроб вики .

[22] Чендлер, М.; Берд, RE; Каро, Л. (май 1975 г.). «Время репликации хромосомы K12 Escherichia coli как функция времени удвоения клеток». Журнал молекулярной биологии . 94 (1): 127–132. дои : 10.1016/0022-2836(75)90410-6 . ПМИД 1095767 .

[23] Тобиасон, DM; Зайферт, HS (19 февраля 2010 г.). «Геномный состав видов Neisseria » . Журнал бактериологии . 192 (8): 2160–2168. дои : 10.1128/JB.01593-09 . ПМЦ 2849444 . ПМИД 20172999 .

[24] Баучер, Лорен (24 марта 2015 г.). «Что такое время удвоения и как оно рассчитывается?» . Образование населения .

[25] «Рост населения» (PDF) . Университет Альберты . Архивировано из оригинала (PDF) 18 февраля 2018 г. Проверено 16 ноября 2020 г.

[26] «Эволюционная теория игр» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Центра изучения языка и информации (CSLI) Стэнфордского университета. 19 июля 2009 г. ISSN 1095-5054 . Проверено 16 ноября 2020 г.

[27] Нанджундия, В. (2005). «Джон Мейнард Смит (1920–2004)» (PDF) . Резонанс . 10 (11): 70–78. дои : 10.1007/BF02837646 . S2CID 82303195 .

[Infectious-Diseases-28] Перейти обратно: ^а ^б ^с Альтизер, Соня; Добсон, Эндрю; Хоссейни, Парвиес; Хадсон, Питер; Паскаль, Мерседес; Рохани, Пейман (2006). «Сезонность и динамика инфекционных заболеваний» . Обзоры и синтезы. Экологические письма . 9 (4). Blackwell Publishing Ltd ( Национальный центр научных исследований Франции (CNRS)): 467–84. Бибкод : 2006EcolL...9..467A . дои : 10.1111/J.1461-0248.2005.00879.X . hdl : 2027.42/73860 . ПМИД 16623732 . S2CID 12918683 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

Время в минутах	% это G. stearothermophilus
30	44.4%
60	53.3%
90	64.9%
120	72.7%
→∞	100%

Время в минутах	% это кишечная палочка
30	29.6%
60	26.7%
90	21.6%
120	18.2%
→∞	0.00%

Время в минутах	% это N. meningitidis
30	25.9%
60	20.0%
90	13.5%
120	9.10%
→∞	0.00%