Random generalized Lotka–Volterra model

Пример динамики в фазах с единственной фиксированной точкой и множественными аттракторами с $S=64$ разновидность. Для обеих симуляций $(\mu _{\alpha },\gamma ,K,\sigma _{K})=(4,0,1,0)$. Для УФП, $\sigma _{\alpha }=1$; для МА, $\sigma _{\alpha }=2$.

Случайная обобщенная модель Лотки-Вольтерра (rGLV) представляет собой экологическую модель и случайный набор связанных обыкновенных дифференциальных уравнений , в которых параметры обобщенного уравнения Лотки-Вольтерра выбираются из распределения вероятностей , аналогично подавленному беспорядку . rGLV моделирует динамику сообщества видов, в котором численность каждого вида растет до уровня несущей способности, но истощается из-за конкуренции со стороны других видов. Его часто анализируют в пределе многих видов , используя инструменты статистической физики , в частности теории спинового стекла .

rGLV использовался как инструмент для анализа возникающего макроскопического поведения микробных сообществ с плотными и сильными межвидовыми взаимодействиями. Модель послужила контекстом для теоретических исследований, изучающих отношения разнообразие - стабильность в экологии сообществ. и свойства статического и динамического сосуществования . Динамическое поведение rGLV было картировано экспериментально в общественных микрокосмах. Модель rGLV также послужила объектом интереса для сообщества физиков спинового стекла и неупорядоченных систем с целью разработки новых методов и численных методов.

Определение

Случайная обобщенная модель Лотки–Вольтерра записывается как система связанных обыкновенных дифференциальных уравнений $${\frac {\mathrm {d} N_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {r_{i}}{K_{i}}}N_{i}\left(K_{i}-N_{i}-\sum _{j(\neq i)}\alpha _{ij}N_{j}\right),\qquad i=1,\dots ,S,$$где $N_{i}$ это обилие видов $i$, $S$ количество видов, $K_{i}$ это емкость видов $i$ при отсутствии взаимодействия, $r_{i}$ устанавливает временные рамки и $\alpha$ представляет собой случайную матрицу , элементы которой являются случайными величинами со средним значением $\langle \alpha _{ij}\rangle =\mu _{\alpha }/S$, дисперсия $\mathrm {var} (\alpha _{ij})=\sigma _{\alpha }^{2}/S$и корреляции $\mathrm {corr} (\alpha _{ij},\alpha _{ji})=\gamma$ для $i\neq j$ где $-1\leq \gamma \leq 1$. Матрица взаимодействия , $\alpha$, может быть параметризован как, $$\alpha _{ij}={\frac {\mu _{\alpha }}{S}}+{\frac {\sigma _{\alpha }}{\sqrt {S}}}a_{ij},$$где $a_{ij}$ являются стандартными случайными величинами (т. е. нулевым средним и единичной дисперсией) с $\langle a_{ij}a_{ji}\rangle =\gamma$ для $i\neq j$. Элементы матрицы могут иметь любое распределение с общими конечными первым и вторым моментами и будут давать идентичные результаты в больших масштабах. $S$ предел из-за центральной предельной теоремы . Несущую способность также можно рассматривать как случайную величину с $\langle K_{i}\rangle =K,\,\operatorname {var} (K_{i})=\sigma _{K}^{2}.$ Анализ с помощью методов, основанных на статистической физике, выявил фазовые переходы между различными качественными поведениями модели в многовидовом пределе . В некоторых случаях это может включать переходы между существованием уникальной глобально притягивающей фиксированной точки и хаотическими , постоянными колебаниями.

Стационарные содержания в термодинамическом пределе

В термодинамическом пределе (т. е. сообщество имеет очень большое количество видов), когда существует уникальная глобально привлекательная фиксированная точка, распределение численности видов можно вычислить с использованием метода полости , предполагая, что система является самоусредняющейся . Допущение самоусреднения означает, что распределение численности любого вида между выборками параметров модели соответствует распределению численности видов в пределах одной выборки параметров модели. В методе полости используется дополнительный среднего поля. вид $i=0$ вводится и отклик системы аппроксимируется линейно. Расчет полости дает самосогласованное уравнение, описывающее распределение численности видов как случайную величину среднего поля: $N_{0}$. Когда $\sigma _{K}=0$, уравнение среднего поля: $$0=N_{0}\left(K-\mu _{\alpha }m-N_{0}+{\sqrt {q\left(\mu _{\alpha }^{2}+\gamma \sigma _{\alpha }^{2}\right)}}Z+\sigma _{\alpha }^{2}\gamma \chi N_{0}\right),$$где $m=\langle N_{0}\rangle ,\,q=\langle N_{0}^{2}\rangle ,\,\chi =\langle \partial N_{0}/\partial K_{0}\rangle$, и $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ является стандартной нормальной случайной величиной . только экологически неоспоримые решения (т.е. самое масштабное решение для Принимаются $N_{0}$ в квадратном уравнении выбран). Соответствующая восприимчивость и моменты $N_{0}$, имеющее усеченное нормальное распределение , определяются самосогласованно.

Динамические фазы

В термодинамическом пределе, когда существует асимптотически большое число видов (т. е. $S\to \infty$), существует три отдельные фазы : одна, в которой существует уникальная фиксированная точка (UFP), другая с множественными аттракторами (MA) и третья с неограниченным ростом. На этапе MA, в зависимости от того, пополняется ли численность видов с небольшой скоростью, может ли приближаться к сколь угодно малому размеру популяции или они удаляются из сообщества, когда популяция падает ниже некоторого порогового значения, результирующая динамика может быть хаотичной с постоянными колебаниями или приближаться к установившееся состояние, зависящее от начальных условий.

О переходе из фазы УФП в фазу МА сигнализирует то, что решение полости становится неустойчивым к неупорядоченным возмущениям. Когда $\sigma _{K}=0$, граница фазового перехода возникает, когда параметры удовлетворяют, $$\sigma _{\alpha }={\frac {\sqrt {2}}{1+\gamma }}.$$В $\sigma _{K}>0$ В этом случае фазовую границу еще можно рассчитать аналитически, но решение в замкнутой форме не найдено; Численные методы необходимы для решения самосогласованных уравнений, определяющих фазовую границу.

О переходе к фазе неограниченного роста сигнализирует расхождение $\langle N_{0}\rangle$ как вычислено при расчете полости.

Динамическая теория среднего поля

Метод полости также можно использовать для получения динамической модели теории среднего поля для динамики. Расчет полости дает самосогласованное уравнение, описывающее динамику как гауссовский процесс, определяемый самосогласованным уравнением (для $\sigma _{K}=0$), $${\frac {\mathrm {d} N_{0}}{\mathrm {d} t}}=N_{0}(t)\left[K_{0}-N_{0}(t)-\mu _{\alpha }m(t)-\sigma _{\alpha }\eta (t)+\gamma \sigma _{\alpha }^{2}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t'\,\chi (t,t')N_{0}(t')\right],$$где $m(t)=\langle N_{0}(t)\rangle$, $\eta$ представляет собой гауссов процесс с нулевым средним с автокорреляцией $\langle \eta (t)\eta (t')\rangle =\langle N_{0}(t)N_{0}(t')\rangle$, и $\chi (t,t')=\langle \left.\delta N_{0}(t)/\delta K_{0}(t')\right|_{K_{0}(t')=K_{0}}\rangle$ – динамическая восприимчивость, определяемая через функциональную производную динамики по отношению к зависящему от времени возмущению несущей способности.

Используя динамическую теорию среднего поля, было показано, что на больших временах динамика демонстрирует старение, при котором характерный временной масштаб, определяющий затухание корреляций, увеличивается линейно по продолжительности динамики. То есть, $C_{N}(t,t+t\tau )\to f(\tau )$ когда $t$ большой, где $C_{N}(t,t')=\langle N(t)N(t')\rangle$ – автокорреляционная функция динамики и $f(\tau )$ — это обычная масштабирующая функция коллапса.

Когда низкий уровень иммиграции $\lambda \ll 1$ При добавлении (т. е. к правой части уравнений движения добавляется небольшая константа) динамика достигает переходно-инвариантного во времени состояния. При этом в динамике наблюдаются скачки между $O(1)$ и $O(\lambda )$ изобилие.

Похожие статьи

• Generalized Lotka–Volterra equation
• Конкурентные уравнения Лотки – Вольтерра
• Lotka–Volterra equations
• Модель потребительских ресурсов
• Теоретическая экология
• Случайная динамическая система
• Спиновое стекло
• Полостной метод
• Динамическая теория среднего поля
• Подавленный беспорядок
• Сообщество (экология)
• Экологическая стабильность

Дальнейшее чтение

• Конспект лекций курса Стефано Аллесины по экологии сообщества: https://stefanoallesina.github.io/Theoretical_Community_Ecology/
• Бунин, Гай (28 апреля 2017 г.). «Экологические сообщества с динамикой Лотка-Вольтерра». Физический обзор E. 95 (4): 042414. Бибкод: 2017PhRvE..95d2414B. doi:10.1103/PhysRevE.95.042414 . ПМИД 28505745.