Функциональная производная

В вариационном исчислении , области математического анализа , функциональная производная (или вариационная производная ) связывает изменение функционала ( функционалом в этом смысле является функция, действующая на функции) с изменением функции , от которой этот функционал зависит.

В вариационном исчислении функционалы обычно выражаются через интеграл от функций, их аргументов и производных . В подынтегральном выражении L функционала, если функция f варьируется путем добавления к ней другой функции δf , сколь угодно малой, и полученный подынтегральный выражение разлагается по степеням δf , коэффициент при δf в члене первого порядка называется функционалом производная.

Например, рассмотрим функционал

$$J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f\,'(x)\,)\,dx\ ,$$

где f ′( x ) ≡ df/dx . Если f варьируется путем добавления к ней функции δf , а полученный подынтегральный выражение L ( x, f +δf, f'+δf ′) разлагается по степеням δf , то изменение значения J до первого порядка по δf можно выразить следующим образом:

$$\delta J=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\,$$

где вариация производной δf ′ была переписана как производная вариации ( δf ) ′ , и интегрирование по частям в этих производных использовалось .

Определение

В этом разделе функциональный дифференциал (или вариант, или первый вариант) определяется. Тогда функциональная производная определяется через функциональный дифференциал.

Функциональный

Предполагать $B$ является банаховым пространством и $F$ представляет собой функционал, определенный на $B$.Дифференциал $F$ в какой-то момент $\rho \in B$ – линейный функционал $\delta F[\rho ,\cdot ]$ на $B$ определенный при условии, что для всех $\phi \in B$,

$$F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho ;\phi ]+\epsilon \cdot \|\phi \|$$

где $\epsilon$ действительное число, которое зависит от $\|\phi \|$ таким образом, что $\epsilon \to 0$ как $\|\phi \|\to 0$. Это означает, что $\delta F[\rho ,\cdot ]$ является Фреше производной $F$ в $\rho$.

Однако это понятие функционального дифференциала настолько сильно, что его может не существовать. более слабое понятие, такое как производная Гато и в этих случаях предпочтительнее . Во многих практических случаях функциональный дифференциал определяется как производная по направлению

$${\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что это понятие функционального дифференциала можно определить даже без нормы.

Функциональная производная

Во многих приложениях область определения функционала $F$ представляет собой пространство дифференцируемых функций $\rho$ определенный в некотором пространстве $\Omega$ и $F$ имеет форму

$$F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx$$

для какой-то функции $L(x,\rho (x),D\rho (x))$ это может зависеть от $x$, значение $\rho (x)$ и производная $D\rho (x)$.Если это так и, более того, $\delta F[\rho ,\phi ]$ можно записать как интеграл от $\phi$ раз другую функцию (обозначаемую δF / δρ )

$$\delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx$$

то эта функция δF / δρ называется функциональной производной F ρ в точке . Если $F$ ограничено только определенными функциями $\rho$ (например, если наложены некоторые граничные условия), то $\phi$ ограничивается такими функциями, что $\rho +\epsilon \phi$ продолжает удовлетворять этим условиям.

Эвристически, $\phi$ это изменение в $\rho$, поэтому мы «формально» имеем $\phi =\delta \rho$, и тогда это аналогично по форме полному дифференциалу функции $F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})$,

$$dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},$$

где $\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}$ являются независимыми переменными.Сравнивая последние два уравнения, функциональная производная $\delta F/\delta \rho (x)$ играет роль, аналогичную роли частной производной $\partial F/\partial \rho _{i}$, где переменная интегрирования $x$ похоже на непрерывную версию индекса суммирования $i$. Можно думать о δF / δρ как о градиенте F в точке ρ , поэтому значение δF / δρ(x) измеряет, насколько изменится функционал F , если функция ρ изменится в точке x . Отсюда формула

$$\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx$$

рассматривается как производная по направлению в точке $\rho$ в направлении $\phi$. Это аналогично векторному исчислению, где внутренний продукт вектора $v$ с градиентом дает производную по направлению в направлении $v$.

Свойства

Как и производная функции, функциональная производная удовлетворяет следующим свойствам, где F [ ρ ] и G [ ρ ] являются функционалами:

• Линейность:
  $${\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},$$
  где λ , µ — константы.
• Правило продукта:
  $${\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,$$
• Правила цепочки:
  • Если F — функционал, а G — другой функционал, то
    $${\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .$$
  • Если G — обычная дифференцируемая функция (локальный функционал) g , то это сводится к
    $${\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .$$

производных

Формулу для определения функциональных производных для общего класса функционалов можно записать как интеграл от функции и ее производных. Это обобщение уравнения Эйлера-Лагранжа : действительно, функциональная производная была введена в физике при выводе уравнения Лагранжа второго рода из принципа наименьшего действия в лагранжевой механике (18 век). Первые три примера ниже взяты из теории функционала плотности (20 век), четвертый — из статистической механики (19 век).

Формула

Учитывая функционал

$$F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},$$

и функция $\phi ({\boldsymbol {r}})$ который исчезает на границе области интегрирования из предыдущего раздела Определение ,

$${\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}$$

получается с использованием полной производной , где ∂f / ∂∇'ρ Вторая строка — производная скаляра по вектору .

Третья линия была получена с использованием правила произведения дивергенции . Четвертая строка была получена с использованием теоремы о расходимости и условия, что $\phi =0$ на границе области интеграции. С $\phi$ также является произвольной функцией, применяя фундаментальную лемму вариационного исчисления к последней строке, функциональная производная равна

$${\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}$$

где ρ знак равно ρ ( р ) и ж знак равно ж ( р , ρ , ∇ ρ ) . Эта формула предназначена для случая функциональной формы, заданной F [ ρ ] в начале этого раздела. Для других функциональных форм определение функциональной производной может использоваться в качестве отправной точки для ее определения. (См. пример функционала кулоновской потенциальной энергии .)

Приведенное выше уравнение для функциональной производной можно обобщить на случай, который включает производные более высоких размерностей и производных более высокого порядка. Функционал будет таким:

$$F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},$$

где вектор r ∈ R ^н , и ∇ ^{( я )} – тензор, n ^я компоненты представляют собой операторы частных производных порядка i ,

$$\left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .$$

Аналогичное применение определения функциональной производной дает

$${\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}$$

В последних двух уравнениях n ^я компоненты тензора ${\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}$ являются частными производными f относительно частных производных ρ ,

$$\left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,$$

а тензорное скалярное произведение равно:

$$\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .$$

Примеры

энергии Томаса –

Модель Томаса – Ферми 1927 года использовала функционал кинетической энергии для невзаимодействующего однородного электронного газа в первой попытке теории функционала плотности электронной структуры:

$$T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.$$

Поскольку подынтегральная функция T _TF [ ρ ] не включает производные ρ ( r ) , функциональная производная T _TF [ ρ ] равна:

$${\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}$$

кулоновской

Для электронно-ядерного потенциала Томас и Ферми использовали кулоновской функционал потенциальной энергии

$$V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.$$

Применяя определение функциональной производной,

$${\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}$$

Так,

$${\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .$$

Для классической части электрон-электронного взаимодействия Томас и Ферми использовали кулоновской функционал потенциальной энергии

$$J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.$$

Из определения функциональной производной ,

$${\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}$$

Первый и второй члены в правой части последнего уравнения равны, поскольку r и r ' во втором члене можно поменять местами без изменения значения интеграла. Поэтому,

$$\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}$$

а функциональная производная электрон-электронного функционала кулоновской потенциальной энергии J [ ρ ] равна:

$${\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.$$

Вторая функциональная производная

$${\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$$

энергии

В 1935 году фон Вайцзеккер предложил добавить градиентную поправку к функционалу кинетической энергии Томаса-Ферми, чтобы он лучше соответствовал молекулярному электронному облаку:

$$T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,$$

где

$$t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .$$

Используя ранее выведенную формулу для функциональной производной,

$${\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}$$

и результат,

$${\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .$$

Энтропия

Энтропия является дискретной случайной величины функционалом функции вероятности .

$$H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)$$

Таким образом,

$${\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}$$

Таким образом,

$${\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).$$

Экспоненциальный

Позволять

$$F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.$$

Используя дельта-функцию в качестве тестовой функции,

$${\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}$$

Таким образом,

$${\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].$$

Это особенно полезно при вычислении корреляционных функций на основе статистической суммы в квантовой теории поля .

Функциональная производная функции

Функцию можно записать в виде интеграла, как и функционал. Например,

$$\rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.$$

Поскольку подынтегральная функция не зависит от производных ρ , функциональная производная от ρ ( r ) равна:

$${\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}$$

Функциональная производная итерированной функции

Функциональная производная итерированной функции $f(f(x))$ дается:

$${\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)$$

и

$${\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)$$

В общем:

$${\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)$$

Ввод N = 0 дает:

$${\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}$$

Использование дельта-функции в качестве тестовой функции

В физике принято использовать дельта-функцию Дирака. $\delta (x-y)$ вместо общей тестовой функции $\phi (x)$, для получения функциональной производной в точке $y$ (это точка всей функциональной производной, поскольку частная производная является компонентом градиента):

$${\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.$$

Это работает в тех случаях, когда $F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]$ формально можно разложить в ряд (или хотя бы до первого порядка) по $\varepsilon$. Однако формула не является математически строгой, поскольку $F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]$ обычно даже не определяется.

Определение, данное в предыдущем разделе, основано на соотношении, которое справедливо для всех тестовых функций. $\phi (x)$, поэтому можно подумать, что оно должно выполняться и тогда, когда $\phi (x)$ выбирается определенная функция, такая как дельта-функция . Однако последняя не является допустимой тестовой функцией (даже не является полноценной функцией).

В определении функциональная производная описывает, как функционал $F[\rho (x)]$ изменяется в результате небольшого изменения всей функции $\rho (x)$. Особая форма изменения $\rho (x)$ не указывается, но оно должно растягиваться на весь интервал, на котором $x$ определяется. Использование конкретной формы возмущения, задаваемой дельта-функцией, означает, что $\rho (x)$ меняется только в точке $y$. За исключением этого момента, никаких изменений в $\rho (x)$.

Ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953). «Глава IV. Вариационное исчисление». Методы математической физики . Том. Я (Первое английское изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Interscience Publishers , Inc., стр. 164–274. ISBN  978-0471504474 . МР   0065391 . Збл   0001.00501 . .
• Фридьик, Бела А.; Шривастава, Сантош; Гупта, Майя Р. (январь 2008 г.), Введение в функциональные производные (PDF) , Технический отчет UWEE, том. UWEETR-2008-0001, Сиэтл, Вашингтон: Факультет электротехники Вашингтонского университета, с. 7, заархивировано из оригинала (PDF) 17 февраля 2017 г. , получено 23 октября 2013 г.
• Гельфанд, ИМ ; Фомин, С.В. (2000) [1963], Вариационное исчисление , переведено и отредактировано Ричардом А. Сильверманом (пересмотренное английское издание), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0486414485 , МР   0160139 , Збл   0127.05402 .
• Джаквинта, Мариано ; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление 1. Лагранжев формализм , Основные учения математических наук, том. 310 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-50625-Х , МР   1368401 , Збл   0853.49001 .
• Грейнер, Уолтер ; Рейнхардт, Иоахим (1996), «Раздел 2.3 – Функциональные производные» , Квантование поля , С предисловием Д. А. Бромли, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 36–38 , ISBN  3-540-59179-6 , МР   1383589 , Збл   0844.00006 .
• Парр, Р.Г.; Ян, В. (1989). «Приложение А. Функционалы». Плотно-функциональная теория атомов и молекул . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 246–254. ISBN  978-0195042795 .

Внешние ссылки

• «Функциональная производная» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]