Морщинистая дуга

В математике и, в частности, при изучении гильбертовых пространств , извилистая дуга является разновидностью непрерывной кривой . Эту концепцию обычно приписывают Полу Халмошу .

В частности, рассмотрим $f\colon [0,1]\to X,$ где $X$ является гильбертовым пространством со внутренним произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle .$ Мы говорим, что $f$ является извилистой дугой, если она непрерывна и обладает свойством извилистости : если $0\leq a<b\leq c<d\leq 1$ затем $\langle f(b)-f(a),f(d)-f(c)\rangle =0,$ то есть аккорды $f(b)-f(a)$ и $f(d)-f(c)$ ортогональны , если интервалы $[a,b]$ и $[c,d]$ являются непересекающимися .

Халмос указывает, что если две непересекающиеся хорды ортогональны, то «кривая делает поворот под прямым углом во время прохождения между самыми дальними конечными точками хорд» и отмечает, что такая кривая «кажется, делает внезапный поворот под прямым углом». в каждой точке», что оправдало бы выбор терминологии. Халмос приходит к выводу, что такая кривая не может иметь касательную ни в одной точке, и использует эту концепцию для обоснования своего утверждения о том, что бесконечномерное гильбертово пространство «даже просторнее, чем кажется».

В своей статье 1975 года Ричард Витале учитывает эмпирическое наблюдение Халмоша о том, что каждая попытка построить изогнутую дугу приводит по существу к одному и тому же решению, и доказывает , что $f(t)$ является изогнутой дугой тогда и только тогда , когда после соответствующих нормировок $f(t)={\sqrt {2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\frac {\sin(n-1/2)\pi t}{(n-1/2)\pi }}$ где $\left(x_{n}\right)_{n}$ является ортонормированным множеством . Нормализации, которые необходимо разрешить, следующие: a) Заменить гильбертово пространство H его наименьшим замкнутым подпространством, содержащим все значения изогнутой дуги; б) равномерные масштабирования; в) переводы; г) репараметризации. Теперь используйте эти нормализации, чтобы определить отношение эквивалентности на смятых дугах, если любые две из них становятся идентичными после любой последовательности таких нормализаций. Тогда существует только один класс эквивалентности, и формула Витале описывает канонический пример.

См. также [ править ]

Бесконечномерная векторная функция#Сморщенные дуги - функция, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве.

Ссылки [ править ]

Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0 . OCLC 8169781 .
Халмос, Пол Р. (1982), Сборник задач по гильбертовому пространству , Тексты для аспирантов по математике, том. 19, Спрингер-Верлаг, номер номера : 10.1007/978-1-4615-9976-0 , ISBN. 978-1-4615-9978-4
Витале, Ричард А. (1975), «Представление изогнутой дуги», Труды Американского математического общества , 52 : 303–304, doi : 10.1090/S0002-9939-1975-0388056-1

v т Это гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т Это Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold