Абстрактное Винеровское пространство

Концепция абстрактного пространства Винера — это математическая конструкция, разработанная Леонардом Гроссом для понимания структуры гауссовских мер в бесконечномерных пространствах. Конструкция подчеркивает фундаментальную роль пространства Кэмерона–Мартина . Классическое пространство Винера является типичным примером.

Структурная теорема для гауссовских мер утверждает, что все гауссовы меры могут быть представлены абстрактной конструкцией пространства Винера.

Мотивация

Позволять $H$ быть действительным гильбертовым пространством , которое предполагается бесконечномерным и сепарабельным . В физической литературе часто встречаются интегралы вида

${\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,$

где $Z$ предполагается, что это константа нормализации, и где $Dv$ предполагается, что это несуществующая мера Лебега на $H$. Такие интегралы возникают, в частности, в контексте , основанной на интегралах по путям евклидовой формулировки квантовой теории поля . На математическом уровне такой интеграл нельзя интерпретировать как интегрирование по мере в исходном гильбертовом пространстве. $H$. С другой стороны, предположим $B$ является банаховым пространством, содержащим $H$ как плотное подпространство. Если $B$ «достаточно больше», чем $H$, то приведенный выше интеграл можно интерпретировать как интегрирование по четко определенной (гауссовой) мере на $B$. В этом случае пара $(H,B)$ называется абстрактным пространством Винера.

Прототипическим примером является классическое пространство Винера, в котором $H$ - гильбертово пространство вещественных функций $b$ на интервале $[0,T]$ имеющая первую производную в $L^{2}$ и удовлетворение $b(0)=0$, при этом норма определяется выражением

$\left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.$

В этом случае $B$ можно считать банаховым пространством непрерывных функций на $[0,T]$ с высшей нормой . В этом случае мера по $B$ – мера Винера, описывающая броуновское движение, начиная с начала координат. Исходное подпространство $H\subset B$ называется пространством Кэмерона–Мартина , которое образует множество нулевой меры относительно меры Винера.

Предыдущий пример означает, что у нас есть формальное выражение для меры Винера, задаваемое формулой $$d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.$$

Хотя это формальное выражение предполагает , что мера Винера должна жить в пространстве путей, для которых ${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$, на самом деле это не так. (Известно, что броуновские пути нигде не дифференцируемы с вероятностью единица.)

Абстрактная конструкция винеровского пространства Гросса абстрагирует ситуацию для классического винеровского пространства и обеспечивает необходимое и достаточное (хотя иногда и трудно проверяемое) условие существования гауссовой меры на $B$. Хотя гауссова мера $\mu$ живет дальше $B$ скорее, чем $H$, это геометрия $H$ скорее, чем $B$ который управляет свойствами $\mu$. Как говорит сам Гросс (адаптировано к нашим обозначениям): «Однако только с работой И. Е. Сигала, посвященной нормальному распределению в реальном гильбертовом пространстве, стало ясно, что роль гильбертова пространства $H$ действительно было центральным, и что, поскольку анализ $B$ обеспокоен, роль $B$ само по себе было вспомогательным для многих теорем Кэмерона и Мартина, а в некоторых случаях даже ненужным». $H$ в качестве отправной точки и лечит $B$ как вспомогательный объект.

Хотя формальные выражения для $\mu$ Ранее в этом разделе речь шла о чисто формальных выражениях в физическом стиле. Они очень полезны для понимания свойств $\mu$. Примечательно, что эти выражения можно легко использовать для вывода (правильной!) формулы плотности переведенной меры. $d\mu (b+h)$ относительно $d\mu (b)$, для $h\in H$. (См. теорему Кэмерона–Мартина .)

Математическое описание

Цилиндр установил меру на H

Позволять $H$ — гильбертово пространство, определенное над действительными числами, которое считается бесконечномерным и сепарабельным. Цилиндр , установленный в $H$ — множество, определенное через значения конечного набора линейных функционалов на $H$. В частности, предположим $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ являются непрерывными линейными функционалами на $H$ и $E$ это набор Бореля в $\mathbb {R} ^{n}$. Тогда мы можем рассмотреть множество $$C=\left\{v\in H\mid (\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.$$

Любой набор этого типа называется набором цилиндров. Совокупность всех цилиндрических множеств образует алгебру множеств в $H$ но это не $\sigma$-алгебра .

Существует естественный способ определения «меры» на наборах цилиндров следующим образом. По теореме о представлении Рисса линейные функционалы $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ задаются как внутренний продукт с векторами $v_{1},\ldots ,v_{n}$ в $H$. В свете процедуры Грама-Шмидта безобидно предположить, что $v_{1},\ldots ,v_{n}$ являются ортонормированными. В этом случае мы можем связать с определенным выше набором цилиндров $C$ мера $E$ относительно стандартной гауссовой меры на $\mathbb {R} ^{n}$. То есть мы определяем $$\mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,$$где $dx$ – стандартная мера Лебега на $\mathbb {R} ^{n}$. Из-за структуры продукта стандартной гауссовой меры на $\mathbb {R} ^{n}$, нетрудно показать, что $\mu$ хорошо определен. То есть, хотя тот же набор $C$ можно представить в виде цилиндра, установленного более чем одним способом, значение $\mu (C)$ всегда одно и то же.

Отсутствие меры на H

Набор функционала $\mu$ называется стандартной мерой множества гауссовых цилиндров на $H$. Предполагая (как мы это делаем), что $H$ бесконечномерен, $\mu$ не распространяется на счетно-аддитивную меру на $\sigma$-алгебра, порожденная совокупностью наборов цилиндров в $H$. Трудность можно понять, рассмотрев поведение стандартной гауссовой меры на $\mathbb {R} ^{n},$ данный $$(2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.$$

Среднее значение квадрата нормы по отношению к этой мере вычисляется как элементарный интеграл Гаусса как $$(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-n/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.$$

То есть типичное расстояние от начала координат вектора, выбранного случайным образом в соответствии со стандартной гауссовой мерой на $\mathbb {R} ^{n}$ является ${\sqrt {n}}.$ Как $n$ стремится к бесконечности, это типичное расстояние стремится к бесконечности, что указывает на отсутствие четко определенной «стандартной гауссовской» меры на $H$. (Типичное расстояние от начала координат будет бесконечным, так что мера фактически не будет существовать в пространстве $H$.)

Существование меры на B

Теперь предположим, что $B$ является сепарабельным банаховым пространством и что $i:H\rightarrow B$ — инъективное непрерывное линейное отображение , образ которого плотен в $B$. Тогда безвредно (и удобно) идентифицировать $H$ с изображением внутри $B$ и таким образом относиться $H$ как плотное подмножество $B$. Затем мы можем построить меру множества цилиндров на $B$ определив меру набора цилиндров $C\subset B$ быть ранее определенной мерой набора цилиндров $C\cap H$, который представляет собой цилиндр, установленный в $H$.

Идея абстрактной конструкции винеровского пространства состоит в том, что если $B$ достаточно больше, чем $H$, то цилиндр установил меру на $B$, в отличие от меры набора цилиндров на $H$, будет распространяться на счетно-аддитивную меру по сгенерированному $\sigma$-алгебра. Оригинальная статья Гросса дает необходимое и достаточное условие $B$ чтобы это было так. Мера по $B$ называется гауссовой мерой , а подпространство $H\subset B$ называется пространством Кэмерона–Мартина . Важно подчеркнуть, что $H$ образует множество нулевой меры внутри $B$, подчеркивая, что мера Гаусса живет только $B$ и не на $H$.

Итогом всей этой дискуссии является то, что гауссовы интегралы, описанные в разделе о мотивации, действительно имеют строгую математическую интерпретацию, но они не живут в пространстве, норма которого встречается в показателе степени формального выражения. Скорее, они живут на каком-то большем пространстве.

Универсальность конструкции

Абстрактная конструкция винеровского пространства — это не просто один из методов построения гауссовских мер. Скорее, каждая гауссова мера в бесконечномерном банаховом пространстве возникает именно таким образом. (См. структурную теорему для гауссовских мер .) То есть, если задана гауссова мера $\mu$ на бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве (над $\mathbb {R}$), можно выделить подпространство Кэмерона–Мартина $H\subset B$, в этот момент пара $(H,B)$ становится абстрактным пространством Винера и $\mu$ – соответствующая гауссова мера.

Свойства

• $\mu$ является борелевской мерой : она определена на борелевской σ-алгебре, открытыми подмножествами B порожденной .
• $\mu$ является гауссовой мерой в том смысле, что f _∗ ( $\mu$) является гауссовой мерой на R для любого линейного функционала f ∈ B ^∗ , ж ≠ 0 .
• Следовательно, $\mu$ строго положительно и локально конечно.
• Поведение $\mu$ при переводе описывается теоремой Кэмерона-Мартина .
• Учитывая два абстрактных пространства Винера i ₁ : H ₁ → B ₁ и i ₂ : H ₂ → B ₂ , можно показать, что $\gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}$. Полностью: $$(i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),$$ т. е. абстрактная мера Винера $\mu _{12}$ на декартовом произведении B ₁ × B ₂ является произведением абстрактных мер Винера на два фактора B ₁ и B ₂ .
• Если H (и B ) бесконечномерны, то образ H имеет нулевую меру . Этот факт является следствием закона нуля–единицы Колмогорова .

Пример: классическое пространство Винера

Основная статья: Классическое пространство Винера

Прототипическим примером абстрактного пространства Винера является пространство непрерывных путей , известное как классическое пространство Винера . Это абстрактное пространство Винера, в котором $H$ дается $$H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}$$с внутренним продуктом, заданным выражением $$\langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt,$$и $B$ — пространство непрерывных отображений $[0,T]$ в $\mathbb {R} ^{n}$ начиная с 0, с единой нормой . В этом случае гауссова мера $\mu$ – мера Винера , описывающая броуновское движение в $\mathbb {R} ^{n}$, начиная с начала координат.

Общий результат, который $H$ образует множество меры нуль относительно $\mu$ в данном случае отражает шероховатость типичного броуновского пути, который, как известно, нигде не дифференцируем . Это контрастирует с предполагаемой дифференцируемостью путей в $H$.

См. также

• Мера Бесова – обобщение меры Гаусса с использованием нормы Бесова. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
• Теорема Фельдмана – Хайека - Теория в теории вероятностей
• Структурная теорема для гауссовских мер - Математическая теорема
• Не существует бесконечномерной меры Лебега – математический фольклор. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявена . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., с. х+113. ISBN  0-486-44994-7 . МР   2250060 . (См. раздел 1.1)
• Гросс, Леонард (1967). «Абстрактные пространства Винера». Учеб. Пятый симпозиум Беркли. Математика. Статист. и вероятность (Беркли, Калифорния, 1965/66), Vol. II: Вклад в теорию вероятностей, Часть 1 . Беркли, Калифорния: Univ. Калифорния Пресс. стр. 31–42. МР   0212152 .
• Куо, Хуэй-Сюн (1975). Гауссовы меры в банаховых пространствах . Берлин – Нью-Йорк: Спрингер. п. 232. ИСБН  978-1419645808 .