Бесконечномерная векторная функция

Бесконечномерная векторная функция — это функция , значения которой лежат в бесконечномерном топологическом векторном пространстве , таком как гильбертово или банахово пространство .

Такие функции применяются в большинстве наук, включая физику .

Пример [ править ]

Набор $f_{k}(t)=t/k^{2}$ для каждого положительного целого числа $k$ и каждое действительное число $t.$ Тогда функция $f$ определяется формулой $f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t),\ldots )\,,$ принимает значения, лежащие в бесконечномерном векторном пространстве $X$ (или $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ) вещественнозначных последовательностей . Например, $f(2)=\left(2,{\frac {2}{4}},{\frac {2}{9}},{\frac {2}{16}},{\frac {2}{25}},\ldots \right).$

множество различных топологий Поскольку в пространстве можно определить $X,$ говорить производной о $f,$ сначала необходимо указать топологию на $X$ или понятие предела в $X.$

Более того, для любого набора $A,$ существуют бесконечномерные векторные пространства, имеющие ( размерность мощности гамелевскую ) $A$ (например, пространство функций $A\to K$ с конечным числом ненулевых элементов, где $K$ – искомое поле скаляров). Более того, аргумент $t$ может лежать в любом наборе вместо набора действительных чисел.

Интеграл и производная [ править ]

Большинство теорем об интегрировании и дифференцировании скалярных функций можно обобщить на вектор-функции, часто используя по существу одни и те же доказательства . Возможно, самое важное исключение состоит в том, что абсолютно непрерывные функции не обязательно должны равняться интегралам от своих (п.е.) производных (если, например, $X$ является гильбертовым пространством); см. теорему Радона – Никодима.

Кривая — это непрерывное отображение единичного интервала (или, в более общем смысле, невырожденного замкнутого интервала действительных чисел) в топологическое пространство . Дуга — это кривая, которая также является топологическим вложением . Кривая, оцененная в хаусдорфовом пространстве, является дугой тогда и только тогда, когда она инъективна .

Производные [ править ]

Если $f:[0,1]\to X,$ где $X$ является банаховым пространством или другим векторным пространством, то производная топологическим $f$ можно определить обычным способом: $f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.$

Функции со значениями в гильбертовом пространстве [ править ]

Если $f$ является функцией действительных чисел со значениями в гильбертовом пространстве. $X,$ тогда производная от $f$ в какой-то момент $t$ можно определить как в конечномерном случае: $f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.$ Большинство результатов конечномерного случая с некоторыми изменениями справедливы и для бесконечномерного случая. Дифференцирование можно определить и по функциям нескольких переменных (например, $t\in R^{n}$ или даже $t\in Y,$ где $Y$ — бесконечномерное векторное пространство).

Если $X$ является гильбертовым пространством, то любая производная (и любой другой предел) может быть вычислена покомпонентно: если $f=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )$ (то есть, $f=f_{1}e_{1}+f_{2}e_{2}+f_{3}e_{3}+\cdots ,$ где $e_{1},e_{2},e_{3},\ldots$ является ортонормированным базисом пространства $X$ ), и $f'(t)$ существует, то $f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).$ Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существование производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.

Большая часть вышесказанного справедлива и для других топологических векторных пространств. $X$ слишком. Однако в банаховом пространстве не так много классических результатов , например, абсолютно непрерывная функция со значениями в подходящем банаховом пространстве не обязательно должна где-либо иметь производную. Более того, в большинстве банаховых пространств нет ортонормированных базисов.

Морщинистые дуги [ править ]

Если $[a,b]$ представляет собой интервал, содержащийся в области определения кривой $f$ который оценивается в топологическом векторном пространстве, то вектор $f(b)-f(a)$ называется аккордом $f$ определяется $[a,b]$ . ^[1] Если $[c,d]$ является другим интервалом в своей области определения, то две хорды называются непересекающимися хордами, если $[a,b]$ и $[c,d]$ имеют не более одной общей конечной точки. ^[1] Интуитивно понятно, что две непересекающиеся хорды кривой, оцененные в пространстве внутреннего произведения, являются ортогональными векторами, если кривая делает поворот под прямым углом где-то на своем пути между начальной и конечной точками. Если каждая пара непересекающихся хорд ортогональна, то такой поворот направо происходит в каждой точке кривой; такая кривая не может быть дифференцируемой ни в одной точке. ^[1] Извилистая дуга — это инъективная непрерывная кривая, обладающая тем свойством, что любые две непересекающиеся хорды являются ортогональными векторами. Пример смятой дуги в Гильберте $L^{2}$ космос $L^{2}(0,1)$ является: ^[2] ${\begin{alignedat}{4}f:\;&&[0,1]&&\;\to \;&L^{2}(0,1)\\[0.3ex]&&t&&\;\mapsto \;&\mathbb {1} _{[0,t]}\\\end{alignedat}}$ где $\mathbb {1} _{[0,\,t]}:(0,1)\to \{0,1\}$ – индикаторная функция, определяемая формулой $x\;\mapsto \;{\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in [0,t]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$ Изогнутую дугу можно найти в любом бесконечномерном гильбертовом пространстве, поскольку любое такое пространство содержит векторное подпространство , изоморфное замкнутое $L^{2}(0,1).$ ^[2] Сморщенная дуга $f:[0,1]\to X$ называется нормированным, если $f(0)=0,$ $\|f(1)\|=1,$ и диапазон его изображения $f([0,1])$ представляет собой подмножество плотное $X.$ ^[2]

Предложение ^[2] — Учитывая любые две нормированные изогнутые дуги в гильбертовом пространстве, каждая из них унитарно эквивалентна перепараметризации другой.

Если $h:[0,1]\to [0,1]$ является возрастающим гомеоморфизмом , то $f\circ h$ называется репараметризацией кривой $f:[0,1]\to X.$ ^[1] Две кривые $f$ и $g$ во внутреннем пространстве продукта $X$ если унитарно эквивалентны, существует унитарный оператор $L:X\to X$ (который является изометрической линейной биекцией ) такой, что $g=L\circ f$ (или, что то же самое, $f=L^{-1}\circ g$ ).

Измеримость [ править ]

Измеримость $f$ может быть определена несколькими способами, наиболее важными из которых являются измеримость по Бохнеру и слабая измеримость .

Интегралы [ править ]

Важнейшие интегралы $f$ называются интегралами Бохнера (когда $X$ — банахово пространство) и интеграл Петтиса (когда $X$ является топологическим векторным пространством). Оба эти интеграла коммутируют с линейными функционалами . Также $L^{p}$ пространства для таких функций определены .

См. также [ править ]

Дифференцирование в пространствах Фреше
Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства - Дифференцируемые функции в функциональном анализе

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Халмош 1982 , стр. 5−7.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Халмош 1982 , стр. 5–7, 168–170.

Эйнар Хилле и Ральф Филлипс: «Функциональный анализ и полугруппы», Amer. Математика. Соц. Коллок. Опубл. Том. 31 год, Провиденс, Род-Айленд, 1957 год.
Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0 . OCLC 8169781 .

[FOOTNOTEHalmos19825−7-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Халмош 1982 , стр. 5−7.

[FOOTNOTEHalmos19825−7,_168−170-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Халмош 1982 , стр. 5–7, 168–170.

[1]

[2]

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold