Измеримая функция Бохнера

В математике , а именно в функциональном анализе , измеримой по Бохнеру функцией, принимающей значения в банаховом пространстве , называется функция , почти всюду равная пределу последовательности измеримых счетнозначных функций, т. е.

$f(t)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(t){\text{ for almost every }}t,\,$

где функции $f_{n}$ каждый из них имеет счетный диапазон и для которого прообраз $f_{n}^{-1}(\{x\})$ измеримо для каждого элемента x . Концепция названа в честь Саломона Бохнера .

Измеримые по Бохнеру функции иногда называют сильно измеримыми . $\mu$-измеримый или просто измеримый (или равномерно измеримый в случае, если банахово пространство является пространством непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами).

Свойства

Связь между измеримостью и слабой измеримостью определяется следующим результатом, известным как Петтиса теорема или теорема измеримости Петтиса .

Функция f имеет почти наверняка сепарабельное значение (или по существу сепарабельное значение ), если существует подмножество N ⊆ X с µ ( N ) = 0 такое, что f ( X \ N ) ⊆ B сепарабельно.

Функция f : X → B , определенная в пространстве с мерой ( X , Σ, µ ) и принимающая значения в банаховом пространстве B, является (сильно) измеримой (относительно Σ и борелевской алгебры на B ) тогда и только тогда, когда она оба они слабо измеримы и почти наверняка оцениваются отдельно.

В случае, когда B является сепарабельным, поскольку любое подмножество сепарабельного банахова пространства само по себе является сепарабельным, можно считать N пустым, и из этого следует, что понятия слабой и сильной измеримости согласуются, когда B сепарабельно.

См. также

• Интеграл Бохнера
• Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
• Измеримая функция - функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Измеримое пространство – основной объект теории меры; множество и сигма-алгебра
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Ссылки

• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). «Теорема III.1.1». Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 103 . ISBN  0-8218-0500-2 . МР   1422252 . .