Векторная мера

В математике векторная мера — это функция, определенная на семействе множеств и принимающая векторные значения, удовлетворяющие определенным свойствам. Это обобщение концепции конечной меры , которая принимает только неотрицательные действительные значения.

и

Учитывая поле множеств $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ и банахово пространство $X,$ конечно- аддитивная векторная мера (или мера ) — это функция кратко $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ такая, что для любых двух непересекающихся множеств $A$ и $B$ в ${\mathcal {F}}$ у одного есть

$$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$$

Векторная мера $\mu$ называется счётно-аддитивным, если для любой последовательности $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ непересекающихся множеств в ${\mathcal {F}}$ так что их союз находится в ${\mathcal {F}}$ он утверждает, что

$$\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$$

с рядом в правой части, сходящимся по норме банахова пространства $X.$

Можно доказать, что аддитивная векторная мера $\mu$ счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда для любой последовательности $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ как указано выше, есть

$$\lim _{n\to \infty }\left\|\mu {\left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}\right\|=0,$$

( * )

где $\|\cdot \|$ это норма на $X.$

Счетно-аддитивные векторные меры, определенные на сигма-алгебрах, являются более общими, чем конечные меры , конечные меры со знаком и комплексные меры , которые являются счетно-аддитивными функциями, принимающими значения соответственно на действительном интервале. $[0,\infty ),$ набор действительных чисел и набор комплексных чисел .

Примеры

Рассмотрим поле множеств, составленных из интервала $[0,1]$ вместе с семьей ${\mathcal {F}}$ всех измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в этом интервале. Для любого такого набора $A,$ определять

$$\mu (A)=\chi _{A}$$

где $\chi$ – индикаторная функция $A.$ В зависимости от того, где $\mu$ объявлено принимающим значения, наблюдаются два разных результата.

• $\mu ,$ рассматривать как функцию от ${\mathcal {F}}$ к $L^{p}$-космос $L^{\infty }([0,1]),$ является векторной мерой, не являющейся счетно-аддитивной.
• $\mu ,$ рассматривать как функцию от ${\mathcal {F}}$ к $L^{p}$-космос $L^{1}([0,1]),$ является счетно-аддитивной векторной мерой.

Оба эти утверждения довольно легко следуют из критерия ( * ), изложенного выше.

Вариация векторной меры

Учитывая векторную меру $\mu :{\mathcal {F}}\to X,$ вариация ​ $|\mu |$ из $\mu$ определяется как

$$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$$

где верхняя грань берется по всем разбиениям

$$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$$

из $A$ на конечное число непересекающихся множеств, для всех $A$ в ${\mathcal {F}}.$ Здесь, $\|\cdot \|$ это норма на $X.$

Вариация $\mu$ является конечно-аддитивной функцией, принимающей значения в $[0,\infty ].$ Он утверждает, что

$$\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$$

для любого $A$ в ${\mathcal {F}}.$ Если $|\mu |(\Omega )$ конечна, мера $\mu$ называется ограниченной вариацией . Можно доказать, что если $\mu$ является векторной мерой ограниченной вариации, то $\mu$ является счетно-аддитивным тогда и только тогда, когда $|\mu |$ является счетно-аддитивным.

Теорема Ляпунова

В теории векторных мер утверждает теорема Ляпунова , что образ ( неатомарной ) конечномерной векторной меры замкнут и выпукл . Фактически, образ неатомной векторной меры представляет собой зоноид (замкнутое и выпуклое множество, являющееся пределом сходящейся последовательности зонотопов ). Его используют в экономике , в ( «взрыв-взрыв» ) теории управления , и в статистической теории . Теорема Ляпунова была доказана с использованием леммы Шепли–Фолкмана : которая рассматривалась как дискретный аналог теоремы Ляпунова.

См. также

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера
• Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
• Комплексная мера – мера с комплексными значениями.
• Знаковая мера - обобщенное понятие меры в математике.
• Векторнозначные функции – функция, значение которой находится в векторном пространстве; обычно реальный или сложный. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Слабо измеримая функция

Библиография

• Кон, Дональд Л. (1997) [1980]. Теория меры (переиздание). Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag . стр. IX+373. ISBN  3-7643-3003-1 . Збл   0436.28001 .
• Дистель, Джо; Уль, Джерри младший (1977). Векторные меры . Математические обзоры. Том. 15. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. xiii+322. ISBN  0-8218-1515-6 .
• Клуванек И. , Ноулз Г., Векторные меры и системы управления , Математические исследования Северной Голландии 20 , Амстердам, 1976.
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], «Векторные меры» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рудин, В. (1973). Функциональный анализ . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 114 . ISBN  9780070542259 .