Интеграл Пэли – Винера

В математике интеграл Пэли -Винера представляет собой простой стохастический интеграл . Применительно к классическому пространству Винера он менее общий, чем интеграл Ито , но они согласуются, когда оба определены.

Интеграл назван в честь своих первооткрывателей Раймонда Пейли и Норберта Винера .

Определение

Позволять $i:H\to E$ быть абстрактным пространством Винера с абстрактной мерой Винера $\gamma$ на $E$. Позволять $j:E^{*}\to H$ быть сопряженным ​ $i$. (Мы немного злоупотребили обозначениями: строго говоря, $j:E^{*}\to H^{*}$, но поскольку $H$ является гильбертовым пространством , оно изометрически изоморфно сопряженному с ним пространству $H^{*}$, по теореме о представлении Рисса .)

Можно показать, что $j$ является инъективной функцией и имеет плотный образ в $H$. Более того, можно показать, что любой линейный функционал $f\in E^{*}$ также интегрируемо с квадратом : на самом деле,

$\|f\|_{L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}=\|j(f)\|_{H}$

Это определяет естественное линейное отображение из $j(E^{*})$ к $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$, под которым $j(f)\in j(E^{*})\subseteq H$ переходит в класс эквивалентности $[f]$ из $f$ в $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$. Это четко определено, поскольку $j$ является инъективным. Эта карта является изометрией , поэтому она непрерывна .

Однако, поскольку непрерывное линейное отображение банаховых пространств, таких как $H$ и $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ однозначно определяется своими значениями на любом плотном подпространстве своей области определения, существует единственное непрерывное линейное расширение $I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ вышеуказанной естественной карты $j(E^{*})\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ всему $H$.

Эта изометрия $I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ известно как карта Пэли-Винера . $I(h)$, также обозначается $\langle h,x\rangle ^{\sim }$, является функцией $E$ и известен как интеграл Пэли–Винера (по отношению к $h\in H$).

Важно отметить, что интеграл Пэли–Винера для конкретного элемента $h\in H$ это функция на $E$. Обозначения $\langle h,x\rangle ^{\sim }$ на самом деле не означает внутренний продукт (поскольку $h$ и $x$ принадлежат двум разным пространствам), но это удобное злоупотребление обозначениями ввиду теоремы Кэмерона–Мартина . По этой причине многие авторы предпочитаю писать $\langle h,-\rangle ^{\sim }(x)$ или $I(h)(x)$ вместо использования более компактного, но потенциально запутанного $\langle h,x\rangle ^{\sim }$ обозначения.

См. также

Другие стохастические интегралы:

• Ито интеграл
• Skorokhod integral
• Stratonovich integral

Ссылки

• Парк, Чулл; Скуг, Дэвид (1988), «Заметки о стохастических интегралах Пейли-Винера-Зигмунда», Proceedings of the American Mathematical Society , 103 (2): 591–601, doi : 10.1090/S0002-9939-1988-0943089-8 , JSTOR   2047184
• Элворти, Дэвид (2008), MA482 Стохастический анализ (PDF) , конспект лекций, Уорикский университет (раздел 6)