Skorokhod integral

В математике , интеграл Скорохода также называемый интегралом Хицуды–Скорохода , часто обозначается $\delta$, является оператором большой важности в теории случайных процессов . Назван в честь украинского математика Анатолия Скорохода и японского математика Масуюки Хицуды . Частично его важность заключается в том, что он объединяет несколько концепций:

• $\delta$ является расширением интеграла Ито на неадаптированные процессы ;
• $\delta$ является сопряженной производной Маллявена , которая является фундаментальной для стохастического вариационного исчисления ( исчисление Маллявена );
• $\delta$ является бесконечномерным обобщением оператора дивергенции классического векторного исчисления .

Интеграл был введен Хицудой в 1972 году. и Скороходом в 1975 году.

Определение

Маллявена

Рассмотрим фиксированное вероятностное пространство $(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )$ и гильбертово пространство $H$; $\mathbf {E}$ обозначает ожидание относительно $\mathbf {P}$

$$\mathbf {E} [X]:=\int _{\Omega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega ).$$

Интуитивно говоря, производная Маллявена случайной величины $F$ в $L^{p}(\Omega )$ определяется путем расширения его с точки зрения гауссовых случайных величин, параметризованных элементами $H$и формальное дифференцирование расширения; Интеграл Скорохода — это операция, сопряженная с производной Маллявена.

Рассмотрим семью из $\mathbb {R}$-значные случайные величины $W(h)$, индексируемый элементами $h$ гильбертова пространства $H$. Предположим далее, что каждый $W(h)$ является гауссовой ( нормальной ) случайной величиной, которую карта принимает $h$ к $W(h)$ является линейной картой , и что структура среднего и ковариации определяется выражением

$$\mathbf {E} [W(h)]=0,$$

$$\mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangle _{H},$$

для всех $g$ и $h$ в $H$. Можно показать, что, учитывая $H$, всегда существует вероятностное пространство $(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )$и семейство случайных величин с указанными выше свойствами. Производная Маллявена по существу определяется путем формального задания производной случайной величины $W(h)$ быть $h$, а затем расширив это определение до « достаточно гладких » случайных величин. Для случайной величины $F$ формы

$$F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n})),$$

где $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является гладким, производная Маллявена определяется с использованием более раннего «формального определения» и цепного правила:

$$\mathrm {D} F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}))h_{i}.$$

Другими словами, тогда как $F$ была вещественная случайная величина, ее производная $\mathrm {D} F$ является $H$-значная случайная величина, элемент пространства $L^{p}(\Omega ;H)$. Конечно, эта процедура определяет только $\mathrm {D} F$ для «гладких» случайных величин, но для определения можно использовать процедуру аппроксимации $\mathrm {D} F$ для $F$ в большом подпространстве $L^{p}(\Omega )$; область ​ ​ $\mathrm {D}$ — замыкание гладких случайных величин в полунорме :

$$\|F\|_{1,p}:={\big (}\mathbf {E} [|F|^{p}]+\mathbf {E} [\|\mathrm {D} F\|_{H}^{p}]{\big )}^{1/p}.$$

Это пространство обозначается $\mathbf {D} ^{1,p}$ и называется пространством Ватанабэ–Соболева .

Интеграл Скорохода

Для простоты рассмотрим теперь именно случай $p=2$. The Skorokhod integral $\delta$ определяется как $L^{2}$-сопряженный к производной Маллявена $\mathrm {D}$. Как только $\mathrm {D}$ не был определен в целом $L^{2}(\Omega )$, $\delta$ не определяется в целом $L^{2}(\Omega ;H)$: домен $\delta$ состоит из тех процессов $u$ в $L^{2}(\Omega ;H)$ для которого существует константа $C(u)$ такой, что для всех $F$ в $\mathbf {D} ^{1,2}$,

$${\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.$$

Скорохода Интеграл процесса $u$ в $L^{2}(\Omega ;H)$ является действительной случайной величиной $\delta u$ в $L^{2}(\Omega )$; если $u$ лежит в области $\delta$, затем $\delta u$ определяется соотношением, что для всех $F\in \mathbf {D} ^{1,2}$,

$$\mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].$$

Так же, как производная Маллявена $\mathrm {D}$ был впервые определен для простых гладких случайных величин, интеграл Скорохода имеет простое выражение для «простых процессов»: если $u$ дан кем-то

$$u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}$$

с $F_{j}$ гладкий и $h_{j}$ в $H$, затем

$$\delta u=\sum _{j=1}^{n}\left(F_{j}W(h_{j})-\langle \mathrm {D} F_{j},h_{j}\rangle _{H}\right).$$

Свойства

• : Свойство изометрии для любого процесса $u$ в $\mathbf {D} ^{1,p}$ что лежит в области $\delta$,
  $$\mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.$$
  Если $u$ является адаптированным процессом, то $D_{s}u_{t}=0$ для $s>t$, поэтому второй член в правой части обращается в нуль. В этом случае интегралы Скорохода и Ито совпадают, и приведенное выше уравнение становится изометрией Ито .
• Производная интеграла Скорохода определяется формулой
  $$\mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),$$
  где $\mathrm {D} _{h}X$ означает $(\mathrm {D} X)(h)$, случайная величина, которая является значением процесса $\mathrm {D} X$ вовремя" $h$ в $H$.
• Интеграл Скорохода от произведения случайной величины $F$ в $\mathbf {D} ^{1,2}$ и процесс $u$ в $\operatorname {dom} (\delta )$ определяется формулой
  $$\delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}.$$

Альтернативы

Альтернативой интегралу Скорохода является интеграл Огавы .

Ссылки

• «Интеграл Скорохода» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Оконе, Дэниел Л. (1988). «Руководство по стохастическому вариационному исчислению». Стохастический анализ и связанные с ним темы (Силиври, 1986) . Конспект лекций по математике. 1316. Берлин: Шпрингер. стр. 1–79. МИСТЕР 953793
• Санс-Соле, Марта (2008). «Применение исчисления Маллявена к стохастическим уравнениям в частных производных (лекции, прочитанные в Имперском колледже Лондона, 7–11 июля 2008 г.)» (PDF) . Проверено 9 июля 2008 г.