Кадлаг

В математике ( функция càdlàg фр . continue à droite, limite à gauche ), RCLL («непрерывная справа с левыми пределами») или corlol («непрерывная справа, предел слева») — это функция функция, определенная на действительных числах (или их подмножестве ), всюду непрерывная справа и всюду имеющая левый предел . Функции Кадлага важны при изучении случайных процессов , которые допускают (или даже требуют) скачки, в отличие от броуновского движения , которое имеет непрерывные траектории выборки. Совокупность функций Càdlàg в данной области известна как пространство Скорохода .

Два родственных термина — это càglàd , обозначающий « продолжать à gauche, limite à droite », перестановка càdlàg влево-вправо, и càllàl, означающий « продолжать à l’un, limite à l’autre » (непрерывный с одной стороны, предел на другая сторона) для функции, которая в каждой точке области является либо càdlàg, либо càglàd.

Определение

Кумулятивные функции распределения являются примерами функций Càdlàg.

Пример кумулятивной функции распределения со счетным множеством разрывов

Позволять $(M,d)$ — метрическое пространство , и пусть $E\subseteq \mathbb {R}$. Функция $f:E\to M$ называется функцией кадлага , если для любого $t\in E$,

• левый предел $f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)$ существует; и
• правильный предел $f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)$ существует и равен $f(t)$.

То есть, $f$ непрерывно справа с левыми пределами.

Примеры

• Все функции, непрерывные на подмножестве действительных чисел, являются функциями càdlàg на этом подмножестве.
• Как следствие их определения, все кумулятивные функции распределения являются функциями càdlàg. Например, совокупное значение в точке $r$ соответствуют вероятности быть ниже или равным, чем $r$, а именно $\mathbb {P} [X\leq r]$. Другими словами, полуоткрытый интервал для двустороннего распределения $(-\infty ,r]$ является правозамкнутым.
• Правильная производная $f_{+}^{\prime }$ любой выпуклой функции $f$ определенная на открытом интервале, является возрастающей функцией кадлага.

Скороход пространство

Набор всех функций càdlàg из $E$ к $M$ часто обозначается $\mathbb {D} (E:M)$ (или просто $\mathbb {D}$) и называется пространством Скорохода в честь украинского математика Анатолия Скорохода . Пространству Скорохода можно задать топологию , которая интуитивно позволяет нам «немного покачивать пространство и время» (тогда как традиционная топология равномерной сходимости позволяет нам только «немного покачивать пространство»). Для простоты возьмем $E=[0,T]$ и $M=\mathbb {R} ^{n}$ - см. Биллингсли для более общей конструкции.

Сначала мы должны определить аналог модуля непрерывности , $\varpi '_{f}(\delta )$. Для любого $F\subseteq E$, набор

$w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|$

и, для $\delta >0$, определите модуль Кадлага как

$\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),$

где нижняя грань проходит по всем разделам $\Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E$, с $\min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta$. Это определение имеет смысл для тех, кто не является кадлагом. $f$ (так же, как обычный модуль непрерывности имеет смысл для разрывных функций). $f$ является càdlàg тогда и только тогда, когда $\lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0$.

Теперь позвольте $\Lambda$ обозначаем множество всех строго возрастающих непрерывных биекций из $E$ самому себе (это «повороты во времени»). Позволять

$\|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|$

обозначают равномерную норму функций на $E$. Определить метрику Скорохода $\sigma$ на $\mathbb {D}$ к

$\sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},$

где $I:E\to E$ является тождественной функцией. Что касается «покачивания» интуиции, $\|\lambda -I\|$ измеряет размер «покачивания во времени», и $\|f-g\circ \lambda \|$ измеряет размер «покачивания в пространстве».

Скорохода Метрика действительно является метрикой. Топология $\Sigma$ созданный $\sigma$ называется топологией Скорохода на $\mathbb {D}$.

Эквивалентная метрика,

$d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|),$

был введен независимо и использован в теории управления для анализа систем переключения.

Свойства пространства Скорохода

Обобщение однородной топологии.

Пространство $C$ непрерывных функций на $E$ является подпространством ​ $\mathbb {D}$. Топология Скорохода относительно $C$ там совпадает с однородной топологией.

Полнота

Хотя $\mathbb {D}$ не является полным пространством относительно метрики Скорохода $\sigma$, существует топологически эквивалентная метрика $\sigma _{0}$ относительно которого $\mathbb {D}$ завершен.

Разделимость

По отношению к тому или другому $\sigma$ или $\sigma _{0}$, $\mathbb {D}$ представляет собой сепарабельное пространство . Таким образом, пространство Скорохода — это польское пространство .

Теснота в пространстве Скорохода

Применяя теорему Арсела–Асколи , можно показать, что последовательность $(\mu _{n})_{n=1,2,\dots }$ вероятностных мер на пространстве Скорохода $\mathbb {D}$ является плотным тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,$

и

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.$

Алгебраическая и топологическая структура

В условиях топологии Скорохода и поточечного сложения функций $\mathbb {D}$ не является топологической группой, как видно из следующего примера:

Позволять $E=[0,2)$ быть полуоткрытым интервалом и принять $f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D}$ быть последовательностью характеристических функций.Несмотря на то, что $f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}$ в топологии Скорохода последовательность $f_{n}-\chi _{[1,2)}$ не сходится к 0.

См. также

• Классическое Винеровское пространство

Дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc.  0-471-00710-2 .
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc.  0-471-19745-9 .