Модуль непрерывности

В математическом анализе модуль непрерывности — это функция ω: [0, ∞] → [0, ∞], используемая для количественного измерения равномерной непрерывности функций. Итак, функция f : I → R допускает ω как модуль непрерывности, если

|f(x)-f(y)|\leq \omega (|x-y|),

для всех x и y в области f . Поскольку модули непрерывности должны быть бесконечно малы в точке 0, функция оказывается равномерно непрерывной тогда и только тогда, когда она допускает модуль непрерывности. Более того, актуальность этого понятия определяется тем фактом, что множества функций, имеющих один и тот же модуль непрерывности, представляют собой в точности равнонепрерывные семейства . Например, модуль ω( t ) := kt описывает k- липшицевы функции , модули ω( t ) := kt ^а описывают непрерывность Гёльдера , модуль ω( t ) := kt (|log t |+1) описывает почти липшицевый класс и т.д. В общем, роль ω состоит в том, чтобы зафиксировать некоторую явную функциональную зависимость ε от δ в (ε, δ)-определении равномерной непрерывности . Те же понятия естественным образом обобщаются на функции между метрическими пространствами . Более того, подходящий локальный вариант этих понятий позволяет количественно описать непрерывность в точке через модули непрерывности.

Особую роль играют вогнутые модули непрерывности, особенно в связи со свойствами расширения и при аппроксимации равномерно непрерывных функций. Для функции между метрическими пространствами эквивалентно допускать модуль непрерывности, который является либо вогнутым, либо субаддитивным, либо равномерно непрерывным, либо сублинейным (в смысле роста ). Действительно, существование таких специальных модулей непрерывности для равномерно непрерывной функции всегда обеспечивается, если областью определения является либо компакт, либо выпуклое подмножество нормированного пространства. Однако равномерно непрерывная функция в общем метрическом пространстве допускает вогнутый модуль непрерывности тогда и только тогда, когда соотношения

{\frac {d_{Y}(f(x),f(x'))}{d_{X}(x,x')}}

равномерно ограничены для всех пар ( x , x ′ ), отделенных от диагонали X x X . Функции с последним свойством составляют специальный подкласс равномерно непрерывных функций, которые в дальнейшем мы будем называть специальными равномерно непрерывными функциями. Вещественные специальные равномерно непрерывные функции на метрическом пространстве X также можно охарактеризовать как совокупность всех функций, которые являются ограничениями на X равномерно непрерывных функций над любым нормированным пространством, изометрически содержащим X . Также его можно охарактеризовать как равномерное замыкание липшицевых функций X. на

Формальное определение

Формально, модуль непрерывности — это любая возрастающая вещественнозначная функция ω : [0, ∞] → [0, ∞], равная нулю в 0 и непрерывная в 0, т.е.

\lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0.

Модули непрерывности в основном используются для количественного описания как непрерывности в точке, так и равномерной непрерывности функций между метрическими пространствами согласно следующим определениям.

Функция f : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) допускает ω как (локальный) модуль непрерывности в точке x в X тогда и только тогда, когда

\forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).

Кроме того, f допускает ω как (глобальный) модуль непрерывности тогда и только тогда, когда

\forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).

То же самое можно сказать, что ω является модулем непрерывности (соответственно в точке x ) для f , или, короче говоря, f является ω-непрерывным (соответственно в точке x ). Здесь мы в основном рассматриваем глобальное понятие.

Элементарные факты

Если f имеет ω как модуль непрерывности и ω ₁ ≥ ω, то f также допускает ω ₁ как модуль непрерывности.
Если f : X → Y и g : Y → Z — функции между метрическими пространствами с модулями ω ₁ и ω ₂ соответственно , то отображение композиции $g\circ f:X\to Z$ имеет модуль непрерывности $\omega _{2}\circ \omega _{1}$ .
Если f и g — функции из метрического пространства X в банахово пространство Y с модулями соответственно ω ₁ и ω ₂ , то любая линейная комбинация af + bg имеет модуль непрерывности | а |ω ₁ +| б |ω ₂ . В частности, множество всех функций от X до Y , имеющих ω как модуль непрерывности, является выпуклым подмножеством векторного пространства C ( X , Y ), замкнутым относительно поточечной сходимости .
Если f и g — ограниченные вещественнозначные функции на метрическом пространстве X с модулями соответственно ω ₁ и ω ₂ , то поточечное произведение fg имеет модуль непрерывности $\|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}$ .
Если $\{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ — семейство вещественных функций на метрическом пространстве X с общим модулем непрерывности ω, то нижняя оболочка $\inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }$ , соответственно, верхняя оболочка $\sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }$ , является вещественной функцией с модулем непрерывности ω, если она конечнозначна в каждой точке. Если ω вещественнозначно, достаточно, чтобы оболочка была конечной в одной точке X. хотя бы

Примечания

Некоторые авторы не требуют монотонности, а некоторые требуют дополнительных свойств, таких как непрерывность ω. Однако если f допускает модуль непрерывности в более слабом определении, то она также допускает модуль непрерывности, возрастающий и бесконечно дифференцируемый в (0, ∞). Например, $\omega _{1}(t):=\sup _{s\leq t}\omega (s)$ возрастает, причем ω ₁ ≥ ω; $\omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds$ также непрерывен и ω ₂ ≥ ω ₁ ,
и подходящий вариант предыдущего определения также делает ω ₂ бесконечно дифференцируемым на [0, ∞].
Любая равномерно непрерывная функция допускает минимальный модуль непрерывности ω _f , который иногда называют (оптимальным) модулем непрерывности f : $\omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.$ Аналогично, любая функция, непрерывная в точке x, допускает минимальный модуль непрерывности в точке x , ω _f ( t ; x ) ( (оптимальный) модуль непрерывности f в точке x ): $\omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.$ Однако эти ограниченные понятия не так важны, поскольку в большинстве случаев оптимальный модуль f не может быть вычислен явно, а только ограничен сверху ( любым модулем непрерывности f ). Более того, основные свойства модулей непрерывности непосредственно касаются неограниченного определения.
В общем случае модуль непрерывности равномерно непрерывной функции в метрическом пространстве должен принимать значение +∞. Например, функция f : N → R такая, что f ( n ) := n ² равномерно непрерывен относительно дискретной метрики на N , и его минимальный модуль непрерывности равен ω _f ( t ) = +∞ для любого t ≥ 1 и ω _f ( t ) = 0 в противном случае. Однако ситуация иная для равномерно непрерывных функций, определенных на компактных или выпуклых подмножествах нормированных пространств.

Специальные модули непрерывности

Специальные модули непрерывности также отражают некоторые глобальные свойства функций, такие как расширяемость и равномерное приближение. В этом разделе мы в основном имеем дело с модулями непрерывности, которые являются вогнутыми , или субаддитивными , или равномерно непрерывными, или сублинейными. Эти свойства по существу эквивалентны в том смысле, что для модуля ω (точнее, его ограничения на [0, ∞)) каждое из следующих условий влечет за собой следующее:

ω вогнутая;
ω субаддитивна;
ω равномерно непрерывна;
ω сублинейна, то есть существуют константы a и b такие, что ω( t ) ≤ at + b для всех t ;
ω преобладает вогнутый модуль, то есть существует вогнутый модуль непрерывности ${\tilde {\omega }}$ такой, что $\omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)$ для всех т .

Таким образом, для функции f между метрическими пространствами эквивалентно допускать модуль непрерывности, который либо вогнут, либо субаддитивен, либо равномерно непрерывен, либо сублинейен. В этом случае функцию f иногда называют специальным равномерно непрерывным отображением. Это всегда верно как для компактных, так и для выпуклых областей. Действительно, равномерно непрерывное отображение f : C → Y , определенное на выпуклом множестве C нормированного пространства E, всегда допускает субаддитивный модуль непрерывности; в частности, вещественнозначной как функция ω : [0, ∞) → [0, ∞). Действительно, сразу же можно проверить, что оптимальный модуль непрерывности ω _f, определенный выше, является субаддитивным, если область определения f выпукла: для всех s и t мы имеем :

{\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}

Обратите внимание, что как непосредственное следствие любая равномерно непрерывная функция на выпуклом подмножестве нормированного пространства имеет сублинейный рост: существуют константы a и b такие, что | ж ( Икс )| ≤ а | x |+ b для всех x . Однако равномерно непрерывная функция в общем метрическом пространстве допускает вогнутый модуль непрерывности тогда и только тогда, когда соотношения $d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')$ равномерно ограничены для всех пар ( x , x ′) с расстоянием, отличным от нуля; этому условию заведомо удовлетворяет любая ограниченная равномерно непрерывная функция; следовательно, в частности, любой непрерывной функцией на компактном метрическом пространстве.

Сублинейные модули и ограниченные возмущения по Липшицу

Сублинейный модуль непрерывности легко найти для любой равномерно непрерывной функции, которая является ограниченным возмущением липшицевой функции: если f — равномерно непрерывная функция с модулем непрерывности ω, а g — k липшицева функция с равномерным расстоянием r от f , то f допускает сублинейный модуль непрерывности min{ω( t ), 2 r + kt }. И наоборот, по крайней мере для вещественных функций, любая специальная равномерно непрерывная функция является ограниченным, равномерно непрерывным возмущением некоторой липшицевой функции; на самом деле верно и большее, как показано ниже (аппроксимация Липшица).

Субадитивные модули и расширяемость

Вышеупомянутое свойство равномерно непрерывной функции в выпуклых областях допускает своего рода обратное, по крайней мере, в случае вещественных функций: то есть, каждая специальная равномерно непрерывная вещественная функция f : X → R, определенная в метрическом пространстве X , которая — метрическое подпространство нормированного пространства E , допускающее расширения над E, сохраняющие любой субаддитивный модуль ω функции f . Наименьшее и наибольшее из таких расширений соответственно:

{\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}

Как уже отмечалось, любой субаддитивный модуль непрерывности равномерно непрерывен: фактически он признает себя модулем непрерывности. Следовательно, f _∗ и f* — соответственно нижняя и верхняя оболочки ω-непрерывных семейств; следовательно, все еще ω-непрерывна. Кстати, по вложению Куратовского любое метрическое пространство изометрично подмножеству нормированного пространства. Следовательно, специальные равномерно непрерывные вещественные функции по существу являются ограничениями равномерно непрерывных функций на нормированных пространствах. В частности, эта конструкция дает быстрое доказательство теоремы о продолжении Титце на компактных метрических пространствах. Однако для отображений со значениями в более общих банаховых пространствах, чем R , ситуация значительно сложнее; первым нетривиальным результатом в этом направлении является теорема Кирсбрауна .

Вогнутые модули и липшицево приближение

Любая специальная равномерно непрерывная вещественная функция f : X → R , определенная на метрическом пространстве X, приближается равномерно с помощью липшицевых функций. Более того, скорость сходимости по константам Липшица аппроксимаций строго связана с модулем непрерывности f . Точнее, пусть ω — минимальный вогнутый модуль непрерывности f , который равен

\omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.

Пусть δ( s ) — равномерное расстояние между функцией f и множеством Lip _s всех липшицевых вещественных функций на C, имеющих константу Липшица s :

\delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .

Тогда функции ω( t ) и δ( s ) могут быть связаны друг с другом преобразованием Лежандра : точнее, функции 2δ( s ) и −ω(− t ) (соответствующим образом расширенные до +∞ вне их областей конечности ) — пара сопряженных выпуклых функций, ^[1] для

2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},

\omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.

Поскольку ω( t ) = o(1) при t → 0 ⁺, отсюда следует, что δ( s ) = o(1) при s → +∞, что в точности означает, что f равномерно приближается липшицевыми функциями. Соответственно оптимальное приближение дают функции

f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):

каждая функция f _s имеет константу Липшица s и

\|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);

фактически, это наибольшая s -липшицева функция, реализующая расстояние δ( s ). Например, вещественные функции α-Гёльдера в метрическом пространстве характеризуются как такие функции, которые можно равномерно приближать s -липшицевыми функциями со скоростью сходимости $O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),$ а почти липшицевы функции характеризуются экспоненциальной скоростью сходимости $O(e^{-as}).$

Примеры использования

Пусть f : [ a , b ] → R непрерывная функция. При доказательстве того, что f интегрируема по Риману , обычно оценивают расстояние между верхней и нижней суммами Римана относительно разбиения Римана P := { t ₀ , ..., t _n } через модуль непрерывности f и сетка перегородки P (которая представляет собой число ${\textstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})}$ ) $S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).$
Пример использования ряда Фурье см. в тесте Дини .

История

Стеффенс (2006, стр. 160) приписывает первое использование омеги для модуля непрерывности Лебегу (1909, стр. 309/стр. 75), где омега относится к колебанию преобразования Фурье. Де ла Валле Пуссен (1919, стр. 7-8) упоминает оба названия (1) «модуль непрерывности» и (2) «модуль колебаний», а затем заключает, «но мы выбираем (1), чтобы привлечь внимание к использованию, которое мы сделаю из этого».

Группа переводов Л. ^п функции и модули непрерывности L ^п.

Пусть 1 ≤ p ; пусть ж : Р ^н → R функция класса L ^п, и пусть h ∈ R ^н. трансляция h - h f f , функция, определенная формулой (τ ₎ ( x ) := f ( x − h ), принадлежит L ^п сорт; при этом, если 1 ≤ p < ∞, то при ρ h ρ → 0 имеем:

\|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).

Следовательно, поскольку трансляции на самом деле представляют собой линейные изометрии, также

\|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),

as ǁ h ǁ → 0, uniformly on v ∈ R ^н.

Другими словами, отображение h → τ _h определяет сильно непрерывную группу линейных изометрий L ^п. В случае p = ∞ указанное выше свойство, вообще говоря, не выполняется: фактически оно в точности сводится к равномерной непрерывности и определяет равномерные непрерывные функции. Это приводит к следующему определению, обобщающему понятие модуля непрерывности равномерно непрерывных функций: модуль непрерывности L ^п для измеримой функции f : X → R — это модуль непрерывности ω : [0, ∞] → [0, ∞] такой, что

\|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).

Таким образом, модули непрерывности также дают количественное описание свойства непрерывности, присущего всем L. ^п функции.