Модуль сходимости

В реальном анализе , разделе математики , модуль сходимости — это функция , которая показывает, насколько быстро сходится сходящаяся последовательность . Эти модули часто используются при изучении вычислимого анализа и конструктивной математики .

Если последовательность действительных чисел $x_{i}$ сходится к действительному числу $x$, то по определению для каждого реального $\varepsilon >0$ есть натуральное число $N$ такое, что если $i>N$ затем $\left|x-x_{i}\right|<\varepsilon$. Модуль сходимости — это, по сути, функция, которая при заданных $\varepsilon$, возвращает соответствующее значение $N$.

Определение

Предположим, что $x_{i}$ - это сходящаяся последовательность действительных чисел с пределом $x$. Существует два способа определения модуля сходимости как функции от натуральных чисел к натуральным числам:

• Как функция $f$ такой, что для всех $n$, если $i>f(n)$ затем $\left|x-x_{i}\right|<1/n$.
• Как функция $g$ такой, что для всех $n$, если $i\geq j>g(n)$ затем $\left|x_{i}-x_{j}\right|<1/n$.

Последнее определение часто используется в конструктивных условиях, где предел $x$ фактически может быть отождествлено с сходящейся последовательностью. Некоторые авторы используют альтернативное определение, заменяющее $1/n$ с $2^{-n}$.

См. также

• Модуль непрерывности

Ссылки

• Клаус Вайраух (2000), Вычислительный анализ .