Предел последовательности

Для получения общей математической концепции см. Предел (математика) .

Последовательность, заданная периметрами правильных n -сторонних многоугольников , описывающих единичную окружность , имеет предел, равный периметру окружности, т.е. $2\pi$. Соответствующая последовательность для вписанных многоугольников имеет тот же предел.

$n$	$n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Как положительное целое число ${\textstyle n}$ становится все больше и больше, значение ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ становится сколь угодно близким к ${\textstyle 1}$. Мы говорим, что «предел последовательности ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ равно ${\textstyle 1}$."

В математике предел последовательности члены последовательности , и его часто обозначают с помощью — это значение , к которому «стремятся» $\lim$ символ (например, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$). Если такой предел существует, последовательность называется сходящейся . Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся . Говорят, что предел последовательности является фундаментальным понятием, на котором в конечном итоге основывается весь математический анализ .

Пределы могут быть определены в любом метрическом или топологическом пространстве , но обычно сначала они встречаются в действительных числах .

История

Греческий философ Зенон Элейский известен формулировкой парадоксов, включающих ограничивающие процессы .

Левкипп , Демокрит , Антифон , Евдокс и Архимед разработали метод исчерпания , который использует бесконечную последовательность приближений для определения площади или объема. Архимеду удалось суммировать то, что сейчас называют геометрической прогрессией .

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): « Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку».

Пьетро Менголи предвосхитил современную идею ограничения последовательности своим исследованием квазипропорций в Geometriae speciosae elementa (1659 г.). Он использовал термин «квазибесконечный» для обозначения неограниченности и «квазинулевой» для обозначения исчезновения .

Ньютон рассматривал ряды в своих работах « Анализ с бесконечными рядами» (написан в 1669 г., распространен в рукописи, опубликован в 1711 г.), « Метод флюксий и бесконечных рядов» (написан в 1671 г., опубликован в английском переводе в 1736 г., латинский оригинал опубликован гораздо позже). и Tractatus de Quadratura Curvarum (написанный в 1693 году, опубликованный в 1704 году как приложение к его «Оптике» ). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение ${\textstyle (x+o)^{n}}$, который он затем линеаризует, принимая предел как ${\textstyle o}$ как правило ${\textstyle 0}$.

В 18 веке математикам , таким как Эйлер, удалось суммировать некоторые расходящиеся ряды, остановившись в нужный момент; их не очень заботило, существует ли предел, лишь бы его можно было вычислить. В конце века Лагранж в своей «Теории аналитических функций» (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию исчисления. Гаусс в своем этюде о гипергеометрических рядах (1813) впервые строго исследовал условия, при которых ряд сходится к пределу.

Современное определение предела (для любого ${\textstyle \varepsilon }$ существует индекс ${\textstyle N}$ так что...) было дано Бернаром Больцано ( Der bomische Lehrsatz , Прага, 1816 г., на которое в то время мало обращали внимания), и Карлом Вейерштрассом в 1870-х годах.

Действительные числа

График сходящейся последовательности { a _n } показан синим цветом. Здесь видно, что последовательность сходится к пределу 0 с увеличением n .

В действительных числах число $L$ является пределом последовательности ​ $(x_{n})$, если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к $L$, а не на какое-либо другое число.

Примеры

См. также: Список ограничений.

• Если $x_{n}=c$ для постоянного ${\textstyle c}$, затем $x_{n}\to c$.
• Если $x_{n}={\frac {1}{n}}$, затем $x_{n}\to 0$.
• Если $x_{n}={\frac {1}{n}}$ когда $n$ четный, и $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ когда $n$ странно, тогда $x_{n}\to 0$. (Дело в том, что $x_{n+1}>x_{n}$ в любое время $n$ странно, не имеет значения.)
• Учитывая любое действительное число, можно легко построить последовательность, сходящуюся к этому числу, используя десятичные приближения. Например, последовательность ${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$ сходится к ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$. Десятичное представление ${\textstyle 0.3333\dots }$ - это предел предыдущей последовательности, определяемый формулой
  $$0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}$$
• Нахождение предела последовательности не всегда очевидно. Два примера: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$(пределом которого является число e ) и среднее арифметико-геометрическое . Теорема о сжатии часто оказывается полезной при установлении таких пределов.

Определение

Мы называем $x$ предел ​ последовательности ​ $(x_{n})$, что написано

$x_{n}\to x$, или

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$,

если выполняется следующее условие:

Для каждого действительного числа $\varepsilon >0$, существует натуральное число $N$ такая, что для любого натурального числа $n\geq N$, у нас есть $|x_{n}-x|<\varepsilon$.

Другими словами, для каждой меры близости $\varepsilon$, члены последовательности в конечном итоге настолько близки к пределу. Последовательность $(x_{n})$ говорят, что он сходится или стремится к пределу $x$.

Символически это:

$\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)$.

Если последовательность $(x_{n})$ сходится к некоторому пределу $x$, то оно сходится и $x$это единственный предел; в противном случае $(x_{n})$расходится ​ . Последовательность, предел которой равен нулю, иногда называется нулевой последовательностью .

Иллюстрация

• 
  Пример последовательности, сходящейся к пределу $a$.
• 
  Независимо от того, какой $\varepsilon >0$ у нас есть, есть индекс $N_{0}$, так что последовательность впоследствии полностью лежит в эпсилон-трубке $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.
• 
  Есть и для меньшего размера $\varepsilon _{1}>0$ индекс $N_{1}$, так что последовательность впоследствии оказывается внутри эпсилон-трубки $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$.
• 
  Для каждого $\varepsilon >0$ за пределами эпсилон-трубки имеется лишь конечное число членов последовательности.

Свойства

Некоторые другие важные свойства пределов реальных последовательностей включают следующее:

• Если он существует, предел последовательности уникален.
• Пределы последовательностей хорошо ведут себя по отношению к обычным арифметическим операциям . Если $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ и $\lim _{n\to \infty }b_{n}$ существует, то

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$

$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)$

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ предоставил $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$

• Для любой непрерывной функции ${\textstyle f}$, если $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ существует, то $\lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)$тоже существует. Действительно, любая действительная функция ${\textstyle f}$ является непрерывным тогда и только тогда, когда он сохраняет пределы последовательностей (хотя это не обязательно верно при использовании более общих понятий непрерывности).

• Если $a_{n}\leq b_{n}$ для всех $n$ больше, чем некоторые $N$, затем $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$.
• ( Теорема о сжатии ) Если $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ для всех $n$ больше, чем некоторые $N$, и $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$, затем $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$.
• ( Теорема о монотонной сходимости ) Если $a_{n}$ ограничен монотонен и для всех $n$ больше, чем некоторые $N$, то оно сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая подпоследовательность.
• Если каждая подпоследовательность последовательности имеет свою собственную подпоследовательность, сходящуюся к той же точке, то исходная последовательность сходится к этой точке.

Эти свойства широко используются для доказательства пределов без необходимости непосредственно использовать громоздкое формальное определение. Например, если доказано, что $1/n\to 0$, становится легко показать (используя приведенные выше свойства), что ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (при условии, что $b\neq 0$).

Бесконечные пределы

Последовательность $(x_{n})$ говорят, стремится к бесконечности , написано

$x_{n}\to \infty$, или

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа $K$, существует натуральное число $N$ такая, что для любого натурального числа $n\geq N$, у нас есть $x_{n}>K$; то есть члены последовательности в конечном итоге превышают любые фиксированные $K$.

Символически это:

$\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)$.

Аналогично мы говорим, что последовательность стремится к минус бесконечности , записывая

$x_{n}\to -\infty$, или

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа $K$, существует натуральное число $N$ такая, что для любого натурального числа $n\geq N$, у нас есть $x_{n}<K$; то есть члены последовательности в конечном итоге меньше любых фиксированных $K$.

Символически это:

$\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)$.

Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, а последовательность $x_{n}=(-1)^{n}$ приводит один такой пример.

Метрические пространства

Определение

Точка $x$ метрического пространства $(X,d)$ является пределом последовательности ​ $(x_{n})$ если:

Для каждого действительного числа $\varepsilon >0$, существует натуральное число $N$ такая, что для любого натурального числа $n\geq N$, у нас есть $d(x_{n},x)<\varepsilon$.

Символически это:

$\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)$.

Это совпадает с определением, данным для действительных чисел, когда $X=\mathbb {R}$ и $d(x,y)=|x-y|$.

Свойства

• Если он существует, предел последовательности уникален, поскольку отдельные точки разделены некоторым положительным расстоянием, поэтому для $\varepsilon$ меньше половины этого расстояния, члены последовательности не могут находиться на расстоянии $\varepsilon$ обеих точек.

• Для любой непрерывной функции f , если $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ существует, то $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)$. Фактически, функция f непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей.

Последовательности Коши

Основная статья: последовательность Коши

График последовательности Коши ( x _n ), показанный синим цветом, как $x_{n}$против н . Визуально мы видим, что последовательность приближается к предельной точке, поскольку члены последовательности становятся ближе друг к другу по мере увеличения n . В действительных числах каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

Последовательность Коши — это последовательность, члены которой в конечном итоге становятся сколь угодно близкими друг к другу после того, как было отброшено достаточно много начальных членов. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является критерий Коши сходимости последовательностей : последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. Это остается верным и в других полных метрических пространствах .

Топологические пространства

Определение

Точка $x\in X$ топологического пространства $(X,\tau )$ это ограничить или предельная точка последовательности ​ $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ если:

Для каждого района $U$ из $x$, существует некоторый $N\in \mathbb {N}$ такой, что для каждого $n\geq N$, у нас есть $x_{n}\in U$.

Это совпадает с определением, данным для метрических пространств, если $(X,d)$ является метрическим пространством и $\tau$ топология, созданная $d$.

Предел последовательности точек $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ в топологическом пространстве $T$ является частным случаем предела функции : область определения $\mathbb {N}$ в пространстве $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace$, с индуцированной топологией аффинно расширенной системы действительных чисел , диапазон равен $T$и аргумент функции $n$ как правило $+\infty$, которая в этом пространстве является предельной точкой $\mathbb {N}$.

Свойства

В хаусдорфовом пространстве пределы последовательностей уникальны, если они существуют. Это не обязательно должно быть так в нехаусдорфовых пространствах; в частности, если две точки $x$ и $y$ , топологически неразличимы то любая последовательность, сходящаяся к $x$ должен сходиться к $y$ и наоборот.

Гипердействительные числа

Определение предела с использованием гипердействительных чисел формализует интуитивное представление о том, что для «очень большого» значения индекса соответствующий член «очень близок» к пределу. Точнее, реальная последовательность $(x_{n})$ стремится к L , если для любого бесконечного сверхъестественного ${\textstyle H}$, термин $x_{H}$ бесконечно близок к ${\textstyle L}$ (т.е. разница $x_{H}-L$ ) бесконечно мал . Эквивалентно, L является стандартной частью $x_{H}$:

$L={\rm {st}}(x_{H})$.

Таким образом, предел можно определить по формуле

$\lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})$.

где предел существует тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от выбора бесконечного ${\textstyle H}$.

Последовательность более чем одного индекса

Иногда можно также рассмотреть последовательность с более чем одним индексом, например, двойную последовательность. $(x_{n,m})$. Эта последовательность имеет предел $L$ если он становится все ближе и ближе к $L$ когда и n , и m становятся очень большими.

Пример

• Если $x_{n,m}=c$ для постоянного ${\textstyle c}$, затем $x_{n,m}\to c$.
• Если $x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}$, затем $x_{n,m}\to 0$.
• Если $x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}$, то предела не существует. В зависимости от относительной «скорости роста» ${\textstyle n}$ и ${\textstyle m}$, эта последовательность может приблизиться к любому значению между ${\textstyle 0}$ и ${\textstyle 1}$.

Определение

Мы называем $x$ двойной предел последовательности ​ $(x_{n,m})$, написано

$x_{n,m}\to x$, или

$\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x$,

если выполняется следующее условие:

Для каждого действительного числа $\varepsilon >0$, существует натуральное число $N$ такая, что для каждой пары натуральных чисел $n,m\geq N$, у нас есть $|x_{n,m}-x|<\varepsilon$.

Другими словами, для каждой меры близости $\varepsilon$, члены последовательности в конечном итоге настолько близки к пределу. Последовательность $(x_{n,m})$ говорят, что он сходится или стремится к пределу $x$.

Символически это:

$\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)$.

Двойной предел отличается от ограничения сначала в n , а затем в m . Последний известен как итерированный предел . Учитывая, что существуют и двойной предел, и повторный предел, они имеют одинаковое значение. Однако возможно, что один из них существует, а другой нет.

Бесконечные пределы

Последовательность $(x_{n,m})$ говорят, стремится к бесконечности , написано

$x_{n,m}\to \infty$, или

$\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа $K$, существует натуральное число $N$ такая, что для каждой пары натуральных чисел $n,m\geq N$, у нас есть $x_{n,m}>K$; то есть члены последовательности в конечном итоге превышают любые фиксированные $K$.

Символически это:

$\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)$.

Аналогично, последовательность $(x_{n,m})$ стремится к минус бесконечности , записано

$x_{n,m}\to -\infty$, или

$\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty$,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа $K$, существует натуральное число $N$ такая, что для каждой пары натуральных чисел $n,m\geq N$, у нас есть $x_{n,m}<K$; то есть члены последовательности в конечном итоге меньше любых фиксированных $K$.

Символически это:

$\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)$.

Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, а последовательность $x_{n,m}=(-1)^{n+m}$ приводит один такой пример.

Поточечные пределы и равномерные пределы

Для двойной последовательности $(x_{n,m})$, мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, $n\to \infty$, чтобы получить одну последовательность $(y_{m})$. Фактически, существует два возможных значения этого предела. Первый из них называется поточечным пределом и обозначается

$x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}$, или

$\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}$,

что значит:

Для каждого действительного числа $\varepsilon >0$ и каждое фиксированное натуральное число $m$, существует натуральное число $N(\varepsilon ,m)>0$ такая, что для любого натурального числа $n\geq N$, у нас есть $|x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon$.

Символически это:

$\forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)$.

Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность $(x_{n,m})$ сходится поточечно к $(y_{m})$.

Второй называется равномерным пределом и обозначается

$x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}$,

$\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}$,

$x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}$, или

${\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}$,

что значит:

Для каждого действительного числа $\varepsilon >0$, существует натуральное число $N(\varepsilon )>0$ такая, что для любого натурального числа $m$ и для каждого натурального числа $n\geq N$, у нас есть $|x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon$.

Символически это:

$\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)$.

В этом определении выбор $N$ не зависит от $m$. Другими словами, выбор $N$ ко равномерно применим всем натуральным числам $m$. Следовательно, легко видеть, что равномерная сходимость является более сильным свойством, чем поточечная сходимость: существование равномерного предела подразумевает существование и равенство поточечного предела:

Если $x_{n,m}\to y_{m}$ равномерно, тогда $x_{n,m}\to y_{m}$ точечно.

Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность $(x_{n,m})$ сходится равномерно к $(y_{m})$.

Итерированный лимит

Для двойной последовательности $(x_{n,m})$, мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, $n\to \infty$, чтобы получить одну последовательность $(y_{m})$, а затем возьмем предел по другому индексу, а именно $m\to \infty$, чтобы получить номер $y$. Символически,

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y$.

Этот предел известен как итерированный предел двойной последовательности. Порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}$ в общем.

Достаточное условие равенства даёт теорема Мура-Осгуда , которая требует предела $\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}$ быть единообразным в ${\textstyle m}$.

См. также

• Предельная точка
• Последующий лимит
• Ограничьте верхнее и ограничьте худшее
• Предел функции
• Предел последовательности функций
• Предел последовательности наборов
• Предел сети
• Поточечная сходимость
• Равномерная сходимость
• Способы конвергенции

Ссылки

• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN  0-85274-275-4 . ОСЛК   4146011 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Курант, Ричард (1961). «Дифференциальное и интегральное исчисление, том I», Blackie & Son, Ltd., Глазго.
• Фрэнк Морли и Джеймс Харкнесс. Трактат по теории функций (Нью-Йорк: Macmillan, 1893).

Внешние ссылки

• «Предел» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• История исчисления , включая пределы