Топологическая неотличимость
Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
---|---|
Колмогорова Классификация | |
Т 0 | (Kolmogorov) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
T 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
TТ3 | (обычный Хаусдорф) |
T 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (обычно Хаусдорф) |
TТ5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
TТ6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
В топологии две точки топологического пространства X если топологически неразличимы, они имеют одинаковые окрестности . То есть, если x и y — точки в X , а N x — множество всех окрестностей, содержащих x , а N y — множество всех окрестностей, содержащих y , то x и y «топологически неразличимы» тогда и только тогда, когда если N Икс знак равно N y . Хаусдорфа (См. аксиоматические системы соседства .)
Интуитивно понятно, что две точки топологически неразличимы, если топология X не может различать точки.
Две точки X если топологически различимы, они не топологически неразличимы. Это означает, что существует открытое множество , содержащее ровно одну из двух точек (эквивалентно, существует замкнутое множество , содержащее ровно одну из двух точек). Затем этот открытый набор можно использовать для различения двух точек. Пространство T 0 — это топологическое пространство, в котором каждая пара различных точек топологически различима. Это самая слабая из аксиом разделения .
Топологическая неотличимость определяет отношение эквивалентности любом топологическом пространстве X. на Если x и y являются точками X, мы пишем x ≡ y, поскольку « x и y топологически неразличимы». Класс эквивалентности x x будем обозначать [ ] .
Примеры
[ редактировать ]По определению любые две различные точки в T 0 пространстве топологически различимы. С другой стороны, регулярность и нормальность не предполагают T 0 , поэтому мы можем найти нетривиальные примеры топологически неразличимых точек в регулярных или нормальных топологических пространствах. На самом деле почти все приведенные ниже примеры совершенно регулярны .
- В недискретном пространстве любые две точки топологически неразличимы.
- В псевдометрическом пространстве две точки топологически неразличимы тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно нулю.
- В полунормированном векторном пространстве x ≡ y тогда и только тогда, когда ‖ x − y ‖ = 0.
- Например, пусть Л 2 ( R ) — пространство всех измеримых функций от R до R , интегрируемых с квадратом (см. L п космос ). Тогда две функции f и g из L 2 ( R ) топологически неразличимы тогда и только тогда, когда они равны почти всюду .
- В топологической группе x ≡ y тогда и только тогда, когда x −1 y ∈ cl{ e }, где cl{ e } — замыкание тривиальной подгруппы . Классы эквивалентности — это просто смежные классы cl{ e } (который всегда является нормальной подгруппой ).
- Равномерные пространства обобщают как псевдометрические пространства, так и топологические группы. В однородном пространстве x ≡ y тогда и только тогда, когда пара ( x , y ) принадлежит каждому антуражу . Пересечение всех окружений представляет собой отношение эквивалентности на X , которое представляет собой не что иное, как отношение топологической неотличимости.
- Пусть X имеет начальную топологию относительно семейства функций . Тогда две точки x и y из X будут топологически неразличимы, если семейство не разделяет их (т. для всех ).
- Для любого отношения эквивалентности на множестве X существует топология на X , для которой понятие топологической неотличимости согласуется с данным отношением эквивалентности. можно просто взять классы эквивалентности За основу топологии называется топологией разделов на X. . Это
Специализация предзаказ
[ редактировать ]Отношение топологической неотличимости в пространстве X можно восстановить из естественного предпорядка на X, называемого предпорядком специализации . Для точек x и y в X этот предварительный порядок определяется формулой
- x ≤ y тогда и только тогда, когда x ∈ cl{ y }
где cl{ y } обозначает замыкание { y }. Эквивалентно, x ≤ y если система окрестностей x , , обозначаемая N x , содержится в системе окрестностей y :
- x ≤ y тогда и только тогда, когда N x ⊂ N y .
Легко видеть, что это отношение на X рефлексивно и, таким образом , и транзитивно определяет предпорядок. Однако в целом этот предварительный порядок не будет антисимметричным . Действительно, отношение эквивалентности, определяемое условием ≤, является в точности отношением топологической неотличимости:
- x ≡ y тогда и только тогда, когда x ≤ y и y ≤ x .
Топологическое пространство называется симметричным (или R 0 ), если предварительный порядок специализации симметричен (т. е. из x ≤ y следует y ≤ x ). В этом случае отношения ≤ и ≡ тождественны. Топологическая неотличимость в этих пространствах проявляется лучше и ее легче понять. Заметим, что в этот класс пространств входят все регулярные и вполне регулярные пространства .
Характеристики
[ редактировать ]Эквивалентные условия
[ редактировать ]Существует несколько эквивалентных способов определить, когда две точки топологически неразличимы. Пусть X — топологическое пространство, а и y — точки X. x Обозначим соответствующие замыкания x y и }, а через cl{ x } и cl{ y соответствующие системы окрестностей через N x и N y . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- х ≡ у
- для каждого открытого множества U в X U . содержит либо x , либо y , либо ни один из них
- Н х = Н у
- x ∈ cl{ y } и y ∈ cl{ x }
- кл { х } = кл { у }
- x ∈ ∩ N y и y ∈ ∩ N x
- ∩ N x = ∩ N y
- x ∈ cl{ y } и x ∈ ∩ N y
- x принадлежит каждому открытому множеству и каждому закрытому множеству, содержащему y
- сеть тогда и только тогда , или фильтр сходятся к x когда они сходятся к y
Эти условия можно упростить в случае, когда X — симметричное пространство . Для этих пространств (в частности, для регулярных пространств ) следующие утверждения эквивалентны:
- х ≡ у
- для каждого открытого множества U , если x ∈ U , то y ∈ U
- Н х ⊂ Н у
- х € cl{ y }
- x ∈ ∩ N y
- x принадлежит каждому замкнутому множеству, содержащему y
- x принадлежит каждому открытому множеству, содержащему y
- каждая сеть или фильтр, который сходится к x, сходится к y
Классы эквивалентности
[ редактировать ]Чтобы обсудить эквивалентности x множества , удобно сначала определить верхнее и нижнее x класс . Оба они определены относительно предварительного порядка специализации, обсуждавшегося выше.
Нижний набор x — это просто замыкание { x }:
в то время как верхний набор x является пересечением системы окрестностей в точке x :
Тогда класс эквивалентности x задается пересечением
Поскольку ↓ x является пересечением всех закрытых множеств, содержащих x , а ↑ x является пересечением всех открытых множеств, содержащих x , класс эквивалентности [ x ] является пересечением всех открытых множеств и закрытых множеств, содержащих x .
И cl{ x }, и ∩ N x будут содержать класс эквивалентности [ x ]. В общем, оба набора будут содержать и дополнительные баллы. Однако в симметричных пространствах (в частности, в регулярных пространствах ) три множества совпадают:
В общем, классы эквивалентности [ x ] будут замкнутыми тогда и только тогда, когда пространство симметрично.
Непрерывные функции
[ редактировать ]Пусть f : X → Y — непрерывная функция . Тогда для любых x и y из X
- Икс ≡ y подразумевает ж ( Икс ) ≡ ж ( y ).
Обратное, как правило, неверно (существуют факторы пространств T 0 , которые являются тривиальными ). Обратное будет иметь место, если X имеет начальную топологию, индуцированную f . В более общем смысле, если X имеет начальную топологию, индуцированную семейством отображений затем
- x ≡ y тогда и только тогда, когда f α ( x ) ≡ f α ( y ) для всех α.
Отсюда следует, что два элемента в пространстве продукта топологически неразличимы тогда и только тогда, когда каждый из их компонентов топологически неразличим.
частное Колмогорова
[ редактировать ]Поскольку топологическая неотличимость является отношением эквивалентности на любом топологическом пространстве X , мы можем сформировать фактор-пространство KX = X /≡. Пространство KX называется Колмогорова или T 0 идентификацией X . фактором Пространство KX фактически есть T 0 (т.е. все точки топологически различимы). Более того, в силу характеристического свойства фактор-отображения любое непрерывное отображение f : X → Y из X в T 0 пространственно факторизуется через фактор-отображение q : X → KX .
Хотя фактор-отображение q обычно не является гомеоморфизмом (поскольку оно не является вообще инъективным ), оно вызывает биекцию между топологией на X и топологией на KX . Интуитивно понятно, что фактор Колмогорова не меняет топологию пространства. Он просто уменьшает набор точек до тех пор, пока точки не станут топологически различимы.
См. также
[ редактировать ]- Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
- Локально Хаусдорфово пространство
- Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».
- Предварительный заказ специализации — предмет в топологии.
- T 0 Пространство — концепция в топологии.