Jump to content

Топологическая неотличимость

(Перенаправлено с Топологически неотличимо )
Аксиомы разделения
в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0  (Kolmogorov)
Т 1  (Фреше)
Т 2  (Хаусдорф)
T 2 ½ (Урысон)
полностью Т 2  (полностью Хаусдорф)
TТ3  (обычный Хаусдорф)
T (Тихонов)
Т 4  (обычно Хаусдорф)
TТ5  (совершенно нормально
Хаусдорф)
TТ6  (совершенно нормально
Хаусдорф)

В топологии две точки топологического пространства X если топологически неразличимы, они имеют одинаковые окрестности . То есть, если x и y — точки в X , а N x — множество всех окрестностей, содержащих x , а N y — множество всех окрестностей, содержащих y , то x и y «топологически неразличимы» тогда и только тогда, когда если   N Икс знак равно N y . Хаусдорфа (См. аксиоматические системы соседства .)

Интуитивно понятно, что две точки топологически неразличимы, если топология X не может различать точки.

Две точки X если топологически различимы, они не топологически неразличимы. Это означает, что существует открытое множество , содержащее ровно одну из двух точек (эквивалентно, существует замкнутое множество , содержащее ровно одну из двух точек). Затем этот открытый набор можно использовать для различения двух точек. Пространство T 0 это топологическое пространство, в котором каждая пара различных точек топологически различима. Это самая слабая из аксиом разделения .

Топологическая неотличимость определяет отношение эквивалентности любом топологическом пространстве X. на Если x и y являются точками X, мы пишем x y, поскольку « x и y топологически неразличимы». Класс эквивалентности x x будем обозначать [ ] .

По определению любые две различные точки в T 0 пространстве топологически различимы. С другой стороны, регулярность и нормальность не предполагают T 0 , поэтому мы можем найти нетривиальные примеры топологически неразличимых точек в регулярных или нормальных топологических пространствах. На самом деле почти все приведенные ниже примеры совершенно регулярны .

Специализация предзаказ

[ редактировать ]

Отношение топологической неотличимости в пространстве X можно восстановить из естественного предпорядка на X, называемого предпорядком специализации . Для точек x и y в X этот предварительный порядок определяется формулой

x y тогда и только тогда, когда x ∈ cl{ y }

где cl{ y } обозначает замыкание { y }. Эквивалентно, x y если система окрестностей x , , обозначаемая N x , содержится в системе окрестностей y :

x y тогда и только тогда, когда N x N y .

Легко видеть, что это отношение на X рефлексивно и, таким образом , и транзитивно определяет предпорядок. Однако в целом этот предварительный порядок не будет антисимметричным . Действительно, отношение эквивалентности, определяемое условием ≤, является в точности отношением топологической неотличимости:

x y тогда и только тогда, когда x y и y x .

Топологическое пространство называется симметричным (или R 0 ), если предварительный порядок специализации симметричен (т. е. из x y следует y x ). В этом случае отношения ≤ и ≡ тождественны. Топологическая неотличимость в этих пространствах проявляется лучше и ее легче понять. Заметим, что в этот класс пространств входят все регулярные и вполне регулярные пространства .

Характеристики

[ редактировать ]

Эквивалентные условия

[ редактировать ]

Существует несколько эквивалентных способов определить, когда две точки топологически неразличимы. Пусть X — топологическое пространство, а и y точки X. x Обозначим соответствующие замыкания x y и }, а через cl{ x } и cl{ y соответствующие системы окрестностей через N x и N y . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  • х у
  • для каждого открытого множества U в X U . содержит либо x , либо y , либо ни один из них
  • Н х = Н у
  • x ∈ cl{ y } и y ∈ cl{ x }
  • кл { х } = кл { у }
  • x N y и y N x
  • N x = N y
  • x ∈ cl{ y } и x N y
  • x принадлежит каждому открытому множеству и каждому закрытому множеству, содержащему y
  • сеть тогда и только тогда , или фильтр сходятся к x когда они сходятся к y

Эти условия можно упростить в случае, когда X симметричное пространство . Для этих пространств (в частности, для регулярных пространств ) следующие утверждения эквивалентны:

  • х у
  • для каждого открытого множества U , если x U , то y U
  • Н х Н у
  • х € cl{ y }
  • x N y
  • x принадлежит каждому замкнутому множеству, содержащему y
  • x принадлежит каждому открытому множеству, содержащему y
  • каждая сеть или фильтр, который сходится к x, сходится к y

Классы эквивалентности

[ редактировать ]

Чтобы обсудить эквивалентности x множества , удобно сначала определить верхнее и нижнее x класс . Оба они определены относительно предварительного порядка специализации, обсуждавшегося выше.

Нижний набор x — это просто замыкание { x }:

в то время как верхний набор x является пересечением системы окрестностей в точке x :

Тогда класс эквивалентности x задается пересечением

Поскольку ↓ x является пересечением всех закрытых множеств, содержащих x , а ↑ x является пересечением всех открытых множеств, содержащих x , класс эквивалентности [ x ] является пересечением всех открытых множеств и закрытых множеств, содержащих x .

И cl{ x }, и N x будут содержать класс эквивалентности [ x ]. В общем, оба набора будут содержать и дополнительные баллы. Однако в симметричных пространствах (в частности, в регулярных пространствах ) три множества совпадают:

В общем, классы эквивалентности [ x ] будут замкнутыми тогда и только тогда, когда пространство симметрично.

Непрерывные функции

[ редактировать ]

Пусть f : X Y непрерывная функция . Тогда для любых x и y из X

Икс y подразумевает ж ( Икс ) ≡ ж ( y ).

Обратное, как правило, неверно (существуют факторы пространств T 0 , которые являются тривиальными ). Обратное будет иметь место, если X имеет начальную топологию, индуцированную f . В более общем смысле, если X имеет начальную топологию, индуцированную семейством отображений затем

x y тогда и только тогда, когда f α ( x ) ≡ f α ( y ) для всех α.

Отсюда следует, что два элемента в пространстве продукта топологически неразличимы тогда и только тогда, когда каждый из их компонентов топологически неразличим.

частное Колмогорова

[ редактировать ]

Поскольку топологическая неотличимость является отношением эквивалентности на любом топологическом пространстве X , мы можем сформировать фактор-пространство KX = X /≡. Пространство KX называется Колмогорова или T 0 идентификацией X . фактором Пространство KX фактически есть T 0 (т.е. все точки топологически различимы). Более того, в силу характеристического свойства фактор-отображения любое непрерывное отображение f : X Y из X в T 0 пространственно факторизуется через фактор-отображение q : X KX .

Хотя фактор-отображение q обычно не является гомеоморфизмом (поскольку оно не является вообще инъективным ), оно вызывает биекцию между топологией на X и топологией на KX . Интуитивно понятно, что фактор Колмогорова не меняет топологию пространства. Он просто уменьшает набор точек до тех пор, пока точки не станут топологически различимы.

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 879eea062de9d660c202f137dfd9b137__1715456340
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/87/37/879eea062de9d660c202f137dfd9b137.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Topological indistinguishability - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)