Тривиальная топология

В топологии топологическое пространство с тривиальной топологией — это пространство, в котором единственными открытыми множествами являются пустое множество и все пространство. Такие пространства принято называть недискретными , антидискретными , конкретными или кодискретными . Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «собраны вместе» и не могут быть различимы топологическими средствами. Каждое недискретное пространство является псевдометрическим пространством , в котором расстояние между любыми двумя точками равно нулю .

Подробности

Тривиальная топология — это топология с наименьшим возможным количеством открытых множеств , а именно с пустым множеством и всем пространством, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два множества были открыты. Несмотря на свою простоту, пространство X с более чем одним элементом и тривиальной топологией лишено ключевого желательного свойства: оно не является T ₀ пространством .

Другие свойства недискретного пространства X , многие из которых весьма необычны, включают:

• Единственными закрытыми множествами являются пустое множество X. и
• Единственно возможный базис X — это { X }.
• Если X имеет более одной точки, то, поскольку это не T ₀ не удовлетворяет ни одной из высших аксиом T. , оно также В частности, это не хаусдорфово пространство . Не будучи Хаусдорфом, X не является топологией порядка и не метризуемо .
• X , однако, регулярен , совершенно регулярен , нормален и совершенно нормален ; однако все это довольно бессодержательно, поскольку единственными замкнутыми множествами являются ∅ и X .
• X компактно и , следовательно, паракомпактно , по Линделефу , и локально компактно .
• Любая функция которой , областью определения является топологическое пространство и областью определения X, является непрерывной .
• X связан по путям и поэтому связан .
• X является счетным по счету , а значит, счетным по счету первым , сепарабельным и линделефовым .
• Все подпространства X . имеют тривиальную топологию
• Все факторпространства X топологию имеют тривиальную
• Произвольные произведения тривиальных топологических пространств либо с топологией произведения , либо с топологией ящика имеют тривиальную топологию.
• Все последовательности в X сходятся точке X. к каждой В частности, у каждой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность (вся последовательность или любая другая подпоследовательность), поэтому X секвенциально компактно .
• Внутренность X каждого множества, кроме , пуста.
• Замыкание . непустого подмножества X есть X каждого Другими словами: каждое непустое подмножество X является плотным , и это свойство характеризует тривиальные топологические пространства.
  • В результате замыкание каждого открытого подмножества U в X равно либо ∅ (если U = ∅), либо X (в противном случае). В частности, замыкание каждого открытого подмножества X снова является открытым множеством, и, следовательно, X несвязно экстремально .
• Если S — любое подмножество X элементом, то все элементы X являются точками S. предельными с более чем одним Если S является одноэлементным , то каждая точка X \ S прежнему является предельной точкой S. по -
• X — пространство Бэра .
• Два топологических пространства, несущих тривиальную топологию, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность .

В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология , в которой каждое подмножество открыто.

Тривиальная топология принадлежит однородному пространству , в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением .

Пусть Top — категория топологических пространств с непрерывными отображениями, а Set — категория множеств с функциями. Если G : Top → Set — это функтор , который присваивает каждому топологическому пространству его базовое множество (так называемый функтор забывания ), а H : Set → Top — это функтор, который помещает тривиальную топологию в заданное множество, то H (функтор забывания) так называемый косвободный функтор ) сопряжен с G. справа (Так называемый свободный функтор F : Set → Top , который ставит дискретную топологию на заданное множество, сопряжен слева с G .)

См. также

• Список топологий
• Тривиальность (математика)

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446