Бесплатный объект

В математике идея свободного объекта является одним из основных понятий абстрактной алгебры . Неформально, свободный объект над множеством A можно рассматривать как «общую» алгебраическую структуру над A : единственные уравнения, которые выполняются между элементами свободного объекта, - это те, которые следуют из определяющих аксиом алгебраической структуры. Примеры включают свободные группы , тензорные алгебры или свободные решетки .

Это понятие является частью универсальной алгебры в том смысле, что оно относится ко всем типам алгебраических структур (с финитными операциями). У него также есть формулировка в терминах теории категорий , хотя и в еще более абстрактных терминах.

Определение [ править ]

Свободные объекты являются прямым обобщением на категории понятия базиса в векторном пространстве. Линейная функция $u : E 1 \to E 2$ между векторными пространствами полностью определяется своими значениями на основе векторного пространства $E 1 .$ Следующее определение переводит это в любую категорию.

Конкретная категория — это категория, снабженная точным функтором для Set , категории множеств . Пусть $C$ — конкретная категория с точным функтором $U : C \to Set$ . Пусть $X$ — набор (то есть объект в Set ), который будет основой определяемого свободного объекта. на Свободный объект X $—$ это пара, состоящая из объекта $A$ в $C$ и инъекцию $i:X\to U(A)$ (так называемая каноническая инъекция ), которая удовлетворяет следующему универсальному свойству :

Для любого объекта

B

в

C

и любого отображения между множествами

g:X\to U(B)

, существует единственный морфизм

f:A\to B

в

C

такой, что

g=U(f)\circ i

. То есть следующая диаграмма коммутирует:

Если свободные объекты существуют в $C$ , свойство универсальности подразумевает, что каждое отображение между двумя множествами вызывает уникальный морфизм между построенными на них свободными объектами, и это определяет функтор $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C}$ . Отсюда следует, что если в $C$ существуют свободные объекты , то функтор $F$ , называемый свободным функтором , является левым сопряженным к точному функтору $U$ ; то есть существует биекция

\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).

Примеры [ править ]

Создание свободных объектов происходит в два этапа. Для алгебр, которые подчиняются закону ассоциативности , первым шагом является рассмотрение совокупности всех возможных слов, образованных из алфавита . Затем к словам налагается набор отношений эквивалентности , где эти отношения являются определяющими отношениями рассматриваемого алгебраического объекта. Тогда свободный объект состоит из набора классов эквивалентности .

Рассмотрим, например, построение свободной группы в двух образующих . Начинается с алфавита, состоящего из пяти букв. $\{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ . На первом этапе «буквам» еще не присвоено какое-либо значение. $a^{-1}$ или $b^{-1}$ ; они будут даны позже, на втором этапе. Таким образом, с таким же успехом можно было бы начать с алфавита из пяти букв, то есть $S=\{a,b,c,d,e\}$ . В этом примере набор всех слов или строк $W(S)$ будет включать в себя такие строки, как aebecede и abdc и т. д., произвольной конечной длины, с буквами, расположенными во всех возможных порядках.

На следующем этапе вводится набор отношений эквивалентности. Отношения эквивалентности для группы — это отношения умножения на единицу, $ge=eg=g$ , и умножение обратных: $gg^{-1}=g^{-1}g=e$ . Применяя эти отношения к приведенным выше строкам, получаем

aebecede=aba^{-1}b^{-1},

где это было понятно $c$ является заменой $a^{-1}$ , и $d$ является заменой $b^{-1}$ , пока $e$ является элементом идентичности. Аналогично, у человека есть

abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.

Обозначая отношение эквивалентности или конгруэнтности через $\sim$ тогда свободный объект представляет собой набор классов эквивалентности слов. Таким образом, в этом примере свободная группа в двух образующих — это фактор

F_{2}=W(S)/\sim .

Часто это пишут как $F_{2}=W(S)/E$ где $W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}$ представляет собой набор всех слов, и $E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}$ - класс эквивалентности тождества после наложения отношений, определяющих группу.

Более простой пример — свободные моноиды . Свободный моноид на множестве X — это моноид всех конечных строк, использующих X в качестве алфавита, с операцией конкатенации строк. Идентичность – это пустая строка. По сути, свободный моноид — это просто набор всех слов без каких-либо наложенных отношений эквивалентности. Этот пример получил дальнейшее развитие в статье о звезде Клини .

Общий случай [ править ]

В общем случае алгебраические отношения не обязательно должны быть ассоциативными, и в этом случае отправной точкой является не набор всех слов, а строки, отмеченные круглыми скобками, которые используются для обозначения неассоциативных группировок букв. Такая строка может быть эквивалентно представлена двоичным деревом или свободной магмой ; листья дерева — это буквы алфавита.

Тогда алгебраические отношения могут быть общими арностями или финитными отношениями на листьях дерева. Вместо того, чтобы начинать со сбора всех возможных строк в скобках, может быть удобнее начать с вселенной Herbrand . Правильное описание или перечисление содержимого свободного объекта может быть простым или трудным, в зависимости от конкретного рассматриваемого алгебраического объекта. Например, легко описывается свободная группа в двух образующих. Напротив, о структуре свободных гейтинговых алгебр с более чем одним генератором известно мало или совсем ничего. ^[1] Проблема определения принадлежности двух разных строк одному и тому же классу эквивалентности известна как проблема слов .

Как показывают примеры, свободные объекты выглядят как конструкции из синтаксиса ; можно в некоторой степени изменить это мнение, сказав, что основные варианты использования синтаксиса можно объяснить и охарактеризовать как свободные объекты, что делает явно тяжелую «пунктуацию» объяснимой (и более запоминающейся). ^{[ нужны разъяснения ]}

Бесплатные универсальные алгебры [ править ]

Позволять $S$ быть любым множеством, и пусть $\mathbf {A}$ быть алгебраической структурой типа $\rho$ созданный $S$ . Пусть базовый набор этой алгебраической структуры $\mathbf {A}$ , иногда называемая его вселенной, $A$ , и пусть $\psi \colon S\to A$ быть функцией. Мы говорим, что $(A,\psi )$ (или неофициально просто $\mathbf {A}$ ) — свободная алгебра (типа $\rho$ ) на съемочной площадке $S$ свободных образующих , если для любой алгебры $\mathbf {B}$ типа $\rho$ и каждая функция $\tau \colon S\to B$ , где $B$ это вселенная $\mathbf {B}$ , существует единственный гомоморфизм $\sigma \colon A\to B$ такой, что $\sigma \circ \psi =\tau .$

Свободный функтор [ править ]

Наиболее общая установка свободного объекта находится в теории категорий , где определяется функтор , свободный функтор , который является левым сопряженным функтору забывчивости .

Рассмотрим категорию C алгебраических структур ; объекты можно рассматривать как множества плюс операции, подчиняющиеся некоторым законам. Эта категория имеет функтор $U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set}$ , функтор забывчивости , который отображает объекты и функции в C в Set , категорию множеств . Функтор забывчивости очень прост: он просто игнорирует все операции.

Свободный функтор F левым сопряженным к U. , если он существует, является То есть, $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C}$ переводит множества X в Set в соответствующие им свободные объекты F ( X в категории C. ) Множество X можно рассматривать как множество «генераторов» свободного объекта F ( X ).

Чтобы свободный функтор был левым сопряженным, необходимо также иметь Set -морфизм $\eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!$ . Более явно, F с точностью до изоморфизмов в C характеризуется следующим универсальным свойством :

Всякий раз, когда

B

является алгеброй в

C

и

g:X\to U(B)

является функцией (морфизмом в категории множеств), то существует единственный

C

-морфизм

f:F(X)\to B

такой, что

g=U(f)\circ \eta _{X}

.

Конкретно, это отправляет набор в свободный объект этого набора; это «включение основы». Злоупотребление обозначениями, $X\to F(X)$ (это неправильное обозначение, поскольку X — множество, а F ( X ) — алгебра; правильно, это $X\to U(F(X))$ ).

Естественная трансформация $\eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF$ называется единицей ; вместе с блоком $\varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }$ , можно построить Т-алгебру и, следовательно, монаду .

Косвободный функтор является правым сопряженным функтору забывчивости.

Существование [ править ]

Существуют общие теоремы существования, которые применимы; самый основной из них гарантирует, что

Если C — многообразие , то для каждого множества X существует свободный объект F ( X в C. )

Здесь многообразие является синонимом финитарной алгебраической категории , что подразумевает, что набор отношений является финитным и алгебраическим , поскольку он монадичен над Set .

Общий случай [ править ]

Другие типы забывчивости также порождают объекты, подобные свободным объектам, в том смысле, что они остаются присоединенными к функтору забывания, а не обязательно к множествам.

Например, конструкция тензорной алгебры в векторном пространстве является левым сопряжением функтора на ассоциативных алгебрах , который игнорирует структуру алгебры. Поэтому ее часто еще называют свободной алгеброй . Аналогично симметрическая алгебра и внешняя алгебра являются свободными симметрическими и антисимметричными алгебрами в векторном пространстве.

Список бесплатных объектов [ править ]

К конкретным видам бесплатных объектов относятся:

См. также [ править ]

Генераторная установка

Примечания [ править ]

^ Питер Т. Джонстон, Stone Spaces , (1982) Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-23893-5 . (Рассмотрение одногенераторной свободной алгебры Гейтинга дано в главе 1, раздел 4.11)

Внешние ссылки [ править ]

В nLab : свободный функтор , свободный объект , векторное пространство.

[1] Питер Т. Джонстон, Stone Spaces , (1982) Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-23893-5 . (Рассмотрение одногенераторной свободной алгебры Гейтинга дано в главе 1, раздел 4.11)

[1]