Свободная алгебра Ли

В математике свободная алгебра Ли над полем K — это алгебра Ли, порожденная множеством X , без каких-либо наложенных отношений, кроме определяющих соотношений знакопеременной K -билинейности и тождества Якоби .

Определение

Определение свободной алгебры Ли, порожденной множеством X, выглядит следующим образом:

Пусть X — множество и $i\colon X\to L$ морфизм множеств ( функций ) из X в алгебру L. Ли Алгебра Ли L называется свободной на X, если $i$ – универсальный морфизм ; т. е. если для любой алгебры Ли A с морфизмом множеств $f\colon X\to A$, существует единственный морфизм алгебры Ли $g\colon L\to A$ такой, что $f=g\circ i$.

Учитывая набор X , можно показать, что существует единственная свободная алгебра Ли. $L(X)$ созданный X. ​

На языке теории категорий , функтор переводящий множество X в алгебру Ли, порожденную X, — это свободный функтор из категории множеств в категорию алгебр Ли. То есть он остается сопряженным с функтором забвения .

Свободная алгебра Ли на множестве X естественно градуирована . 1-градуированная компонента свободной алгебры Ли — это просто свободное векторное пространство на этом множестве.

В качестве альтернативы можно определить свободную алгебру Ли в векторном пространстве V как левосопряженную к функтору забвения от алгебр Ли над полем K к векторным пространствам над полем K , забывая структуру алгебры Ли, но помня структуру векторного пространства.

Универсальная обертывающая алгебра

Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли на множестве X — это свободная ассоциативная алгебра порожденная X. , По теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта он имеет «тот же размер», что и симметрическая алгебра свободной алгебры Ли (это означает, что если обе стороны градуированы путем задания элементов X степени 1, то они изоморфны как градуированные векторные пространства). Это можно использовать для описания размерности фрагмента свободной алгебры Ли любой заданной степени.

Эрнст Витт показал, что количество основных коммутаторов степени k в свободной алгебре Ли на множестве m -элементов определяется полиномом ожерелья :

$M_{m}(k)={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d},$

где $\mu$ — функция Мёбиуса .

Градуированной двойственной универсальной обертывающей алгеброй свободной алгебры Ли на конечном множестве является тасованная алгебра . По сути, это следует из того, что универсальные обертывающие алгебры имеют структуру алгебры Хопфа , а тасованное произведение описывает действие коумножения в этой алгебре. См. Тензорную алгебру для подробного описания взаимосвязи между произведением тасования и коумножением.

Наборы для зала

Основная статья: Набор для зала

Явный базис свободной алгебры Ли может быть дан в терминах холловского множества , которое представляет собой особый вид подмножества внутри магмы на X. свободной Элементы свободной магмы представляют собой деревья , листья которых помечены элементами X. бинарные Наборы для зала были представлены Маршаллом Холлом ( 1950 ) на основе работ Филипа Холла о группах. Впоследствии Вильгельм Магнус показал, что они возникают как градуированная алгебра Ли , связанная с фильтрацией на свободной группе, заданной нижним центральным рядом . Это соответствие было мотивировано коммутаторными тождествами в теории групп, предложенными Филипом Холлом и Виттом.

Линдон Бэйсис

Слова Линдона являются частным случаем слов Холла , и поэтому, в частности, существует базис свободной алгебры Ли, соответствующий словам Линдона. Это называется основой Линдона , названной в честь Роджера Линдона . (Он также называется базисом Чена-Фокса-Линдона или базисом Линдона-Ширшова и по существу аналогичен базису Ширшова .)Существует биекция γ слов Линдона в упорядоченном алфавите в базис свободной алгебры Ли в этом алфавите, определяемый следующим образом:

• Если слово w имеет длину 1, то $\gamma (w)=w$ (рассматривается как генератор свободной алгебры Ли).
• Если w не меньше 2, то напишите длина $w=uv$ для слов Линдона u , v с v как можно дольше («стандартная факторизация» ). Затем $\gamma (w)=[\gamma (u),\gamma (v)]$.

Теорема Ширшова–Витта

Анатолий Ширшов ( 1953 ) и Витт ( 1956 ) показали, что любая подалгебра Ли свободной алгебры Ли сама является свободной алгеброй Ли.

Приложения

Теорема Серра о полупростой алгебре Ли использует свободную алгебру Ли для построения полупростой алгебры из генераторов и отношений.

Инварианты Милнора группы зацеплений связаны со свободной алгеброй Ли на компонентах зацепления , как обсуждалось в этой статье.

См. также операду Ли, чтобы узнать об использовании свободной алгебры Ли при построении операды.

См. также

• Бесплатный объект
• Бесплатная алгебра
• Бесплатная группа

Ссылки

• Бахтурин, Ю.А. (2001) [1994], «Свободная алгебра Ли над кольцом» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бурбаки, Николя (1989). «Глава II: Свободные алгебры Ли». Группы Ли и алгебры Ли . Спрингер. ISBN  0-387-50218-1 .
• Чен, Го-Цай; Фокс, Ральф Х .; Линдон, Роджер К. (1958), «Свободное дифференциальное исчисление. IV. Факторгруппы нижнего центрального ряда», Annals of Mathematics , Second Series, 68 (1): 81–95, doi : 10.2307/1970044 , ISSN   0003 -486X , JSTOR   1970044 , MR   0102539
• Холл, Маршалл (1950), «Основы свободных колец Ли и высших коммутаторов в свободных группах» , Proceedings of the American Mathematical Society , 1 (5): 575–581, doi : 10.1090/S0002-9939-1950-0038336- 7 , ISSN   0002-9939 , МР   0038336
• Лотер, М. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 17, Перрен, Д.; Ройтенауэр, Кристоф; Берстель, Дж.; Пин, Дж. Э.; Пирилло, Г.; Фоата, Д.; Сакарович Дж.; Саймон, И.; Шютценбергер, Марсель-Поль ; Шоффрут, К.; Кори, Р.; Линдон, Роджер ; Рота, Джан-Карло . Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Cambridge University Press , стр. 76–91, 98, ISBN  0-521-59924-5 , Збл   0874.20040
• Магнус, Вильгельм (1937), «Об отношениях между высшими коммутаторами» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1937 (177): 105–115, doi : 10.1515/crll.1937.177.105 , ISSN   0075-4102 , ДЖФМ   63.0065.01 , С2КИД   199546158
• Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп (перепечатка второго изд. 1976 г.). Минеола, Нью-Йорк: Дувр . ISBN  0-486-43830-9 . МР   2109550 .
• Ги Мелансон (2001) [1994], «Набор Холла» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Ги Мелансон (2001) [1994], «Слово Холла» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Мелансон, Ги (2001) [1994], «Базис Ширшова» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Ройтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 7, издательство Clarendon Press , издательство Оксфордского университета , ISBN  978-0-19-853679-6 , МР   1231799
• Ширшов, Анатолий И. (1953), "Подалгебры свободных алгебр Ли", Матем. Сборник , Новая серия, 33 (75): 441–452, МР   0059892
• Ширшов, Анатолий И. (1958), "О свободных кольцах Ли", Матем. Сборник , Новая серия, 45 (2): 113–122, МР   0099356
• Bokut, Leonid A.; Latyshev, Victor; Shestakov, Ivan; Zelmanov, Efim , eds. (2009). Selected works of A.I. Shirshov . Translated by Bremner, Murray; Kochetov, Mikhail V. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. MR  2547481 .
• Витт, Эрнст (1956). «Подкольца свободных колец Лишена». Математический журнал . 64 : 195–216. дои : 10.1007/BF01166568 . ISSN   0025-5874 . MR0077525   . S2CID   119607181 .