Бесплатный модуль

В математике — свободный модуль это модуль , имеющий базис , то есть порождающий набор , состоящий из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем, ^[1] но если кольцо коэффициентов не является телом ( не полем в коммутативном случае), то существуют несвободные модули.

Для любого множества $S$ и кольца $R$ существует свободный $R$ -модуль с базисом $S$ который называется свободным модулем на $S$ или модулем формальных $R$ - линейных комбинаций элементов $S.$ ,

Свободная абелева группа это в точности свободный модуль над кольцом $Z.$ чисел целых —

Определение [ править ]

Для кольца $R$ и $R$ - модуль $M$ , набор $E\subseteq M$ является основой для $M$ если:

$E$ представляет собой генераторную установку для $M$ ; то есть каждый элемент $M$ представляет собой конечную сумму элементов $E$ умноженный на коэффициенты в $R$ ; и
$E$ если линейно независима, для любого $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E$ из отдельных элементов, $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ подразумевает, что $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ (где $0_{M}$ является нулевым элементом $M$ и $0_{R}$ является нулевым элементом $R$ ).

Бесплатный модуль — это модуль, имеющий основу. ^[2]

Непосредственным следствием второй половины определения является то, что коэффициенты в первой половине уникальны для каждого элемента M .

Если $R$ имеет инвариантный базисный номер , то по определению любые два базиса имеют одинаковую мощность. Например, ненулевые коммутативные кольца имеют инвариантный базис. Мощность любого (и, следовательно, каждого) базиса называется рангом свободного модуля. $M$ . Если эта мощность конечна, говорят, что свободный модуль свободен от конечного ранга или свободен от ранга $n,$ если известно, что ранг равен $n$ .

Примеры [ править ]

Пусть R — кольцо.

R — свободный модуль ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
В более общем смысле, если R коммутативен, ненулевой идеал I из R свободен тогда и только тогда, когда он является главным идеалом, порожденным ненулевым делителем, с генератором, являющимся базисом. ^[3]
В области главных идеалов (например, $\mathbb {Z}$ ), подмодуль свободного модуля свободен.
Если R коммутативно, кольцо многочленов $R[X]$ в неопределенном X — свободный модуль с возможным базисом 1, X , X ², ....
Позволять $A[t]$ — кольцо полиномов над коммутативным кольцом A , f там — мономонический многочлен степени d , $B=A[t]/(f)$ и $\xi$ образ t в B . Тогда B содержит A как подкольцо и свободно как A -модуль с базисом $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ .
Для любого неотрицательного целого n числа $R^{n}=R\times \cdots \times R$ , произведение декартово n копий R как левого R -модуля, свободно. Если R имеет инвариантный базисный номер , то его ранг равен n .
Прямая сумма свободных модулей свободна, а бесконечное декартово произведение свободных модулей вообще не является свободным (ср. группу Бэра – Спекера ).
Конечно порожденный модуль над коммутативным локальным кольцом свободен тогда и только тогда, когда он точно плоский . ^[4] Кроме того, теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над (возможно, некоммутативным) локальным кольцом свободен.
Иногда вопрос о том, свободен модуль или нет, неразрешим в теоретико-множественном смысле. Известным примером является проблема Уайтхеда , которая спрашивает, свободна группа Уайтхеда или нет. Как оказалось, проблема не зависит от ZFC.

Формальные линейные комбинации [ править ]

Учитывая множество $E$ и кольцо $R$ , существует свободный $R$ -модуль, имеющий $E$ в качестве базиса: а именно, прямая сумма копий R, индексированных E

R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R

.

Явно это подмодуль декартова произведения ${\textstyle \prod _{E}R}$ ( R рассматривается, скажем, как левый модуль), который состоит из элементов, имеющих только конечное число ненулевых компонентов. Можно вставить E в $R (Э)$ как подмножество, идентифицируя элемент e с элементом $R (Э)$ чья e -я компонента равна 1 (единица R ), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент $R (Э)$ можно записать однозначно как

\sum _{e\in E}c_{e}e,

где только конечное число $c_{e}$ ненулевые. Его называют формальной линейной комбинацией элементов $E$ .

Аналогичный аргумент показывает, что каждый свободный левый (соответственно правый) R -модуль изоморфен прямой сумме копий R как левого (соответственно правого) модуля.

Еще одна конструкция [ править ]

Бесплатный модуль $R (Э)$ также может быть построено следующим эквивалентным способом.

Учитывая кольцо R и множество E , сначала как множество положим

R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.

Мы снабдим его структурой левого модуля так, что сложение определяется следующим образом: для x в E ,

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

и скалярное умножение на: для r в R и x в E ,

(rf)(x)=rf(x)

Теперь, как R -значная функция на E , каждое f в $R^{(E)}$ можно записать однозначно как

f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}

где $c_{e}$ находятся в R и лишь конечное число из них ненулевые и $\delta _{e}$ дается как

\delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}

(это вариант дельты Кронекера ). Вышеупомянутое означает, что подмножество $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ из $R^{(E)}$ является основой $R^{(E)}$ . Отображение $e\mapsto \delta _{e}$ является биекцией между $E$ и этим базисом. Благодаря этой биекции $R^{(E)}$ свободный модуль с базисом E. —

Универсальная собственность [ править ]

Отображение включения $\iota :E\to R^{(E)}$ определенное выше, является универсальным в следующем смысле. Дана произвольная функция $f:E\to N$ из множества $E$ в левый $R$ -модуль $N$ существует единственный гомоморфизм модулей ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ такой, что $f={\overline {f}}\circ \iota$ ; а именно, ${\overline {f}}$ определяется по формуле:

{\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)

и ${\overline {f}}$ говорят, что получается расширением $f$ по линейности. Единственность означает, что каждое R -линейное отображение $R^{(E)}\to N$ однозначно определяется его ограничением на E .

Как обычно для универсальных свойств, это определяет $R (Э)$ с точностью до изоморфизма канонического . Также формирование $\iota :E\to R^{(E)}$ для каждого множества E определяет функтор

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

,

из категории множеств в категорию левых $R$ -модулей. Он называется свободным функтором и удовлетворяет естественному соотношению: для каждого множества E и левого N модуля

\operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}

где $U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ это функтор забвения , означающий $R^{(-)}$ является левым сопряженным функтору забывчивости.

Обобщения [ править ]

Многие утверждения, верные для свободных модулей, распространяются на некоторые более крупные классы модулей. Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей. Плоские модули определяются тем свойством, что тензорирование с их помощью сохраняет точные последовательности. Модули без кручения образуют еще более широкий класс. Для конечно порожденного модуля над PID (например, Z ) свойства свободный, проективный, плоский и без кручения эквивалентны.

См. локальное кольцо , идеальное кольцо и кольцо Дедекинда .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Киоун (1975). Введение в теорию представлений групп . п. 24.
^ Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, том 4 . п. 110.
^ Доказательство: предположим $I$ бесплатно с базой $\{x_{j}|j\}$ . Для $j\neq k$ , $x_{j}x_{k}$ должна иметь уникальную линейную комбинацию с точки зрения $x_{j}$ и $x_{k}$ , что неправда. Таким образом, поскольку $I\neq 0$ , существует только один базовый элемент, который должен быть ненолевым делителем. Обратное утверждение очевидно. $\square$
^ Мацумура 1986 , Теорема 7.10.

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя материалы из свободного векторного пространства в наборе PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. стр. 65–66. ISBN 0-05-002192-3 . МР 0345993 .
Киоун, Р. (1975). Введение в теорию представлений групп . Математика в науке и технике. Том. 116. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-404250-6 . МР 0387387 .
Говоров, В.Е. (2001) [1994], «Свободный модуль» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6 . МР 0879273 . Збл 0603.13001 .

[1] Киоун (1975). Введение в теорию представлений групп . п. 24.

[2] Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, том 4 . п. 110.

[3] Доказательство: предположим $I$ бесплатно с базой $\{x_{j}|j\}$ . Для $j\neq k$ , $x_{j}x_{k}$ должна иметь уникальную линейную комбинацию с точки зрения $x_{j}$ и $x_{k}$ , что неправда. Таким образом, поскольку $I\neq 0$ , существует только один базовый элемент, который должен быть ненолевым делителем. Обратное утверждение очевидно. $\square$

[4] Мацумура 1986 , Теорема 7.10.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Измерение
Габаритные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Коллектор Алгебраическое разнообразие Пространство-время
Другие размеры	Крулл Лебеговое покрытие Индуктивный Хаусдорф Минковский фрактал Степени свободы
Многогранники и фигуры	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Гиперсфера Кросс-многогранник Симплекс Гиперпирамида
Размеры по номеру	Ноль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь n -размеры
См. также	Гиперпространство Коразмерность
Категория