Семимерное пространство

В математике последовательность из n действительных чисел можно понимать как местоположение в n - мерном пространстве. Когда n = 7, совокупность всех таких мест называется 7-мерным пространством . Часто такое пространство изучают как векторное пространство без какого-либо понятия расстояния. Семимерное евклидово пространство — это семимерное пространство, снабженное евклидовой метрикой , которая определяется скалярным произведением .

В более общем смысле этот термин может относиться к семимерному векторному пространству над любым полем , например семимерному комплексному векторному пространству, имеющему 14 действительных измерений. Это также может относиться к семимерному многообразию , такому как 7-сфера , или множеству других геометрических конструкций.

Семимерные пространства обладают рядом особых свойств, многие из которых связаны с октонионами . Особенно отличительным свойством является то, что векторное произведение можно определить только в трех или семи измерениях. Это связано с теоремой Гурвица , которая запрещает существование алгебраических структур, таких как кватернионы и октонионы, в измерениях, отличных от 2, 4 и 8. Первые когда-либо открытые экзотические сферы были семимерными.

Геометрия

7-многогранник

Основная статья: Равномерный 7-многогранник

Многогранник в семи измерениях называется 7-мерным многогранником. Наиболее изучены правильные многогранники всего , которых в семи измерениях три : 7-симплекс , 7-куб и 7-ортоплекс . Более широкое семейство — это однородные 7-многогранники , построенные из фундаментальных областей симметрии отражения, каждая из которых определяется группой Коксетера . Каждый однородный многогранник определяется кольцевой диаграммой Кокстера-Динкина . 7 -демикуб — ​​уникальный многогранник из семейства D ₇ , а также многогранники 3 ₂₁ , 2 ₃₁ и 1 ₃₂ из семейства E ₇ .

Правильные и однородные многогранники в семи измерениях.
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждой плоскости симметрии Кокстера)

А 6	Б 7		D 7	E 7
7-симплекс {3,3,3,3,3,3}	7-куб {4,3,3,3,3,3}	7-ортоплекс {3,3,3,3,3,4}	7-демикуб = ч{4,3,3,3,3,3} = {3,3 4,1 }	3 21 {3,3,3,3 2,1 }	2 31 {3,3,3 3,1 }	1 32 {3,3 3,2 }

6-сфера

или Шестимерная сфера гиперсфера в семимерном евклидовом пространстве — это шестимерная поверхность, равноудаленная от точки, например начала координат. Имеет символ S ⁶ , с формальным определением для 6-сферы r радиусом

$S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.$

Объем пространства, ограниченного этой 6-сферой, равен

$V_{7}\,={\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,r^{7}$

что составляет 4,72477 × r ⁷ , или 0,0369 от 7-куба , содержащего 6-сферу

Приложения

Перекрестное произведение

Основная статья: Семимерное векторное произведение

Перекрестное произведение, то есть векторное, билинейное , антикоммутативное и ортогональное произведение двух векторов, определяется в семи измерениях. Наряду с более привычным векторным произведением в трех измерениях это единственное такое произведение, если не считать тривиальных произведений.

Экзотические сферы

Основная статья: Экзотическая сфера

В 1956 году Джон Милнор построил экзотическую семимерную сферу и показал, что на семимерной сфере существует как минимум семь дифференцируемых структур. В 1963 году он показал, что точное число таких структур — 28.

См. также

• Евклидова геометрия
• Список тем по геометрии
• Список правильных многогранников

Ссылки

• HSM Коксетер: Правильные многогранники. Дувр, 1973 год.
• Дж. В. Милнор: О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере. Анналы математики 64, 1956 г.

Внешние ссылки

• «Евклидова геометрия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]