Семимерное векторное произведение

В математике семимерное векторное произведение представляет собой билинейную операцию над векторами в семимерном евклидовом пространстве . Он присваивает любым двум векторам a , b в $\mathbb {R} ^{7}$ вектор a × b также в $\mathbb {R} ^{7}$. Подобно векторному произведению в трех измерениях, семимерное произведение является антикоммутативным , а a × b ортогонально как a , так и b . В отличие от трехмерного, оно не удовлетворяет тождеству Якоби , и хотя трехмерное векторное произведение уникально с точностью до знака, существует множество семимерных векторных произведений. Семимерное векторное произведение имеет такое же отношение к октонионам , как трехмерное произведение к кватернионам .

Семимерное векторное произведение — это один из способов обобщения векторного произведения на другие измерения, кроме трех, и это единственное другое билинейное произведение двух векторов, которое является векторным, ортогональным и имеет ту же величину, что и в трехмерном случае. В других измерениях существуют векторные произведения трех и более векторов, удовлетворяющие этим условиям, и бинарные произведения с бивекторными результатами.

Таблица умножения

×	и 1	eе2	3 ​	4 ​	eе5	6 ​	e 7
и 1	0	3 ​	− е2	eе5	− это 4	− e 7	6 ​
eе2	− е 3	0	и 1	6 ​	e 7	− это 4	− е 5
3 ​	eе2	- е 1	0	e 7	− 6 ​	eе5	− это 4
4 ​	− е 5	− 6 ​	− e 7	0	и 1	eе2	3 ​
eе5	4 ​	− e 7	6 ​	- е 1	0	− е 3	eе2
6 ​	e 7	4 ​	− е 5	− е2	3 ​	0	- е 1
e 7	− 6 ​	eе5	4 ​	− е 3	− е2	и 1	0

Произведение можно получить с помощью таблицы умножения, такой как здесь. Эта таблица, созданная Кэли, дает произведение ортонормированных базисных векторов e _i и e _j для каждого i , j от 1 до 7. Например, из таблицы

$\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}$

Таблицу можно использовать для вычисления произведения любых двух векторов. Например, чтобы вычислить e ₁ компонент x × y, базисные векторы, которые умножаются для получения e ₁ можно выбрать , чтобы получить

$\left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}.$

Это можно повторить для остальных шести компонентов.

Существует 480 таких таблиц для любого заданного набора ортогональных базисных векторов, по одной для каждого продукта, удовлетворяющего определению, так что каждая запись в таблице может быть выражена через один элемент базиса. Эту таблицу можно резюмировать соотношением

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k},$

где $\varepsilon _{ijk}$ является полностью антисимметричным тензором с положительным значением +1 при ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365.

Верхний левый угол этой таблицы размером 3 × 3 дает векторное произведение в трех измерениях.

Определение

Перекрестное произведение в евклидовом пространстве V — это билинейное отображение V , × V в V , отображающее векторы x и y в V в другой вектор x × y также в V , где x × y обладает свойствами

• ортогональность :

  $\mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0,$

• величина :

  $|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}$

где ( x · y ) — евклидово скалярное произведение и | х | является евклидовой нормой . Первое свойство утверждает, что произведение перпендикулярно своим аргументам, а второе свойство определяет величину произведения. Эквивалентное выражение через угол θ между векторами является

$|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,$

что представляет собой площадь параллелограмма в плоскости x и y с двумя векторами в качестве сторон. Третье утверждение условия величины:

$|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{if}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0,$

если x × x = 0 предполагается как отдельная аксиома.

Последствия определения свойств

Учитывая свойства билинейности, ортогональности и величины, ненулевое векторное произведение существует только в трех и семи измерениях. Это можно продемонстрировать, постулировав свойства, необходимые для векторного произведения, а затем выведя уравнение, которое удовлетворяется только тогда, когда размерность равна 0, 1, 3 или 7. В нулевых измерениях существует только нулевой вектор, тогда как в одном измерении все векторы параллельны, поэтому в обоих случаях произведение должно быть тождественно нулю.

Ограничение на 0, 1, 3 и 7 измерений связано с теоремой Гурвица о том, что нормированные алгебры с делением возможны только в 1, 2, 4 и 8 измерениях. Перекрестное произведение формируется из произведения нормированной алгебры с делением путем ограничения его 0, 1, 3 или 7 мнимыми измерениями алгебры, давая ненулевые произведения только в трех и семи измерениях.

В отличие от трехмерного векторного произведения, которое уникально (не считая знака), в семи измерениях существует множество возможных двоичных векторных произведений. Один из способов убедиться в этом — заметить, что для любой пары векторов x и y $\in \mathbb {R} ^{7}$и любой вектор v величины | в | = | х || й | sin θ в пятимерном пространстве, перпендикулярном плоскости, натянутой на x и y , можно найти векторное произведение с таблицей умножения (и соответствующим набором базисных векторов) такое, что x × y = v . В отличие от трехмерного измерения, x × y = a × b не означает, что a и b лежат в той же плоскости, что и x и y .

Дальнейшие свойства следуют из определения, включая следующие тождества:

1. Антикоммутативность :

   $\mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x}$

2. Скалярное тройное произведение :

   $\mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )$

3. Личность Мальцева :

   $(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y}$

   $\mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} .$

Другие свойства следуют только в трехмерном случае и не удовлетворяются семимерным векторным произведением, в частности,

1. Тройное векторное произведение :

   $\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z}$

2. Личность Якоби :

   $\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0$

Благодаря тождеству Якоби трехмерное векторное произведение дает $\mathbb {R} ^{3}$ структура алгебры Ли , которая изоморфна ${\mathfrak {so}}(3)$, алгебра Ли группы 3d вращений . Поскольку тождество Якоби неверно в семи измерениях, семимерное векторное произведение не дает $\mathbb {R} ^{7}$ структура алгебры Ли.

Координатные выражения

Чтобы определить конкретное векторное произведение, ортонормированный базис { e _j можно выбрать } и предоставить таблицу умножения, которая определяет все произведения { e _i × e _j } . Одна возможная таблица умножения описана в разделе Таблица умножения , но она не уникальна. В отличие от трехмерных измерений, здесь много таблиц, поскольку каждая пара единичных векторов перпендикулярна пяти другим единичным векторам, что позволяет выбирать множество вариантов для каждого векторного произведения.

После того как мы создали таблицу умножения, она затем применяется к общим векторам x и y , выражая x и y через базис и разлагая x × y посредством билинейности.

×	и 1	eе2	3 ​	4 ​	eе5	6 ​	e 7
и 1	0	4 ​	e 7	− е2	6 ​	− е 5	− е 3
eе2	− это 4	0	eе5	и 1	− е 3	e 7	− 6 ​
3 ​	− e 7	− е 5	0	6 ​	eе2	− это 4	и 1
4 ​	eе2	- е 1	− 6 ​	0	e 7	3 ​	− е 5
eе5	− 6 ​	3 ​	− е2	− e 7	0	и 1	4 ​
6 ​	eе5	− e 7	4 ​	− е 3	- е 1	0	eе2
e 7	3 ​	6 ​	- е 1	eе5	− это 4	− е2	0

Используя e ₁ – e ₇ для базисных векторов, таблица умножения, отличная от таблицы во введении, приводящая к другому векторному произведению, задается с антикоммутативностью следующим образом:

$\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},$

$\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},$

$\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},$

$\mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},$

$\mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},$

$\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},$

$\mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}.$

Более компактно это правило можно записать как

$\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}$

с i = 1,..., 7 по модулю 7 и индексами i , i + 1 и i + 3 , которые можно переставлять равномерно. Вместе с антикоммутативностью это порождает произведение. Это правило непосредственно создает две диагонали, непосредственно примыкающие к диагонали нулей в таблице. Также из тождества в подразделе о последствиях ,

$\mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}\ ,$

что создает еще большие диагонали и так далее.

Компонент e _j векторного произведения x × y определяется путем выбора всех вхождений e _j в таблицу и сбора соответствующих компонентов x из левого столбца и y из верхней строки. Результат:

${\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}.\end{aligned}}$

Поскольку векторное произведение билинейно, оператор x × – можно записать в виде матрицы, которая принимает вид

$T_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&-x_{4}&-x_{7}&x_{2}&-x_{6}&x_{5}&x_{3}\\x_{4}&0&-x_{5}&-x_{1}&x_{3}&-x_{7}&x_{6}\\x_{7}&x_{5}&0&-x_{6}&-x_{2}&x_{4}&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&x_{6}&0&-x_{7}&-x_{3}&x_{5}\\x_{6}&-x_{3}&x_{2}&x_{7}&0&-x_{1}&-x_{4}\\-x_{5}&x_{7}&-x_{4}&x_{3}&x_{1}&0&-x_{2}\\-x_{3}&-x_{6}&x_{1}&-x_{5}&x_{4}&x_{2}&0\end{bmatrix}}.$

Тогда перекрестное произведение определяется выражением

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =T_{\mathbf {x} }\mathbf {y} .$

Различные таблицы умножения

Плоскости Фано для двух используемых здесь таблиц умножения.

В этой статье использовались две разные таблицы умножения, и их больше. Эти таблицы умножения характеризуются плоскостью Фано , и они показаны на рисунке для двух использованных здесь таблиц: вверху — той, которую описали Сабинин, Сбитнева и Шестаков, и внизу — той, которую описал Лунесто. Цифры под диаграммами Фано (набор линий на диаграмме) обозначают набор индексов для семи независимых продуктов в каждом случае, интерпретируемый ijk → e _i × e _j = ek _как . Таблица умножения восстанавливается из диаграммы Фано, если следовать либо прямой линии, соединяющей любые три точки, либо кругу в центре со знаком, указанным стрелками. Например, первая строка умножений, приводящая к e ₁ в приведенном выше листинге, получается путем следования трем путям, соединенным с e ₁ на нижней диаграмме Фано: круговой путь e ₂ × e ₄ , диагональный путь e ₃ × e ₇ , а реберный путь e ₆ × e ₁ = e ₅ переставлен с использованием одного из приведенных выше тождеств как:

$\mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5},$

или

$\mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},$

также получается непосредственно из диаграммы по правилу, согласно которому любые два единичных вектора на прямой соединяются путем умножения на третий единичный вектор на этой прямой со знаками согласно стрелкам (знак перестановки, упорядочивающей единичные векторы).

Видно, что оба правила умножения следуют из одной и той же диаграммы Фано путем простого переименования единичных векторов и изменения смысла центрального единичного вектора. Учитывая все возможные перестановки основы, получается 480 таблиц умножения и, следовательно, 480 таких перекрестных произведений.

Использование геометрической алгебры

Произведение также можно вычислить с помощью геометрической алгебры семимерного векторного пространства с положительно определенной квадратичной формой . Продукт начинается с внешнего продукта , бивекторного произведения двух векторов:

$\mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).$

Оно билинейное, переменное, имеет желаемую величину, но не является векторным. Вектор и, следовательно, векторное произведение получаются в результате сжатия этого бивектора с тривектором . В трех измерениях с точностью до масштабного коэффициента существует только один тривектор, псевдоскаляр пространства, и произведение вышеуказанного бивектора и одного из двух единичных тривекторов дает векторный результат, двойственный бивектору .

Аналогичный расчет выполняется для семи измерений, за исключением того, что, поскольку тривекторы образуют 35-мерное пространство, можно использовать множество тривекторов, хотя подойдет не любой тривектор. Тривектор, который дает тот же продукт, что и приведенное выше преобразование координат, равен

$\mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}.$

Это объединяется с внешним произведением, чтобы получить перекрестное произведение.

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v}$

где $\lrcorner$ — оператор левого сжатия из геометрической алгебры.

октонионами

Точно так же, как трехмерное векторное произведение можно выразить через кватернионы , семимерное векторное произведение можно выразить через октонионы . После идентификации Р. ⁷ с мнимыми октонионами ( ортогональным дополнением действительной части O ) векторное произведение определяется как умножение октонионов на

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).$

Обратно, предположим, что V — 7-мерное евклидово пространство с заданным векторным произведением. Тогда можно определить билинейное умножение на R ⊕ V следующим образом:

$(a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} ).$

Тогда пространство R ⊕ V с таким умножением изоморфно октонионам.

Взаимное произведение существует только в трех и семи измерениях, поскольку всегда можно определить умножение в пространстве одного более высокого измерения, как указано выше, и можно показать, что это пространство является нормированной алгеброй с делением . По теореме Гурвица такие алгебры существуют только в одном, двух, четырех и восьми измерениях, поэтому векторное произведение должно быть в нуле, одном, трех или семи измерениях. Произведения в нулевом и одном измерениях тривиальны, поэтому нетривиальные перекрестные произведения существуют только в трех и семи измерениях.

Неспособность 7-мерного векторного произведения удовлетворить тождеству Якоби связана с неассоциативностью октонионов. Фактически,

$\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]$

где [ x , y , z ] — ассоциатор .

Ротации

В трех измерениях векторное произведение инвариантно под действием группы вращения SO(3) , поэтому векторное произведение x и y после их поворота представляет собой изображение x × y при вращении. Но эта инвариантность неверна в семи измерениях; то есть векторное произведение не инвариантно относительно группы вращений в семи измерениях, SO(7) . Вместо этого она инвариантна относительно исключительной группы Ли G ₂ , подгруппы SO(7).

Обобщения

Ненулевые бинарные векторные произведения существуют только в трех и семи измерениях. Дальнейшие продукты возможны при снятии ограничения, согласно которому это должен быть бинарный продукт. Мы требуем, чтобы произведение было мультилинейным , чередующимся , векторным и ортогональным каждому из входных векторов a _i . Требование ортогональности подразумевает, что в n не более n - 1 измерениях можно использовать векторов. Величина произведения должна равняться объему параллелоэдра с векторами в качестве ребер, который можно вычислить с помощью определителя Грама . Условия

• ортогональность:
  $$\left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0$$
  для i = 1, ..., k .
• определитель Грама:
  $$|\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}$$

Определитель Грама — это квадрат объёма параллелоэдра с ребрами ₁ ,... ak _, .

При этих условиях существует только нетривиальное векторное произведение:

• как бинарный продукт в трех и семи измерениях
• как произведение n - 1 векторов в n ≥ 3 измерениях, являющееся двойственным по Ходжу внешнему произведению векторов
• как произведение трех векторов в восьми измерениях

Одна из версий произведения трех векторов в восьми измерениях определяется выражением

$$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})$$

где v — тот же тривектор, который используется в семи измерениях, $\lrcorner$ снова является левым сжатием, а w = − ve _12...7 является 4-вектором.

Есть и банальные продукты. Как уже отмечалось , двоичное произведение существует только в 7, 3, 1 и 0 измерениях, причем последние два тождественно равны нулю. Еще один тривиальный «продукт» возникает в четных измерениях, который берет один вектор и создает вектор той же величины, ортогональный ему, посредством левого сжатия с подходящим бивектором. В двух измерениях это поворот на прямой угол.

В качестве дальнейшего обобщения мы можем ослабить требования полилинейности и величины и рассмотреть общую непрерывную функцию V ^д → V (где V — это R ^н наделенный евклидовым скалярным произведением и d ≥ 2 ), который требуется только для удовлетворения следующих двух свойств:

1. Векторное произведение всегда ортогонально всем входным векторам.
2. Если входные векторы линейно независимы, затем векторное произведение не равно нулю.

При этих требованиях векторное произведение существует только (I) для n = 3, d = 2 , (II) для n = 7, d = 2 , (III) для n = 8, d = 3 и (IV) для любой d знак равно п - 1 .

В другом направлении алгебры векторного произведения были определены над произвольным полем , и для любого поля, не имеющего характеристики 2, они должны иметь размерность 0, 1, 3 или 7. Фактически этот результат был обобщен еще дальше, например, путем работы над любое коммутативное кольцо, в котором 2 сокращаемо , а это означает, что из 2x = 2y следует x = y.

См. также

• Композиционная алгебра

Ссылки

• Браун, Роберт Б.; Грей, Альфред (1967). «Векторное векторное произведение». математические комментарии Гельветийские 42 (1): 222–236. дои : 10.1007/BF02564418 . S2CID   121135913 .
• Лунесто, Пертти (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00551-5 .
• Силагадзе, ЗК (2002). «Многомерное векторное произведение». Дж. Физ А. 35 (23): 4949–4953. arXiv : math/0204357 . Бибкод : 2002JPhA...35.4949S . дои : 10.1088/0305-4470/35/23/310 . S2CID   119165783 . Также доступна перепечатка ArXiv arXiv : math.RA/0204357 .
• Мэсси, WS (1983). «Перекрестные произведения векторов в евклидовых пространствах более высокой размерности». Американский математический ежемесячник . 90 (10): 697–701. дои : 10.2307/2323537 . JSTOR   2323537 .