Многолинейная карта

В линейной алгебре полилинейное отображение — это функция нескольких переменных, линейная отдельно по каждой переменной. Точнее, полилинейное отображение — это функция

f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}

где $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ( $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ ) и $W$ — векторные пространства (или модули над коммутативным кольцом ), обладающие следующим свойством: для каждого $i$ , если все переменные, кроме $v_{i}$ остаются постоянными, то $f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})$ является линейной функцией $v_{i}$ . ^[1] Один из способов визуализировать это — представить два ортогональных вектора; если один из этих векторов масштабируется в 2 раза, а другой остается неизменным, векторное произведение также масштабируется в два раза. Если оба масштабируются в 2 раза, векторное произведение масштабируется в 2 раза. $2^{2}$ .

Полилинейное отображение одной переменной является линейным отображением , а двух переменных — билинейным отображением . В более общем смысле, для любого неотрицательного целого числа $k$ Полилинейное отображение k переменных называется k -линейным отображением . Если кодоманом полилинейного отображения является поле скаляров , оно называется полилинейной формой . Полилинейные отображения и полилинейные формы — фундаментальные объекты изучения полилинейной алгебры .

Если все переменные принадлежат одному и тому же пространству, можно рассматривать симметричные , антисимметричные и знакопеременные k -линейные отображения. Последние два совпадают, если основное кольцо (или поле ) имеет характеристику, отличную от двух, в противном случае первые два совпадают.

Примеры

Любая билинейная карта является полилинейной. Например, любой внутренний продукт на $\mathbb {R}$ -векторное пространство является полилинейной картой, как и векторное произведение векторов в $\mathbb {R} ^{3}$ .
Определитель знакопеременная матрицы — это полилинейная функция столбцов (или строк) квадратной матрицы .
Если $F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ это буква С ^к функция , то $k$ -я производная от $F$ в каждой точке $p$ в своей области можно рассматривать как симметричный $k$ -линейная функция $D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Координатное представление

Позволять

f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}

— полилинейное отображение конечномерных векторных пространств, где $V_{i}\!$ имеет размерность $d_{i}\!$ , и $W\!$ имеет размерность $d\!$ . Если мы выберем основу $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}$ для каждого $V_{i}\!$ и основа $\{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}$ для $W\!$ (выделены жирным шрифтом для векторов), тогда мы можем определить набор скаляров $A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}$ к

f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.

Тогда скаляры $\{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}$ полностью определить полилинейную функцию $f\!$ . В частности, если

{\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!

для $1\leq i\leq n\!$ , затем

f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.

Пример

Возьмем трилинейную функцию

g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,

где $V i = R 2, d i = 2, i = 1,2,3$ и $W = R, d = 1$ .

Основой для каждого $V i$ является $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.$ Позволять

g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},

где $i,j,k\in \{1,2\}$ . Другими словами, константа $A_{ijk}$ — значение функции в одной из восьми возможных троек базисных векторов (поскольку для каждой из трех есть два варианта выбора). $V_{i}$ ), а именно:

\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.

Каждый вектор ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ может быть выражено как линейная комбинация базисных векторов

{\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).

Значение функции в произвольном наборе из трех векторов ${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ может быть выражено как

g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},

или в развернутом виде как

{\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}

Связь с тензорными произведениями

Между полилинейными картами существует естественное взаимно однозначное соответствие.

f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}

и линейные карты

F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}

где $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ обозначает произведение тензорное $V_{1},\ldots ,V_{n}$ . Связь между функциями $f$ и $F$ определяется формулой

f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).

Полилинейные функции на размера n × n матрицах

Можно рассматривать полилинейные функции на $матрице размера n \times n$ над коммутативным кольцом $K$ с единицей как функцию строк (или, что то же самое, столбцов) матрицы. Пусть $A$ — такая матрица, а $a i, 1 \leq i \leq n$ строки $, — ее$ . Тогда полилинейную функцию $D$ можно записать в виде

D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),

удовлетворяющий

D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).

Если мы позволим ${\hat {e}}_{j}$ представляют $j$ -ю строку единичной матрицы, мы можем выразить каждую строку $a i$ как сумму

a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.

Используя полилинейность $D,$ перепишем $D (A)$ как

D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).

Продолжая эту замену для каждого $a i,$ мы получаем для $1 \leq i \leq n$ ,

D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).

Следовательно, $D (A)$ однозначно определяется тем, как $D$ действует на ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ .

Пример

В случае матриц 2×2 получаем

D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,

где ${\hat {e}}_{1}=[1,0]$ и ${\hat {e}}_{2}=[0,1]$ . Если мы ограничим $D$ быть знакопеременной функцией, то $D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0$ и $D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)$ . Сдача в аренду $D(I)=1$ , мы получаем определительную функцию на матрицах 2×2: