Линейная функция

В математике термин « линейная функция» относится к двум различным, но связанным понятиям: ^[1]

В исчислении и смежных областях линейная функция — это функция которой , график представляет собой прямую линию , то есть полиномиальную функцию нулевой степени . или единицей ^[2] Чтобы отличить такую линейную функцию от другой концепции, термин аффинная функция . часто используют ^[3]
В линейной алгебре , математическом анализе , ^[4] и функционального анализа , линейная функция является линейным отображением . ^[5]

Как полиномиальная функция [ править ]

В исчислении, аналитической геометрии и смежных областях линейная функция представляет собой полином первой или меньшей степени, включая нулевой полином (последний не считается имеющим нулевую степень).

Когда функция имеет только одну переменную , она имеет вид

f(x)=ax+b,

где $a$ и $b$ — константы , часто действительные числа . График . такой функции одной переменной представляет собой невертикальную линию $a$ часто называют наклоном линии, а $b$ - точкой пересечения.

Если a > 0 , то градиент положительный и график имеет наклон вверх.

Если a < 0 , то градиент отрицательный и график имеет наклон вниз.

Для функции $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$ любого конечного числа переменных, общая формула имеет вид

f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},

и график является гиперплоскостью размерности k .

Постоянная функция также считается линейной в этом контексте, поскольку она представляет собой полином нулевой степени или нулевой полином. Его график при наличии только одной переменной представляет собой горизонтальную линию.

В этом контексте функция, которая также является линейной картой (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 представляют собой скалярнозначные аффинные отображения .

В виде линейной карты [ править ]

В линейной алгебре линейная функция — это отображение f между двумя векторными пространствами такое, что

f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )

f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).

Здесь $a$ обозначает константу, принадлежащую некоторому ( $например$ , полю K скаляров действительных чисел ), а $x$ и $y$ — элементы векторного пространства , которым может быть $K.$ само

Другими словами, линейная функция сохраняет сложение векторов и скалярное умножение .

Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле; ^[6] их чаще называют линейными формами .

«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) $f (0, ..., 0) = 0$ или, что то же самое, когда константа $b$ равна нулю в приведенном выше многочлене одной степени. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ «Термин «линейная функция» означает линейную форму в некоторых учебниках и аффинную функцию в других». Васерштейн 2006, с. 50-1
^ Стюарт 2012, с. 23
^ А. Курош (1975). Высшая алгебра Издательство «Мир». п. 214.
^ ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 345.
^ Шорс 2007, с. 71
^ Гельфанд 1961.

Ссылки [ править ]

Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Перепечатано Дувром, 1989 г. ISBN 0-486-66082-6
Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике , Springer. ISBN 0-387-33195-6
Джеймс Стюарт (2012), Исчисление: ранние трансценденталии , издание 7E, Брукс/Коул. ISBN 978-0-538-49790-9
Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в Лесли Хогбена изд. , Справочник по линейной алгебре , дискретной математике и ее приложениям, Чепмен и Холл / CRC, гл. 50. ISBN 1-584-88510-6

[1] «Термин «линейная функция» означает линейную форму в некоторых учебниках и аффинную функцию в других». Васерштейн 2006, с. 50-1

[2] Стюарт 2012, с. 23

[3] А. Курош (1975). Высшая алгебра Издательство «Мир». п. 214.

[4] ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 345.

[5] Шорс 2007, с. 71

[6] Гельфанд 1961.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т Это Исчисление
Предварительное исчисление	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля секанс Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний лимит Предел последовательности Порядок приближения (д, г)-определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Вторая производная Частная производная Дифференциал Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначения Обозначения Лейбница Обозначения Ньютона Правила дифференциации линейность Власть Сумма Цепь Больница Продукт Правило генерала Лейбница частное Другие методы Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Сопутствующие тарифы Стационарные точки Первый производный тест Второй производный тест Теорема об экстремальных значениях Максимум и минимум Дальнейшие применения метод Ньютона Теорема Тейлора Дифференциальное уравнение Обыкновенное дифференциальное уравнение Уравнение в частных производных Стохастическое дифференциальное уравнение
Интегральное исчисление	Первообразная Длина дуги Интеграл Римана Основные свойства Константа интегрирования Основная теорема исчисления Дифференцирование под знаком интеграла Интеграция по частям Интегрирование путем замены тригонометрический Эйлер Замена касательной полуугла Частные дроби при интегрировании Квадратичный интеграл Правило трапеции Объемы Метод шайбы Метод оболочки Интегральное уравнение Интегро-дифференциальное уравнение
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Дивергенция Градиент лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многомерное исчисление	Теорема о дивергенции Геометрический Матрица Гессе Матрица Якобиана и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Множественный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Интеграл объема Расширенные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Виды серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический бесконечный Власть Маклорен Тейлор телескопирование Тесты сходимости Авеля Переменная серия Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле интеграл Предельное сравнение Соотношение Корень Срок
Специальные функции и цифры	Числа Бернулли е (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц бесконечно малый Бесконечно-малое исчисление Исаак Ньютон Флюксия Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюксий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов показательных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов от обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов тригонометрических функций секанс Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Комплексное исчисление Контурный интеграл Дифференциальная геометрия Многообразие Кривизна кривых поверхностей Тензор Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Интеграционная пчела Доказательство того, что 22/7 превышает π Задача максимизации угла Региомонтануса Штейнмец твердый