Интегральный тест на сходимость

В математике интегральный тест на сходимость — это используемый для проверки бесконечных рядов членов монотонных сходимости . метод , Он был разработан Колином Маклореном и Огюстеном-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена-Коши .

Положение о тесте [ править ]

Рассмотрим целое число $N$ и неотрицательную функцию $f,$ определенную на неограниченном интервале $[N, \infty)$ , на котором она монотонно убывает . Тогда бесконечный ряд

\sum _{n=N}^{\infty }f(n)

сходится к действительному числу тогда и только тогда, когда несобственный интеграл

\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx

конечно. В частности, если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Примечание [ править ]

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство также дает нижнюю и верхнюю оценки

\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx

( 1 )

для бесконечной серии.

Обратите внимание, что если функция $f(x)$ возрастает, то функция $-f(x)$ убывает, и приведенная выше теорема применима.

Доказательство [ править ]

Доказательство в основном использует тест сравнения , сравнивая член $f (n)$ с интегралом $f$ по интервалам $[n - 1, n)$ и $[n, n + 1)$ соответственно.

Монотонная функция $f$ непрерывен . почти всюду Чтобы показать это, позвольте $D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}$ . Для каждого $x\in D$ , существует плотности по $\mathbb {Q}$ а $c(x)\in \mathbb {Q}$ так что $c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]$ . Заметим, что это множество содержит открытый непустой интервал именно тогда, когда $f$ является прерывистым в $x$ . Мы можем однозначно идентифицировать $c(x)$ как рациональное число , имеющее наименьший индекс в перечислении $\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ и удовлетворяет указанному выше свойству. С $f$ монотонно , это определяет инъективное отображение $c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)$ и таким образом $D$ является счетным . Отсюда следует, что $f$ непрерывен . почти всюду Этого достаточно для интегрируемости по Риману . ^[1]

Поскольку $f$ — монотонно убывающая функция, мы знаем, что

f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )

и

f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].

Следовательно, для любого целого $n \geq N$ числа

\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)

( 2 )

и для каждого целого числа $n \geq N +$ 1

f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.

( 3 )

Суммируя по всем $n$ от $N$ до некоторого большего целого числа $M$ , получаем из ( 2 )

\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)

и из ( 3 )

\sum _{n=N}^{M}f(n)=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.

Объединение этих двух оценок дает

\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.

Позволяя $M$ стремиться к бесконечности, получаем оценки в ( 1 ) и результат.

Приложения [ править ]

Гармонический ряд

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}

расходится, потому что, используя натуральный логарифм , его первообразную и основную теорему исчисления , мы получаем

\int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .

С другой стороны, сериал

\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}

(см. дзета-функция Римана )сходится для любого $ε > 0$ , поскольку по степенному правилу

\int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.

Из ( 1 ) получаем верхнюю оценку

\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},

которую можно сравнить с некоторыми конкретными значениями дзета-функции Римана .

Граница между дивергенцией и конвергенцией [ править ]

Приведенные выше примеры с участием гармонических рядов поднимают вопрос о том, существуют ли монотонные последовательности такие, что $f (n)$ убывает до 0 быстрее, чем $1/ n,$ но медленнее, чем $1/ n. 1+ е$ в том смысле, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty

для каждого $ε > 0$ и расходится ли по-прежнему соответствующий ряд $f (n)$ . Как только такая последовательность найдена, можно задать аналогичный вопрос, $f (n)$ роль $взяв в роль 1/ n$ и так далее. Таким образом можно исследовать границу между расходимостью и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный тест на сходимость, можно показать (см. ниже), что для любого натурального числа $k$ ряд

\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}

( 4 )

все еще расходится (ср. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится при $k = 1$ ), но

\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}

( 5 )

сходится для любого $ε > 0$ . Здесь $ln k$ обозначает $k$ -кратную композицию натурального логарифма, определенную рекурсивно формулой

\ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}

Кроме того, $N k$ обозначает наименьшее натуральное число такое, что $k$ -кратная композиция определена корректно и $ln k (N k) \geq 1$ , т.е.

N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k

используя тетрацию или обозначение Кнута со стрелкой вверх .

Чтобы увидеть расходимость ряда ( 4 ) с помощью интегрального теста, заметим, что при многократном применении цепного правила

{\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},

следовательно

\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .

Чтобы увидеть сходимость ряда ( 5 ), обратите внимание, что по степенному правилу , цепному правилу и приведенному выше результату

-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},

следовательно

\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty

и ( 1 ) дает оценки бесконечного ряда в ( 5 ).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Кнопп, Конрад , «Бесконечные последовательности и ряды», Dover Publications , Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
Уиттакер, Э.Т., и Уотсон, Дж.Н., Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43). ISBN 0-521-58807-3
Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гюльбенкян, 1987 год, ISBN 972-31-0179-3

^ Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 43 (7): 396–398. дои : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1] Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 43 (7): 396–398. дои : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1]

v т и Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid