Классификация несплошностей

«Точка перехода» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о научно-фантастической концепции, см. Гиперпространство .

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике , функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в некоторой точке своей области определения , говорят, что она имеет здесь разрыв . Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным , плотным или даже всей областью определения функции.

Колебания : функции в точке количественно определяют эти разрывы следующим образом

• при устранимом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• при разрыве скачка размер скачка представляет собой колебание (при условии, что значение в точке лежит между этими пределами двух сторон);
• при существенном разрыве колебание измеряет отсутствие предела ; предел постоянный.

Особый случай — если функция расходится до бесконечности или минус бесконечности , и в этом случае колебание не определено (в расширенных действительных числах это устранимый разрыв).

Классификация

Для каждого из следующих вариантов рассмотрим вещественнозначную функцию $f$ действительной переменной $x,$ определенное в окрестности точки $x_{0}$ на котором $f$ носит прерывистый характер.

Устранимый разрыв

Функция в примере 1, устранимый разрыв

Рассмотрим кусочную функцию $$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}$$

Суть $x_{0}=1$ является устранимым разрывом . Для такого рода разрыва:

Односторонний предел с отрицательного направления: $$L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$$и односторонний предел с положительного направления: $$L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)$$в $x_{0}$ оба существуют, конечны и равны $L=L^{-}=L^{+}.$ Другими словами, поскольку два односторонних предела существуют и равны, предел $L$ из $f(x)$ как $x$ подходы $x_{0}$ существует и равен этому самому значению. Если действительная стоимость $f\left(x_{0}\right)$ не ​ равен $L,$ затем $x_{0}$ называется устранимый разрыв . Этот разрыв можно устранить, чтобы сделать $f$ непрерывный в $x_{0},$ или, точнее, функция $$g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}$$является непрерывным в $x=x_{0}.$

Термин «устранимый разрыв» иногда расширяют, включив в него устранимую особенность , в которой пределы в обоих направлениях существуют и равны, а функция не определена в точке $x_{0}.$ Такое использование является злоупотреблением терминологией , поскольку непрерывность и разрыв функции — это понятия, определенные только для точек в области определения функции.

Скачок разрыва

Функция в примере 2, скачок разрыва

Рассмотрим функцию $$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$$

Тогда точка $x_{0}=1$ это скачок разрыв .

В этом случае единого предела не существует, поскольку односторонние пределы, $L^{-}$ и $L^{+}$ существуют и конечны, но не равны: поскольку, $L^{-}\neq L^{+},$ предел $L$ не существует. Затем, $x_{0}$ называется скачком , ступенчатым разрывом или разрывом первого рода . Для этого типа разрыва функция $f$ может иметь любое значение в $x_{0}.$

Существенный разрыв

Функция в примере 3, существенный разрыв

При существенном разрыве хотя бы один из двух односторонних пределов не существует в $\mathbb {R}$. (Обратите внимание, что один или оба односторонних предела могут быть $\pm \infty$).

Рассмотрим функцию $$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}$$

Тогда точка $x_{0}=1$ это существенный разрыв .

В этом примере оба $L^{-}$ и $L^{+}$ не существуют в $\mathbb {R}$, что удовлетворяет условию существенного разрыва. Так $x_{0}$ есть существенный разрыв, бесконечный разрыв или разрыв второго рода. (Это отличается от существенной особенности , которую часто используют при изучении функций комплексных переменных ).

Предположим, что $f$ это функция, определенная на интервале $I\subseteq \mathbb {R} ,$ мы будем обозначать через $D$ совокупность всех разрывов $f$ на $I.$ К $R$ мы будем иметь в виду совокупность всех $x_{0}\in I$ такой, что $f$ имеет устранимый разрыв в $x_{0}.$ Аналогично $J$ мы обозначаем множество, состоящее из всех $x_{0}\in I$ такой, что $f$ имеет скачок при $x_{0}.$ Набор всего $x_{0}\in I$ такой, что $f$ имеет существенный разрыв в $x_{0}$ будет обозначаться $E.$ Конечно тогда $D=R\cup J\cup E.$

Подсчет разрывов функции

Два следующих свойства множества $D$ актуальны в литературе.

• Набор $D$ это $F_{\sigma }$ набор . Множество точек, в которых функция непрерывна, всегда есть $G_{\delta }$ набор (см. ).
• Если на интервале $I,$ $f$ монотонно тогда $D$ не более чем счетно и $D=J.$ Это теорема Фроды .

Том Апостол частично следует приведенной выше классификации, рассматривая только устранимые и скачкообразные разрывы. Его цель — изучить разрывы монотонных функций, главным образом, чтобы доказать теорему Фроды. С этой же целью Вальтер Рудин и Карл Р. Стромберг изучайте также устранимые и скачкообразные разрывы, используя различные термины. Однако далее оба автора утверждают, что $R\cup J$ всегда является счетным множеством (см. ).

Термин « существенный разрыв» использовался в математическом контексте еще в 1889 году. Однако самое раннее использование этого термина наряду с математическим определением, по-видимому, было дано в работе Джона Клипперта. Там Клипперт также классифицировал сами существенные разрывы, разделив множество $E$ на три следующих набора:

$$E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ do not exist in }}\mathbb {R} \right\},$$$$E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},$$$$E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.$$

Конечно $E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.$ В любое время $x_{0}\in E_{1},$ $x_{0}$ называется существенным разрывом первого рода . Любой $x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}$ называется существенным разрывом второго рода. Следовательно, он расширяет множество $R\cup J$ не теряя своей характеристики счетности, утверждая следующее:

• Набор $R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}$ является счетным.

Переписывание теоремы Лебега

Когда $I=[a,b]$ и $f$ является ограниченной функцией, то хорошо известна важность множества $D$ в отношении интегрируемости по Риману $f.$ Фактически, теорема Лебега (также называемая теоремой Лебега-Витали) утверждает, что $f$ интегрируем ли Риман на $I=[a,b]$ тогда и только тогда, когда $D$ — множество с нулевой мерой Лебега.

В этой теореме кажется, что все типы разрывов имеют на препятствии тот же вес, что и ограниченная функция. $f$ быть интегрируемым по Риману на $[a,b].$ Поскольку счетные множества являются множествами нулевой меры Лебега, а счетное объединение множеств с нулевой мерой Лебега по-прежнему остается множеством нулевой меры Лебега, теперь мы видим, что это не так. Действительно, разрывы множества $R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}$ абсолютно нейтральны в отношении интегрируемости по Риману $f.$ Основными разрывами для этой цели являются существенные разрывы первого рода, и, следовательно, теорему Лебега-Витали можно переписать следующим образом:

• Ограниченная функция, $f,$ интегрируем ли Риман на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда соответствующий набор $E_{1}$ всех существенных разрывов первого рода $f$ имеет нулевую меру Лебега.

Случай, когда $E_{1}=\varnothing$ соответствуют следующим известным классическим дополнительным ситуациям интегрируемости по Риману ограниченной функции $f:[a,b]\to \mathbb {R}$:

• Если $f$ имеет правый предел в каждой точке $[a,b[$ затем $f$ интегрируем ли Риман на $[a,b]$ (видеть )
• Если $f$ имеет левый предел в каждой точке $]a,b]$ затем $f$ интегрируем ли Риман на $[a,b].$
• Если $f$ является регулируемой функцией $[a,b]$ затем $f$ ли интегрируем Риман на $[a,b].$

Примеры

Функция Томаэ разрывна в каждой ненулевой рациональной точке , но непрерывна в каждой иррациональной точке. Легко видеть, что все эти разрывы устранимы. Согласно первому абзацу не существует функции, непрерывной в каждой рациональной точке, но разрывной в каждой иррациональной точке.

Индикаторная функция рациональных чисел, известная также как функция Дирихле , всюду разрывна . Все эти разрывы также существенны и первого рода.

Рассмотрим теперь троичное канторовое множество ${\mathcal {C}}\subset [0,1]$ и его индикаторная (или характеристическая) функция $$\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}$$Один из способов построения множества Кантора. ${\mathcal {C}}$ дается ${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$ где наборы $C_{n}$ получаются рекуррентным способом в соответствии с $$C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].$$

Ввиду разрывов функции $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),$ давайте предположим точку $x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.$

Поэтому существует набор $C_{n},$ используется при составлении ${\mathcal {C}}$, который не содержит $x_{0}.$ То есть, $x_{0}$ принадлежит одному из открытых интервалов, удаленных при строительстве $C_{n}.$ Сюда, $x_{0}$ имеет окрестность без точек ${\mathcal {C}}.$ (Другим образом, тот же вывод следует, если принять во внимание, что ${\mathcal {C}}$ является замкнутым множеством и поэтому является дополнительным по отношению к $[0,1]$ открыт). Поэтому $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}$ принимает нулевое значение только в некоторой окрестности $x_{0}.$ Следовательно $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}$ является непрерывным в $x_{0}.$

Это означает, что набор $D$ всех разрывов $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}$ на интервале $[0,1]$ является подмножеством ${\mathcal {C}}.$ С ${\mathcal {C}}$ — несчетное множество с нулевой мерой Лебега , а также $D$ является нулевым множеством меры Лебега, и поэтому с учетом теоремы Лебега-Витали $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}$ — интегрируемая по Риману функция.

Точнее, у одного есть $D={\mathcal {C}}.$ Фактически, поскольку ${\mathcal {C}}$ является негде плотным множеством, если $x_{0}\in {\mathcal {C}}$ тогда никакого соседства $\left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)$ из $x_{0},$ может содержаться в ${\mathcal {C}}.$ Таким образом, любая окрестность $x_{0}\in {\mathcal {C}}$ содержит точки ${\mathcal {C}}$ и моменты, которые не являются ${\mathcal {C}}.$ С точки зрения функции $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}$ это означает, что оба ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$ и ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$ не существуют. То есть, $D=E_{1},$ где $E_{1},$ как и раньше, обозначим множество всех существенных разрывов первого рода функции $\mathbf {1} _{\mathcal {C}}.$ Четко ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

Разрывы деривативов

Пусть сейчас $I\subseteq \mathbb {R}$ открытый интервал и $f:I\to \mathbb {R}$ производная функции, $F:I\to \mathbb {R}$, дифференцируемый по $I$. То есть, $F'(x)=f(x)$ для каждого $x\in I$.

Хорошо известно, что согласно теореме Дарбу производная функция $f:I\to \mathbb {R}$ имеет ограничение на удовлетворение свойства промежуточного значения.

$f$ может, конечно, быть непрерывным на интервале $I$. Напомним, что любая непрерывная функция по теореме Больцано удовлетворяет свойству промежуточного значения.

С другой стороны, свойство промежуточного значения не препятствует $f$ от наличия разрывов на интервале $I$. Но теорема Дарбу имеет непосредственное влияние на тип разрывов, которые $f$ может иметь. Фактически, если $x_{0}\in I$ является точкой разрыва $f$, то обязательно $x_{0}$ представляет собой существенный разрыв $f$.

возникнуть следующие две ситуации Это означает, в частности, что не могут :

1. $x_{0}$ представляет собой устранимый разрыв $f$.
2. $x_{0}$ представляет собой скачок разрыва $f$.

Кроме того, необходимо исключить две другие ситуации (см. John Klippert ):

3. $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty .$
4. $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty .$

Заметим, что всякий раз, когда одно из условий (i), (ii), (iii) или (iv) выполняется для некоторого $x_{0}\in I$ можно сделать вывод, что $f$ не имеет первообразной, $F$, на интервале $I$.

С другой стороны, новый тип разрыва относительно любой функции $f:I\to \mathbb {R}$ можно ввести: существенный разрыв, $x_{0}\in I$, функции $f$, называется фундаментальным существенным разрывом $f$ если

$$\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty$$ и $$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .$$

Поэтому, если $x_{0}\in I$ является разрывом производной функции $f:I\to \mathbb {R}$, то обязательно $x_{0}$ представляет собой фундаментальный существенный разрыв $f$.

Обратите внимание также, что когда $I=[a,b]$ и $f:I\to \mathbb {R}$ является ограниченной функцией, как и в условиях теоремы Лебега, для всех $x_{0}\in (a,b)$: $$\lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,$$$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,$$ и $$\lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .$$Поэтому любой существенный разрыв $f$ является фундаментальным.

См. также

• Устранимая особенность - неопределенная точка голоморфной функции, которую можно сделать регулярной.
• Математическая сингулярность — точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Расширение за счет непрерывности - топологическое пространство, в котором точка и замкнутое множество, если они не пересекаются, разделяются окрестностями. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Гладкость - количество производных функции (математика)
  • Геометрическая непрерывность – количество производных функции (математика). Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
  • Параметрическая непрерывность – количество производных функции (математика). Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Источники

• Малик, Южная Каролина; Арора, Савита (1992). Математический анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN  0-470-21858-4 .

Внешние ссылки

• «Непрерывный» . ПланетаМатематика .
• «Разрыв» Эда Пегга-младшего , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Вайсштейн, Эрик В. «Разрыв» . Математический мир .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994]. «Точка разрыва» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .