Кусочно

График кусочно-линейной функции $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.$

В математике кусочно -определенная функция (также называемая кусочной функцией , гибридной функцией или определением по случаям ) — это функция на , область определения несколько которой разделена интервалов ( «подобластей»), на которых функция может быть определена по-разному. Кусочное определение на самом деле является способом указания функции, а не характеристикой самой результирующей функции.

Свойство функции сохраняется кусочно для функции, если функция может быть кусочно определена таким образом, чтобы это свойство сохранялось для каждой подобласти. Примерами функций с такими кусочными свойствами являются кусочно-постоянные функции , кусочно-линейные функции (см. рисунок), кусочно-непрерывные функции и кусочно-дифференцируемые функции.

и

График функции абсолютного значения, $y=|x|$

Кусочные функции могут быть определены с использованием общей функциональной записи , где тело функции представляет собой массив функций и связанных с ними поддоменов. Эти поддомены вместе должны охватывать весь домен ; часто также требуется, чтобы они были попарно непересекающимися, т.е. образовывали раздел домена. Чтобы всю функцию можно было назвать «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, т. е. отдельными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов количество подобластей должно быть конечным, для неограниченных интервалов часто требуется только локальное конечное число. Например, рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения :

$$|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}$$

Для всех значений $x$ меньше нуля, первая подфункция ( $-x$), который меняет знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений $x$ больше или равно нулю, вторая подфункция ( $x$) , который тривиально вычисляет само входное значение.

В следующей таблице документирована функция абсолютного значения при определенных значениях $x$:

х	е ( х )	Используемая подфункция
−3	3	$-x$
−0.1	0.1	$-x$
0	0	$x$
1/2	1/2	$x$
5	5	$x$

Чтобы оценить кусочно-определенную функцию по заданному входному значению, необходимо выбрать соответствующую подобласть, чтобы выбрать правильную подфункцию и получить правильное выходное значение.

Примеры

• Кусочно-линейная функция — функция, состоящая из отрезков прямой.
  • Ступенчатая функция — функция, состоящая из постоянных подфункций.
    • Функция товарного вагона ,
    • Ступенчатая функция Хевисайда
    • Функция знака
  • Абсолютное значение
  • Треугольная функция
• Нарушенный степенной закон , функция, состоящая из подфункций степенного закона.
• Сплайн — функция, состоящая из полиномиальных подфункций, обладающая высокой степенью гладкости в местах соединения частей полинома.
  • B-сплайн
• PDF-файл
• $f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  и некоторые другие распространенные функции Bump . Они бесконечно дифференцируемы, но аналитичность имеет место только кусочно.

Непрерывность и дифференцируемость кусочно-определённых функций

График кусочно- квадратичной функции $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.$ Его единственный разрыв находится в $x_{0}=0.707$.

Кусочно-определенная функция непрерывна на заданном интервале своей области определения, если выполняются следующие условия:

• ее подфункции непрерывны на соответствующих интервалах (подобластях),
• в конечной точке любой подобласти внутри этого интервала нет разрыва.

Изображенная функция, например, кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не непрерывна во всей области, так как содержит скачок в точке $x_{0}$. Закрашенный кружок означает, что в этой позиции используется значение правой подфункции.

Чтобы кусочно-определенная функция была дифференцируемой на заданном интервале в своей области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:

• его подфункции дифференцируемы на соответствующих открытых интервалах,
• односторонние производные существуют на концах всех интервалов,
• в точках соприкосновения двух подинтервалов соответствующие односторонние производные двух соседних подинтервалов совпадают.

Приложения

В ходе прикладного математического анализа было обнаружено, что «кусочно-регулярные» функции согласуются со многими моделями зрительной системы человека , где изображения на первом этапе воспринимаются как состоящие из гладких областей, разделенных краями. В частности, ширлеты использовались в качестве системы представления для обеспечения разреженных аппроксимаций этого класса моделей в 2D и 3D.

Кусочно определенные функции также часто используются для интерполяции, например, при интерполяции ближайших соседей .

См. также

• Кусочно-линейное продолжение