Функция знака

В математике или функция знака функция Signum (от Signum , латинского слова «знак») — это функция , которая имеет значение $-1$ , $+1$ или $0$ в зависимости от того, является ли знак данного действительного числа положительным или отрицательным, или данное число само по себе равно нулю. В математической записи знаковую функцию часто представляют как $\operatorname {sgn} x$ или $\operatorname {sgn}(x)$ . ^[1]

Определение [ править ]

Signum-функция действительного числа $x$ является кусочной функцией, которая определяется следующим образом: ^[1]

\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}

Закон трихотомии гласит, что каждое действительное число должно быть положительным, отрицательным или нулевым. Функция Signum обозначает, в какую уникальную категорию попадает число, сопоставляя его с одним из значений $-1$ , $+1$ или $0,$ которые затем можно использовать в математических выражениях или дальнейших вычислениях.

Например:

{\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}

Основные свойства [ править ]

Любое действительное число можно выразить как произведение его абсолютного значения и его знаковой функции:

x=|x|\operatorname {sgn} x\,.

Отсюда следует, что всякий раз, когда $x$ не равно 0, у нас есть

\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.

Аналогично для любого действительного числа $x$ ,

|x|=x\operatorname {sgn} x\,.

Мы также можем быть уверены в том, что:

\operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,

и так

\operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.

Некоторые алгебраические тождества [ править ]

Сигнум также можно записать с использованием скобок Айверсона :

\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.

Signum также можно записать с использованием функций пола и абсолютного значения:

\operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.

Функция Signum имеет очень простое определение, если

0^{0}

принимается равным 1. Тогда для всех действительных чисел сигнум можно записать как

\operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.

Свойства в математическом анализе [ править ]

Разрыв на нуле [ править ]

Хотя знаковая функция принимает значение $-1$ , когда $x$ отрицательно, обведенная точка $(0, -1)$ на графике $\operatorname {sgn} x$ указывает на то, что это не тот случай, когда $x=0$ . Вместо этого значение резко скачет к сплошной точке в $(0, 0),$ где $\operatorname {sgn}(0)=0$ . Затем происходит аналогичный переход к $\operatorname {sgn}(x)=+1$ когда $x$ является положительным. Любой скачок наглядно демонстрирует, что знаковая функция $\operatorname {sgn} x$ разрывен в нуле, хотя и непрерывен в любой точке, где $x$ является либо положительным, либо отрицательным.

Эти наблюдения подтверждаются любым из различных эквивалентных формальных определений непрерывности в математическом анализе . Функция $f(x)$ , такой как $\operatorname {sgn}(x),$ непрерывен в точке $x=a$ если значение $f(a)$ может быть сколь угодно близко аппроксимировано последовательностью значений $f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,$ где $a_{n}$ составить любую бесконечную последовательность, которая становится сколь угодно близкой к $a$ как $n$ становится достаточно большим. В обозначениях математических пределов непрерывность $f$ в $a$ требует, чтобы $f(a_{n})\to f(a)$ как $n\to \infty$ для любой последовательности $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ для которого $a_{n}\to a.$ Символ стрелки может означать приближение или тенденцию к , и это относится к последовательности в целом.

Этот критерий не подходит для знаковой функции при $a=0$ . Например, мы можем выбрать $a_{n}$ быть последовательностью $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,$ который стремится к нулю, так как $n$ увеличивается до бесконечности. В этом случае, $a_{n}\to a$ как требуется, но $\operatorname {sgn}(a)=0$ и $\operatorname {sgn}(a_{n})=+1$ для каждого $n,$ так что $\operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)$ . Этот контрпример более формально подтверждает разрыв непрерывности $\operatorname {sgn} x$ в нуле, что видно на графике.

Несмотря на очень простой вид знаковой функции, изменение шага в нуле вызывает трудности для традиционных методов исчисления , которые достаточно строги в своих требованиях. Непрерывность является частым ограничением. Одним из решений может быть аппроксимация знаковой функции гладкой непрерывной функцией; другие могут включать менее строгие подходы, основанные на классических методах для охвата более крупных классов функций.

и пределы аппроксимации Гладкие

Сигнум-функция совпадает с пределами

\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.

и

\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.

а также,

\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.

Здесь,

\tanh(x)

— это гиперболический тангенс , а верхний индекс -1 над ним — это сокращение для обратной функции тригонометрической функции — тангенса.

Для $k>1$ , гладкая аппроксимация знаковой функции равна

\operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.

Другое приближение

\operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.

который становится острее по мере того, как

\varepsilon \to 0

; Обратите внимание, что это производная от

{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}

. Это основано на том факте, что приведенное выше значение точно равно для всех ненулевых значений.

x

если

\varepsilon =0

, и имеет преимущество простого обобщения на многомерные аналоги знаковой функции (например, частные производные

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

).

См. ступенчатую функцию Хевисайда § Аналитические приближения .

Дифференциация и интеграция [ править ]

Функция сигнум $\operatorname {sgn} x$ дифференцируемо всюду , кроме случая, когда $x=0.$ Его производная равна нулю, если $x$ не равно нулю:

{\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.

Это следует из дифференцируемости любой постоянной функции , для которой производная всегда равна нулю в области определения. Знак $\operatorname {sgn} x$ действует как постоянная функция, когда она ограничена отрицательной открытой областью $x<0,$ где оно равно $-1$ . Аналогично его можно рассматривать как постоянную функцию внутри положительной открытой области. $x>0,$ где соответствующая константа равна $+1.$ Хотя это две разные постоянные функции, их производная в каждом случае равна нулю.

Невозможно определить классическую производную в $x=0$ , потому что здесь есть разрыв. Тем не менее, сигнум-функция имеет определенный интеграл между любой парой конечных значений $a$ и $b$ , даже если интервал интегрирования включает ноль. Результирующий интеграл для $a$ и $b$ тогда равен разнице между их абсолютными значениями:

\int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.

И наоборот, функция Signum является производной функции абсолютного значения, за исключением случаев, когда происходит резкое изменение градиента до и после нуля:

{\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.

Мы можем понять это, как и раньше, рассмотрев определение абсолютной величины. $|x|$ по отдельным регионам $x<0$ и $x<0.$ Например, функция абсолютного значения идентична функции $x$ в регионе $x>0,$ производная которого является постоянным значением $+1$ , которое равно значению $\operatorname {sgn} x$ там.

Поскольку абсолютное значение является выпуклой функцией существует по крайней мере одна субпроизводная , в каждой точке, включая начало координат, . Всюду, кроме нуля, результирующий субдифференциал состоит из единственного значения, равного значению знаковой функции. Напротив, существует множество субпроизводных с нулевым значением, и только одна из них принимает значение $\operatorname {sgn}(0)=0$ . Здесь возникает значение субпроизводной $0,$ поскольку функция абсолютного значения минимальна. Полное семейство действительных субпроизводных в нуле составляет субдифференциальный интервал. $[-1,1]$ , что неформально можно рассматривать как «заполнение» графика знаковой функции вертикальной линией, проходящей через начало координат, что делает его непрерывным, как двумерную кривую.

В теории интеграции сигнум-функция является слабой производной функции абсолютного значения. Слабые производные эквивалентны, если они равны почти всюду , что делает их невосприимчивыми к изолированным аномалиям в одной точке. Это включает в себя изменение градиента функции абсолютного значения в нуле, что запрещает существование классической производной.

Хотя оно не дифференцируемо в $x=0$ в обычном смысле, согласно обобщенному понятию дифференциации в теории распределения , производная сигнум-функции в два раза превышает дельта-функцию Дирака . Это можно продемонстрировать, используя тождество ^[2]

\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,

где

H(x)

— ступенчатая функция Хевисайда, использующая стандартный

H(0)={\frac {1}{2}}

формализм. Используя это тождество, легко вывести распределительную производную: ^[3]

{\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.

Преобразование Фурье [ править ]

функции Преобразование Фурье Signum имеет вид ^[4]

\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},

где

PV

означает принятие главного значения Коши .

Обобщения [ править ]

Сложный код [ править ]

Функцию Signum можно обобщить на комплексные числа следующим образом:

\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}

для любого комплексного числа

z

кроме

z=0

. Знак данного комплексного числа

z

- это точка единичной окружности комплексной плоскости , ближайшая к

z

. Тогда для

z\neq 0

,

\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,

где

\arg

— функция комплексного аргумента .

По соображениям симметрии и для того, чтобы это было правильным обобщением сигнум-функции на действительные числа, а также в комплексной области, которую обычно определяют для $z=0$ :

\operatorname {sgn}(0+0i)=0

Другое обобщение знаковой функции для вещественных и комплексных выражений: ${\text{csgn}}$ , ^[5] который определяется как:

\operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}

где

{\text{Re}}(z)

это реальная часть

z

и

{\text{Im}}(z)

это мнимая часть

z

.

Тогда мы имеем (для $z\neq 0$ ):

\operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.

Полярное разложение матриц [ править ]

Благодаря полярной теореме о разложении матрица ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}$ ( $n\in \mathbb {N}$ и $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ ) можно разложить как произведение ${\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}$ где ${\boldsymbol {Q}}$ является унитарной матрицей и ${\boldsymbol {P}}$ является самосопряженной, или эрмитовой, положительно определенной матрицей, как в $\mathbb {K} ^{n\times n}$ . Если ${\boldsymbol {A}}$ обратимо, то такое разложение единственно и ${\boldsymbol {Q}}$ играет роль ${\boldsymbol {A}}$ это знак. Двойственная конструкция дается разложением ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}$ где ${\boldsymbol {R}}$ является унитарным, но в целом отличается от ${\boldsymbol {Q}}$ . Это приводит к тому, что каждая обратимая матрица имеет уникальный левый знак. ${\boldsymbol {Q}}$ и правый знак ${\boldsymbol {R}}$ .

В частном случае, когда $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,$ и (обратимая) матрица ${\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]$ , который идентифицируется с (ненулевым) комплексным числом $a+\mathrm {i} b=c$ , то сигнум-матрицы удовлетворяют ${\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|$ и отождествить себя с комплексным знаком $c$ , $\operatorname {sgn} c=c/|c|$ . В этом смысле полярное разложение обобщает на матрицы разложение по сигнум-модулю комплексных чисел.

Signum как обобщенная функция [ править ]

При реальных значениях $x$ , можно определить обобщенную функцию – версию функции Signum, $\varepsilon (x)$ такой, что $\varepsilon (x)^{2}=1$ везде, в том числе и в точке $x=0$ , В отличие от $\operatorname {sgn}$ , для которого $(\operatorname {sgn} 0)^{2}=0$ . Этот обобщенный сигнум позволяет построить алгебру обобщенных функций , но ценой такого обобщения является потеря коммутативности . В частности, обобщенный сигнум антикоммутирует с дельта-функцией Дирака. ^[6]

\varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;

кроме того,

\varepsilon (x)

не может быть оценен в

x=0

; и особое имя,

\varepsilon

необходимо отличить ее от функции

\operatorname {sgn}

. (

\varepsilon (0)

не определено, но

\operatorname {sgn} 0=0

.)

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б «Знаковая функция — Меккеса» . www.maeckes.nl
^ Вайсштейн, Эрик В. «Знак» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ступенчатая функция Хевисайда» . Математический мир .
^ Берроуз, БЛ; Колвелл, диджей (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой функции». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 21 (4): 629–635. дои : 10.1080/0020739900210418 .
^ Документация Maple V. 21 мая 1998 г.
^ Ю.М.Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций» . Теоретическая и математическая физика . 39 (3): 471–477. дои : 10.1007/BF01017992 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2012 г.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б «Знаковая функция — Меккеса» . www.maeckes.nl

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Знак» . Математический мир .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Ступенчатая функция Хевисайда» . Математический мир .

[4] Берроуз, БЛ; Колвелл, диджей (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой функции». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 21 (4): 629–635. дои : 10.1080/0020739900210418 .

[5] Документация Maple V. 21 мая 1998 г.

[Algebra-6] Ю.М.Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций» . Теоретическая и математическая физика . 39 (3): 471–477. дои : 10.1007/BF01017992 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]