Ступенчатая функция Хевисайда

Шаг Хевисайда
Шаг Хевисайда
	Ступенчатая функция Хевисайда с использованием соглашения о полувысоте.
Общая информация
Общее определение
Области применения	Операционное исчисление

, Ступенчатая функция Хевисайда или единичная ступенчатая функция , обычно обозначаемая $H$ или $θ$ (но иногда $u$ , $1$ или $𝟙$ ), представляет собой ступенчатую функцию , названную в честь Оливера Хевисайда , значение которой равно нулю для отрицательных аргументов и единице для неотрицательных аргументов. . ^[1] Это пример общего класса ступенчатых функций, все из которых могут быть представлены как линейные комбинации преобразований этой функции.

Функция изначально была разработана в операционном исчислении для решения дифференциальных уравнений , где она представляет собой сигнал, который включается в определенное время и остается включенным на неопределенный срок. Оливер Хевисайд , разработавший операционное исчисление как инструмент анализа телеграфных сообщений, представил функцию как $1$ .

Функция Хевисайда может быть определена как:

кусочная функция : $H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}$
используя обозначение скобки Айверсона : $H(x):=[x\geq 0]$
индикаторная функция : $H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$
производная функции линейного изменения : $H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0$

является Дельта-функция Дирака производной функции Хевисайда.

\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)

Следовательно, функцию Хевисайда можно рассматривать как интеграл дельта-функции Дирака. Иногда это пишут как

H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds

хотя это разложение может не выполняться (или даже иметь смысл) для $x = 0$ , в зависимости от того, какой формализм используется для придания смысла интегралам, включающим $δ$ . В этом контексте функция Хевисайда представляет собой кумулятивную функцию распределения , случайной величины которая почти наверняка равна 0. (См. Постоянная случайная величина .)

В операционном исчислении полезные ответы редко зависят от того, какое значение используется для $H (0)$ , поскольку $H$ чаще всего используется в качестве распределения . Однако этот выбор может иметь некоторые важные последствия в функциональном анализе и теории игр, где рассматриваются более общие формы непрерывности. Некоторые распространенные варианты можно увидеть ниже .

Аппроксимации ступенчатой функции Хевисайда используются в биохимии и нейробиологии , где логистические аппроксимации ступенчатых функций (такие как уравнения Хилла и Михаэлиса-Ментен ) могут использоваться для аппроксимации бинарных клеточных переключателей в ответ на химические сигналы.

Аналитические приближения [ править ]

Для плавного приближения к ступенчатой функции можно использовать логистическую функцию

H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},

где большее значение $k$ соответствует более резкому переходу при $x = 0$ . Если взять $H (0) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2 равенство имеет$ место в пределе:

H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.

Существует множество других гладких аналитических приближений ступенчатой функции. ^[2] Среди возможностей:

{\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}

Эти пределы справедливы поточечно и в смысле распределений . Однако в целом поточечная сходимость не обязательно влечет за собой сходимость по распределению, и наоборот, сходимость по распределению не обязательно влечет за собой поточечную сходимость. (Однако если все члены поточечно сходящейся последовательности функций равномерно ограничены некоторой «хорошей» функцией, то сходимость имеет место и в смысле распределений .)

В общем, любая кумулятивная функция распределения непрерывного распределения вероятностей , имеющая максимум около нуля и имеющая параметр, контролирующий дисперсию, может служить приближением в том пределе, когда дисперсия приближается к нулю. Например, все три приведенных выше приближения являются кумулятивными функциями распределения общих вероятностных распределений: логистического распределения , распределения Коши и нормального распределения соответственно.

Интегральные представления [ править ]

Часто бывает полезно интегральное представление ступенчатой функции Хевисайда:

{\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}

где второе представление легко вывести из первого, учитывая, что ступенчатая функция действительна и, следовательно, является своей собственной комплексно-сопряженной.

Нулевой аргумент [ править ]

Поскольку $при интегрировании обычно используется H$ , а значение функции в отдельной точке не влияет на ее интеграл, редко имеет значение, какое именно значение выбрано из $H (0)$ . Действительно, когда $H$ рассматривается как распределение или элемент $L \infty$ (см. $Л п$ пространство ) о значении в нуле даже говорить не имеет смысла, так как такие объекты определены только почти везде . Если используется какое-то аналитическое приближение (как в примерах выше ), то часто используется соответствующий предел в нуле.

Существуют различные причины для выбора того или иного значения.

$Ч (0) = 1/2,;$ Часто используется поскольку тогда граф обладает вращательной симметрией другими словами, $H — 1/2 тогда нечетной$ является функцией . справедливо следующее соотношение со знаковой функцией В этом случае для всех $x$ : $H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).$
$H (0) = 1$ используется, когда $H$ должно быть непрерывным справа . Например, кумулятивные функции распределения обычно считаются непрерывными справа, как и функции, интегрированные при интегрировании Лебега – Стилтьеса . В этом случае $H$ — индикаторная функция замкнутого : полубесконечного интервала $H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).$ Соответствующее распределение вероятностей является вырожденным распределением .
$H (0) = 0$ используется, когда $H$ должен быть непрерывным слева . В этом случае $H$ является индикаторной функцией открытого полубесконечного интервала: $H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).$
В контексте функционального анализа из оптимизации и теории игр часто бывает полезно определить функцию Хевисайда как многозначную функцию , чтобы сохранить непрерывность предельных функций и гарантировать существование определенных решений. В этих случаях функция Хевисайда возвращает целый интервал возможных решений $H (0) = [0,1]$ .

Дискретная форма [ править ]

Альтернативная форма единичного шага, определяемая вместо этого как функция $H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R}$ (то есть, приняв дискретную переменную $n$ ), есть:

H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}

или используя соглашение о полувысоте: ^[3]

H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}

где $n$ — целое число . Если $n$ — целое число, то $n < 0$ должно означать, что $n \leq -1$ , а $n > 0$ должно означать, что функция достигает единицы при $n = 1$ . Следовательно, «ступенчатая функция» демонстрирует линейное поведение в области $[-1, 1]$ и не может быть подлинно ступенчатой функцией, используя соглашение о полувысоте.

В отличие от непрерывного случая, определение $H [0]$ существенно.

Единичный импульс дискретного времени - это первая разность шага дискретного времени.

\delta [n]=H[n]-H[n-1].

Эта функция представляет собой совокупное суммирование дельты Кронекера :

H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]

где

\delta [k]=\delta _{k,0}

– дискретная единичная импульсная функция .

Первообразная и производная [ править ]

Функция линейного изменения является производной ступенчатой функции Хевисайда:

\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.

Распределительная производная ступенчатой функции Хевисайда представляет собой дельта-функцию Дирака :

{\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.

Преобразование Фурье [ править ]

Преобразование Фурье ступенчатой функции Хевисайда представляет собой распределение. Используя один выбор констант для определения преобразования Фурье, мы имеем

{\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).

Здесь $пв 1 / s$ — это распределение , которое переводит пробную функцию $φ$ в главное значение Коши $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds$ . Предел, входящий в интеграл, также берется в смысле (умеренных) распределений.

Лапласа преобразование Одностороннее

Преобразование Лапласа ступенчатой функции Хевисайда является мероморфной функцией . Используя одностороннее преобразование Лапласа, имеем:

{\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}

При использовании двустороннего преобразования интеграл можно разделить на две части, и результат будет одинаковым.

Другие выражения [ править ]

Ступенчатую функцию Хевисайда можно представить в виде гиперфункции следующим образом:

H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).

где

log z

— главное значение комплексного z

.

логарифма

это также можно выразить $Для x \neq 0$ через функцию абсолютного значения как

H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Чжан, Вэйхун; Чжоу, Ин (2021). «Функции множества уровней и параметрические функции». Функциональный метод структурной оптимизации . Эльзевир. стр. 9–46. дои : 10.1016/b978-0-12-821330-8.00002-x . Функция Хевисайда, также называемая ступенчатой функцией Хевисайда, является разрывной функцией. Как показано на рис. 2.13, он имеет нулевое значение для отрицательного входного сигнала и единицу для неотрицательного входного сигнала.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ступенчатая функция Хевисайда» . Математический мир .
^ Брейсвелл, Рональд Ньюболд (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 61. ИСБН 0-07-303938-1 .

Внешние ссылки [ править ]

Цифровая библиотека математических функций, NIST, [1] .
Берг, Эрнст Юлиус (1936). «Единичная функция». Операционное исчисление Хевисайда применительно к технике и физике . Макгроу-Хилл Образование . п. 5.
Калверт, Джеймс Б. (2002). «Хевисайд, Лаплас и интеграл инверсии» . Денверский университет .
Дэвис, Брайан (2002). «Ступенчатая функция Хевисайда». Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.). Спрингер. п. 28.
Дафф, Джордж Ф.Д .; Нейлор, Д. (1966). «Функция единицы Хевисайда». Дифференциальные уравнения прикладной математики . Джон Уайли и сыновья . п. 42.

[Zhang_Zhou_2021_pp._9–46-1] Чжан, Вэйхун; Чжоу, Ин (2021). «Функции множества уровней и параметрические функции». Функциональный метод структурной оптимизации . Эльзевир. стр. 9–46. дои : 10.1016/b978-0-12-821330-8.00002-x . Функция Хевисайда, также называемая ступенчатой функцией Хевисайда, является разрывной функцией. Как показано на рис. 2.13, он имеет нулевое значение для отрицательного входного сигнала и единицу для неотрицательного входного сигнала.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Ступенчатая функция Хевисайда» . Математический мир .

[3] Брейсвелл, Рональд Ньюболд (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 61. ИСБН 0-07-303938-1 .

[1]

[2]

[3]