Список математических функций
В математике некоторые функции или группы функций настолько важны, что заслуживают собственных названий. Это список статей, в которых более подробно объясняются некоторые из этих функций. Существует обширная теория специальных функций , развившаяся на основе статистики и математической физики . Современная, абстрактная точка зрения противопоставляет большие функциональные пространства , которые являются бесконечномерными и внутри которых большинство функций являются «анонимными», со специальными функциями, выбранными по таким свойствам, как симметрия или связь с гармоническим анализом и групповыми представлениями .
См. также Список типов функций.
Элементарные функции [ править ]
Элементарные функции — это функции, построенные на основе базовых операций (например, сложения, экспоненты, логарифмов...).
Алгебраические функции [ править ]
Алгебраические функции — это функции, которые можно выразить как решение полиномиального уравнения с целыми коэффициентами.
- Полиномы : могут быть получены исключительно путем сложения, умножения и возведения в степень положительного целого числа.
- Постоянная функция : полином нулевой степени, график представляет собой горизонтальную прямую линию.
- Линейная функция : полином первой степени, график представляет собой прямую линию.
- Квадратичная функция : полином второй степени, график представляет собой параболу .
- Кубическая функция : Полином третьей степени.
- Функция четвертой степени : полином четвертой степени.
- Квинтическая функция : полином пятой степени.
- Секстическая функция : полином шестой степени.
- Рациональные функции : отношение двух многочленов.
- n- й корень
- Квадратный корень : дает число, квадрат которого равен заданному.
- Корень куба : дает число, куб которого равен заданному.
Элементарные трансцендентные функции [ править ]
Трансцендентные функции — это функции, которые не являются алгебраическими.
- Экспоненциальная функция : возводит фиксированное число в переменную степень.
- Гиперболические функции : формально аналогичны тригонометрическим функциям .
- Обратные гиперболические функции : обратные гиперболические функции , аналогичные обратным круговым функциям .
- Логарифмы : обратные показательные функции; полезно для решения уравнений, включающих экспоненты.
- Степенные функции : возводят переменное число в фиксированную степень; также известные как аллометрические функции ; примечание: если степень является рациональным числом, она не является строго трансцендентной функцией.
- Периодические функции
- Тригонометрические функции : синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс , косеканс , экссеканс , экскосеканс , версинус , коверкосинус , веркосинус , коверкосинус , гаверсинус , хаковерсинус , хаверкозин , хаковеркосинус , обратные тригонометрические функции и т.д.; используется в геометрии и для описания периодических явлений. См. также функцию Гудермана .
Специальные функции [ править ]
Кусочные специальные функции [ править ]
- Индикаторная функция : отображает x в 1 или 0, в зависимости от того, принадлежит ли x некоторому подмножеству.
- Ступенчатая функция : конечная линейная комбинация индикаторных функций полуоткрытых интервалов .
- Ступенчатая функция Хевисайда : 0 для отрицательных аргументов и 1 для положительных аргументов. Интеграл от дельта-функции Дирака .
- Пилообразная волна
- Прямоугольная волна
- Треугольная волна
- Прямоугольная функция
- Функция пола : наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу.
- Функция потолка : наименьшее целое число, большее или равное заданному числу.
- Функция Sign : возвращает только знак числа, например +1 или -1.
- Абсолютное значение : расстояние до начала координат (нулевой точки)
Арифметические функции [ править ]
- функция : суммы степеней делителей Сигма - числа данного натурального .
- Функция тотента Эйлера : количество чисел , взаимно простых (и не превышающих) заданного.
- Функция подсчета простых чисел : количество простых чисел , меньших или равных заданному числу.
- Функция раздела : независимое от порядка количество способов записать данное положительное целое число в виде суммы положительных целых чисел.
- Функция Мёбиуса μ : сумма примитивных корней n-й степени из единицы, она зависит от простой факторизации n.
- Основные омега-функции
- Функции Чебышева
- Функция Лиувилля , λ( n ) = (–1) Ом ( п )
- Функция фон Мангольдта , Λ( n ) = log p , если n — положительная степень простого числа p
- Функция Кармайкла
Первообразные элементарных функций [ править ]
- Логарифмическая интегральная функция : интеграл от обратного логарифма, важный в теореме о простых числах .
- Экспоненциальный интеграл
- Тригонометрический интеграл : включая интеграл синуса и интеграл косинуса.
- Обратный касательный интеграл
- Функция ошибки : Интеграл, важный для обычных случайных величин .
- Интеграл Френеля : связан с функцией ошибок; используется в оптике .
- Функция Доусона : возникает по вероятности .
- Функция Фаддеевой
[ править ]
- Гамма-функция : обобщение факториальной функции.
- G-функция Барнса
- Бета-функция : соответствующий аналог биномиального коэффициента .
- Дигамма-функция , Полигамма-функция
- Неполная бета-функция
- Неполная гамма-функция
- К-функция
- Многомерная гамма-функция : обобщение гамма-функции, полезное в многомерной статистике .
- t-распределение Стьюдента
- Пи-функция
[ править ]
- Эллиптические интегралы : возникают из длины пути эллипсов ; важно во многих приложениях. Альтернативные обозначения включают:
- Имя
- Квартальный период
- Эллиптические функции : обратные эллиптическим интегралам; используется для моделирования двоякопериодических явлений.
- Тета-функции
- Тета-функции Невилла
- Модульная лямбда-функция
- Близко связаны модульные формы , к которым относятся
[ править ]
- Функция Эйри
- Функции Бесселя : определяются дифференциальным уравнением ; полезен в астрономии , электромагнетизме и механике .
- Функция Бесселя – Клиффорда
- Функции Кельвина
- Функция Лежандра : Из теории сферических гармоник .
- Функция бомбардира
- Функция Sinc
- Полиномы Эрмита
- Полиномы Лагерра
- Полиномы Чебышева
- Функция синхротрона
[ править ]
- Дзета-функции Римана : частный случай ряда Дирихле .
- Функция Римана Си
- Эта-функция Дирихле : родственная функция.
- Бета-функция Дирихле
- L-функция Дирихле
- Дзета-функция Гурвица
- Функция Лежандра Чи
- Лерх трансцендентный
- Полилогарифм и связанные с ним функции:
- Неполный полилогарифм
- Функция Клаузена
- Полный интеграл Ферми – Дирака , альтернативная форма полилогарифма.
- Дилогарифм
- Неполный интеграл Ферми – Дирака.
- Функция Куммера
- Функция Рисса
[ править ]
- Гипергеометрические функции : универсальное семейство степенных рядов .
- Вырожденная гипергеометрическая функция
- Связанные функции Лежандра
- G-функция Мейера
- H-функция Фокса
[ править ]
Другие стандартные специальные функции [ править ]
- Функция Ламберта W : обратная f ( w ) = w exp( w ).
- Функция Ламе
- функция Матье
- Функция Миттаг-Леффлера
- Трансценденты Пенлеве
- Функция параболического цилиндра
- Среднее арифметико-геометрическое
Разные функции [ править ]
- Функция Аккермана : в теории вычислений — вычислимая функция , не являющаяся примитивно-рекурсивной .
- Дельта-функция Дирака : везде ноль, кроме x = 0; общий интеграл равен 1. Это не функция, а распределение , но иногда неофициально называемое функцией, особенно физики и инженеры.
- Функция Дирихле : индикаторная функция , которая сопоставляет 1 рациональным числам и 0 иррациональным числам. Оно нигде не непрерывно .
- Функция Томаэ : функция, непрерывная для всех иррациональных чисел и разрывная для всех рациональных чисел. Это также модификация функции Дирихле, которую иногда называют функцией Римана.
- Дельта-функция Кронекера : представляет собой функцию двух переменных, обычно целых чисел, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае.
- Функция вопросительного знака Минковского : производные исчезают в рациональных числах.
- Функция Вейерштрасса : является примером непрерывной функции , которая нигде не дифференцируема.
См. также [ править ]
- Список типов функций
- Тестовые функции для оптимизации
- Список математических сокращений
- Список специальных функций и эпонимов
Внешние ссылки [ править ]
- Специальные функции : Программируемый калькулятор специальных функций.
- Специальные функции в EqWorld: Мир математических уравнений.