Его версия

Чтобы узнать об архаичной единице массы, см. Versine в WP:de .

«версин» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о польской деревне, см. Версин (деревня) .

Версинус , или версивный синус — это тригонометрическая функция обнаруженная в некоторых из самых ранних ( санскритская Арьябхатия , Раздел I) Тригонометрические таблицы . Версинус угла равен 1 минус его косинус .

Существует несколько связанных функций, в первую очередь коверсинус и гаверсинус . Последняя, ​​полустиховая, имеет особое значение в гаверсинуальной формуле мореплавания.

Единичный круг с тригонометрическими функциями .

Обзор

Версия ​ или разбирающийся синус — это тригонометрическая функция, уже встречающаяся в некоторых из самых ранних тригонометрических таблиц. В формулах он обозначается сокращениями versin , sinver , стих , вер или сив . На латыни это известно как синус против (перевернутый синус), версинус , против или сагитта (стрелка).

Выраженный через обычные тригонометрические функции синус, косинус и тангенс, версус равен

$$\operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}$$

Есть несколько связанных функций, соответствующих версину:

• Знающий косинус , или веркозин , сокращенно веркозин , веркос или vcs .
• Покрытый синус или коверсинус (по латыни косинус против или коверсинус ), сокращенно коверсин , крышки , cosiv или cvs
• Покрытый косинус или Covercosine , сокращенно Covercosin , Covercos или CVC

По полной аналогии с вышеупомянутыми четырьмя функциями существует еще один набор из четырех «половинных» функций:

• Перевернутый синус или гаверсинус (лат. semiversus ), сокращенно хаверсин , семиверсин , семиверсинус , хаверс , хав , хвс , сем , или хв , наиболее известная из формулы хаверсина, исторически использовавшейся в мореплавании.
• Перевернутый косинус или хаверкозин , сокращенно хаверкозин , хаверкос , hac или hvc
• Хаковерсинус ​ , хаковерсинус , или кохаверсин , сокращенно хаковерсин , семиковерсин , хаковерс , хаков или гепатит С
• Покрытый косинус , хаковеркозин , или кохаверкозин , сокращенно хаковеркозин , хаковеркос или hcc

История и приложения

Версии и обложки

Синус, косинус и версинус угла θ в единицах окружности радиуса 1 с центром в O. точке Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой стих иногда называли сагиттой , что на латыни означает стрела . Если дугу ADB двойного угла Δ = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB как его «струну», то версина CD явно является «стержнем стрелы».

Графики исторических тригонометрических функций в сравнении с sin и cos — в файле SVG наведите указатель мыши на график или щелкните его, чтобы выделить его.

Обыкновенную синусоидальную функцию ( см. примечание по этимологии ) иногда исторически называли sinus rectus («прямой синус»), чтобы противопоставить ее развернутому синусу (« синус против» ). Значение этих терминов становится очевидным, если посмотреть на функции в исходном контексте их определения — единичном круге :

Для вертикальной хорды AB единичной окружности синус угла θ (представляющий половину стянутого угла Δ ) равен расстоянию AC (половина хорды). С другой стороны, перевернутый синус θ — это расстояние CD от центра хорды до центра дуги. Таким образом, сумма cos( θ ) (равная длине линии OC ) и versin( θ ) (равная длине линии CD ) представляет собой радиус OD (длиной 1). Проиллюстрированный таким образом, синус вертикальен ( прямая мышца , буквально «прямой»), тогда как версинус горизонтален ( vs , буквально «повернут против, неуместен»); оба являются расстояниями от C до окружности.

Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой стих иногда называли сагиттой , что на латыни означает стрела . Если дугу ADB двойного угла Δ = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB как его «струну», то версина CD явно является «стержнем стрелы».

В соответствии с интерпретацией синуса как «вертикального», а перевернутого синуса как «горизонтального», сагитта также является устаревшим синонимом абсциссы (горизонтальной оси графика).

В 1821 году Коши использовал термины синус против ( siv ) для версинуса и косинус против ( cosiv ) для коверсинуса.

Тригонометрические функции можно построить геометрически в терминах единичного круга с центром в O. точке

Исторически перевернутый синус считался одной из важнейших тригонометрических функций.

Поскольку θ стремится к нулю, версина ( θ ) представляет собой разницу между двумя почти равными величинами, поэтому пользователю тригонометрической таблицы только для косинуса потребуется очень высокая точность для получения версинуса, чтобы избежать катастрофического сокращения , создавая отдельные таблицы. для последнего удобно. Даже при наличии калькулятора или компьютера ошибки округления делают целесообразным использовать грех ² формула для малых θ .

Еще одним историческим преимуществом версуса является то, что он всегда неотрицательен, поэтому его логарифм определен везде, за исключением единственного угла ( θ = 0, 2 π можно использовать логарифмические таблицы ,…), где он равен нулю — таким образом, для умножения . в формулах, содержащих версины.

Фактически, самая ранняя сохранившаяся таблица значений синуса (полухорды ) (в отличие от аккордов, составленных Птолемеем и другими греческими авторами), рассчитанная на основе индийской Сурья Сиддханты и датируемая III веком до нашей эры, представляла собой таблицу значений для синуса и ориентированного синуса (с шагом 3,75° от 0 до 90°).

Версина появляется как промежуточный шаг в применении формулы половинного угла sin. ² ( θ / 2 ) = 1/2 ) , версия ( θ полученная Птолемеем , которая использовалась для построения таких таблиц.

Хаверсин

Хаверсинус, в частности, был важен в навигации , потому что он появляется в формуле гаверсинуса , которая используется для достаточно точного расчета расстояний на астрономическом сфероиде (см. Проблемы с радиусом Земли по сравнению со сферой ) с учетом угловых положений (например, долготы и широты ). ). Можно также использовать грех ² ( θ / 2 ) напрямую, но наличие таблицы гаверсинусов избавило от необходимости вычислять квадраты и квадратные корни.

Раннее использование Хосе де Мендоса-и-Риосом того, что позже будет называться хаверсином, задокументировано в 1801 году.

Первый известный английский эквивалент таблицы гаверсинусов был опубликован Джеймсом Эндрю в 1805 году под названием «Квадраты натуральных полухорд».

термин хаверсинус (естественно обозначаемый как hav. или логарифмически по основанию 10 как log. Haversine или log. Havers. ). В 1835 году был придуман Джеймс Инман в третьем издании своей работы «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками», чтобы упростить расчет расстояний между двумя точками на поверхности Земли с использованием сферической тригонометрии для приложений в навигации. Инман также использовал термины nat. версина и физ. вер. для версинов.

Другими высоко оцененными таблицами гаверсинусов были таблицы Ричарда Фарли в 1856 году. и Джон Колфилд Хэннингтон в 1876 году.

Гаверсинус продолжает использоваться в навигации и в последние десятилетия нашел новые применения, например, в методе Брюса Д. Старка для определения лунных расстояний с использованием гауссовских логарифмов с 1995 года. или более компактный метод уменьшения прицела с 2014 года.

Современное

Хотя использование версинуса, коверсинуса и гаверсина, а также их обратных функций можно проследить на протяжении столетий, названия остальных пяти кофункций, по-видимому, имеют гораздо более молодое происхождение.

Один период (0 < θ < 2 π ) версинусной или, чаще, хаверсинусной (или гаверкосинусоидальной) формы сигнала также широко используется в теории обработки сигналов и управления как форма импульса или оконная функция (включая Ханна , Ханна – окна Пуассона и Тьюки ), поскольку оно плавно ( непрерывно по значению и наклону ) «включается» от нуля до единицы (по гаверсинусу) и обратно к нулю. В этих приложениях она называется функцией Ханна или фильтром повышенного косинуса . Точно так же хаверкосинус используется в распределениях приподнятого косинуса в теории вероятностей и статистике .

В форме греха ² ( θ ) хаверсинус двойного угла Δ описывает связь между разбросами и углами в рациональной тригонометрии , предложенной переформулировке метрической плоской и объемной геометрии Норманом Джоном Уайлдбергером с 2005 года.

Математические тождества

Определения

${\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$
${\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$
${\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,$
${\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$
${\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$

Круговые вращения

Функции представляют собой круговое вращение друг друга.

${\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

Производные и интегралы

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}$	$\int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}$	$\int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}$	$\int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}$	$\int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C$

Обратные функции

Обратные функции, такие как аркверсинус (аркверсин, аркверс, аверс, авер), аркверкосинус (аркверкозин, аркверкос, аверкос, avcs), аркковерсинус (arccoversin, Arccovers, охватывает, acvs), аркковеркосинус (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), аркаверсинус (archaversin, arcav, хаверсин ⁻¹ , invhav, ahav, ахвс, ахв, море ⁻¹ ), арчаверкозин (archacovercosin,archavercos, ahvc), архаковерсин (archacoversin, ahcv) или архаверкозин (archacovercosin,archacovercos,ahcc) существуют также:

$\operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,$

$\operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,$

$\operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,$

$\operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,$

$\operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,$

$\operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)$

$\operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,$

$\operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,$

Другая недвижимость

Эти функции могут быть расширены на комплексную плоскость .

Серия Маклорен :

${\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}$

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0$

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}$

Приближения

Сравнение версинус-функции с тремя приближениями версинус-функции для углов от 0 до 2 π.

Сравнение версинус-функции с тремя приближениями версинус-функции для углов от 0 до π /2.

Когда версина v мала по сравнению с радиусом r , ее можно аппроксимировать по длине полухорды L (расстояние AC , показанное выше) по формуле

$$v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.$$

В качестве альтернативы, если версинуса мала и известны версинуса, радиус и длина полухорды, их можно использовать для оценки длины дуги s ( AD на рисунке выше) по формуле

$$s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}$$

Эта формула была известна китайскому математику Шэнь Го , а более точная формула, также включающая сагитту, была разработана два столетия спустя Го Шоуцзином .

Более точное приближение, используемое в технике является

$$v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}$$

Произвольные кривые и хорды

Термин «версина» также иногда используется для описания отклонений от прямолинейности произвольной плоской кривой, частным случаем которой является приведенный выше круг. Учитывая хорду между двумя точками кривой, перпендикулярное расстояние v от хорды до кривой (обычно в средней точке хорды) называется версусным измерением. Для прямой версинуса любой хорды равна нулю, поэтому это измерение характеризует прямолинейность кривой. В пределе обращения длины хорды L к нулю соотношение 8 В / Л ² переходит к мгновенной кривизне . Это использование особенно распространено на железнодорожном транспорте , где оно описывает измерения прямолинейности железнодорожных путей. и это основа метода Халлада для съемки железных дорог .

Термин сагитта (часто сокращенно сагитта ) используется аналогично в оптике для описания поверхностей линз и зеркал .

См. также

• Тригонометрические тождества
• Эксекант и эксекант
• Версьера ( Ведьма Аньези )
• Экспонента минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

Дальнейшее чтение

• Хокинг, Стивен Уильям , изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды физики и астрономии . Филадельфия, США: Беговая пресса . ISBN  0-7624-1698-Х . LCCN   2002100441 . Проверено 31 июля 2017 г.

Внешние ссылки

• Пегг-младший, Эд . «Стрела, Апофема и Аккорд» . Демонстрационный проект Wolfram .
• Тригонометрические функции на GeoGebra.org