функция Ханна

Функция Ханна (слева) и ее частотная характеристика (справа)

Функция Ханна названа в честь австрийского метеоролога Юлиуса фон Ханна . Это оконная функция, используемая для сглаживания Ханна . Функция с длиной $L$ и амплитуда $1/L,$ дается :

$w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.$  

Для цифровой обработки сигналов функция дискретизируется симметрично (с интервалом $L/N$ и амплитуда $1$) :

$\left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,$

который представляет собой последовательность $N+1$ образцы и $N$ может быть четным или нечетным. (см. § Окна Ханна и Хэмминга ). Оно также известно как окно приподнятого косинуса , фильтр Ханна , окно фон Ханна и т. д.

Преобразование Фурье

Вверху: с 16 выборками ДПФ-четного окно Ханна . Внизу: его дискретное преобразование Фурье (DTFT) и три ненулевых значения его дискретного преобразования Фурье (DFT).

Фурье Преобразование ​ $w_{0}(x)$ дается:

$W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}$  

Вывод

Используя формулу Эйлера для расширения члена косинуса в $w_{0}(x),$ мы можем написать :

$w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),$

который представляет собой линейную комбинацию модулированных прямоугольных окон :

${\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.$

Преобразование каждого термина :

${\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}$

Дискретные преобразования

Дискретное преобразование Фурье (DTFT) $N+1$ длина, сдвинутая во времени последовательность определяется рядом Фурье, который также имеет трехчленный эквивалент, который получается аналогично выводу преобразования Фурье :

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}$

Усеченная последовательность $\{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}$ представляет собой ДПФ-четное (также известное как периодическое ) окно Ханна. Поскольку усеченная выборка имеет нулевое значение, из определения ряда Фурье ясно, что DTFT эквивалентны. Однако описанный выше подход приводит к значительно отличающемуся, но эквивалентному трехчленному выражению :

${\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].$

ДПФ длиной N оконной функции производит выборку ДПФ на частотах $f=k/N,$ для целых значений $k.$ Из выражения, приведенного выше, легко увидеть, что только 3 из N коэффициентов ДПФ не равны нулю. А из другого выражения видно, что все они имеют реальную стоимость. Эти свойства привлекательны для приложений реального времени, которым требуются как оконные, так и безоконные преобразования (прямоугольные окна), поскольку оконные преобразования могут быть эффективно получены из безоконных преобразований путем свертки .

Имя

Функция названа в честь фон Ханна, который использовал метод трехчленного средневзвешенного сглаживания метеорологических данных. Однако термин «функция Хэннинга» также традиционно используется: заимствовано из статьи, в которой термин «ханнинг сигнала» использовался для обозначения применения к нему окна Ханна. Путаница возникла из-за аналогичной функции Хэмминга , названной в честь Ричарда Хэмминга .

См. также

• Функция окна
• Аподизация
• Распределение повышенного косинуса
• Фильтр повышенного косинуса

Ссылки

9. Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков» . Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. дои : 10.1109/ТАССП.1981.1163506 .

Внешние ссылки

• Функция Ханна в MathWorld