Преобразование Фурье дискретного времени

В математике преобразование Фурье с дискретным временем ( DTFT ) — это форма анализа Фурье , применимая к последовательности дискретных значений.

DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Термин дискретное время относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто с выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно расположенных выборок он создает функцию частоты, которая представляет собой периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье исходной непрерывной функции. При определенных теоретических условиях, описываемых теоремой выборки , исходная непрерывная функция может быть полностью восстановлена из DTFT и, следовательно, из исходных дискретных выборок. Само DTFT является непрерывной функцией частоты, но его дискретные выборки можно легко вычислить с помощью дискретного преобразования Фурье (DFT) (см. § Выборка DTFT ), которое на сегодняшний день является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.

Оба преобразования обратимы. Обратное DTFT — это исходная выборочная последовательность данных. Обратное ДПФ представляет собой периодическое суммирование исходной последовательности. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это алгоритм вычисления одного цикла ДПФ, а его обратное преобразование дает один цикл обратного ДПФ.

Введение [ править ]

Фурье с Связь преобразованием

Начнем с общего определения интеграла Фурье преобразования :

X(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.

Это сводится к суммированию (см. Преобразование Фурье § Численное интегрирование ряда упорядоченных пар ), когда $x(t)$ заменяется дискретной последовательностью его выборок, $x(nT),$ для целых значений $n.$ $dt$ также заменяется на $T,$ уход :

X_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn},

который представляет собой ряд Фурье по частоте с периодичностью $1/T.$ Нижний индекс $1/T$ отличает его от $X(f)$ и от формы угловой частоты DTFT. Т.е., когда частотная переменная, $\omega ,$ имеет нормированные единицы радианы /выборка , периодичность равна $2\pi ,$ и ряд Фурье : ^[1]^{: стр.147}

X_{2\pi }(\omega )=X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i\omega n}.

( Уравнение 1 )

Полезность DTFT коренится в формуле суммирования Пуассона , которая говорит нам, что периодическая функция, представленная рядом Фурье, представляет собой периодическое суммирование преобразования Фурье : ^[а]^[А]

Суммирование Пуассона

X_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi fTn}\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).

( Уравнение 2 )

Целое число $k$ имеет единицы циклов/выборки и $1/T$ это частота дискретизации, $f_{s}$ ( выборок/сек ). Так $X_{1/T}(f)$ содержит точные копии $X(f)$ которые сдвинуты на кратное число $f_{s}$ герц и объединяются сложением. Для достаточно большого $f_{s}$ тот $k=0$ срок можно наблюдать в регионе $[-f_{s}/2,f_{s}/2]$ с небольшими искажениями ( алиасингами ) от других терминов или без них. На рис.1 изображен пример, где $1/T$ недостаточно велик, чтобы предотвратить наложение псевдонимов.

Мы также отмечаем, что $e^{-i2\pi fTn}$ представляет собой преобразование Фурье $\delta (t-nT).$ Таким образом, альтернативное определение DTFT : ^[Б]

X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.

( Уравнение 3 )

Модулированная гребенчатая функция Дирака — это математическая абстракция, которую иногда называют импульсной выборкой . ^[3]

Обратное преобразование [ править ]

Операция, которая восстанавливает последовательность дискретных данных из функции DTFT, называется обратным DTFT . Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих частей уравнения 3 дает последовательность в форме модулированной гребенчатой функции Дирака :

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.

Однако, отметив, что $X_{1/T}(f)$ является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины $1/T.$ И в уравнении 1 , и в уравнении 2 суммирование по $n$ представляют собой ряд Фурье с коэффициентами $x[n].$ Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями :

{\begin{aligned}x[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}

( Уравнение 4 )

Периодические данные [ править ]

Когда последовательность входных данных $x[n]$ является $N$ -периодическое, уравнение 2 можно вычислительно свести к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), потому что :

Вся доступная информация содержится внутри $N$ образцы.
$X_{1/T}(f)$ сходится к нулю везде, кроме целых чисел, кратных $1/(NT),$ известные как гармонические частоты. На этих частотах DTFT расходится с разной частотно-зависимой скоростью. И эти скорости определяются ДПФ одного цикла $x[n]$ последовательность.
DTFT является периодическим, поэтому максимальное количество уникальных амплитуд гармоник равно $(1/T)/(1/(NT))=N.$

ДПФ одного цикла $x[n]$ последовательность такая :

X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .

И $x[n]$ можно выразить через обратное преобразование :

x[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .

Обратное ДПФ иногда называют дискретным рядом Фурье (ДФС). ^[1]^{: стр. 542}

{\begin{aligned}X_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}

^[б]

Из-за $N$ -периодичность обеих функций $k,$ это можно упростить до :

X_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),

который удовлетворяет требованию обратного преобразования :

{\begin{aligned}x[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}

Выборка DTFT [ править ]

Когда DTFT является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного количества выборок. $(N)$ одного цикла периодической функции $X_{1/T}$ : ^[1]^{: стр. 557–559 и 703.}

{\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}

где $x_{_{N}}$ представляет собой периодическое суммирование :

x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].

(см. Дискретный ряд Фурье )

The $x_{_{N}}$ последовательность является обратным ДПФ. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив $|X_{k}|^{2}$ значения известны как периодограмма , а параметр $N$ называется NFFT в одноименной функции Matlab. ^[4]

Чтобы оценить один цикл $x_{_{N}}$ численно нам требуется конечная длина $x[n]$ последовательность. Например, длинная последовательность может быть усечена оконной функцией длины $L$ в результате чего три случая заслуживают особого упоминания. Для простоты обозначений рассмотрим $x[n]$ значения ниже, чтобы представить значения, измененные оконной функцией.

Случай: прореживание частоты. $L=N\cdot I,$ для некоторого целого числа $I$ (обычно 6 или 8)

Цикл $x_{_{N}}$ сводится к суммированию $I$ сегменты длины $N.$ Затем ДПФ носит разные названия, например :

окно-предполагаемое БПФ ^[5]
Вес, перекрытие, добавление (WOLA) ^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[С]^[Д]

многофазное ДПФ ^[9]^[10]
блок многофазных фильтров ^[12]
Многоблочное управление окнами и временные псевдонимы . ^[13]

Напомним, что прореживание выборочных данных в одном домене (по времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда называемому псевдонимом ) в другом, и наоборот. По сравнению с $L$ -длина ДПФ, $x_{_{N}}$ суммирование/перекрытие приводит к уменьшению частоты, ^[1]^{: стр.558}оставляя только образцы DTFT, наименее подверженные утечке спектра . Обычно это является приоритетом при реализации банка фильтров БПФ (канализатора). С обычной оконной функцией длины $L,$ гребешковые потери были бы неприемлемы. Таким образом, многоблочные окна создаются с использованием инструментов проектирования КИХ-фильтров . ^[14]^[15]Их частотный профиль плоский в самой высокой точке и быстро падает в средней точке между остальными выборками DTFT. Чем больше значение параметра $I,$ тем лучше потенциальная производительность.

Случай: $L=N+1$

Когда симметричный, $L$ -длинная оконная функция ( $x$ ) усекается на 1 коэффициент, его называют периодическим или ДПФ-четным . Это обычная практика, но усечение незначительно влияет на DTFT (утечку спектра). Охарактеризовать этот эффект представляет по крайней мере академический интерес. Ан $N$ ДПФ усеченного окна по длине создает выборки частоты с интервалом $1/N,$ вместо $1/L.$ Образцы имеют реальную стоимость, ^[16]^{: стр.52}но их значения не совсем соответствуют DTFT симметричного окна. Периодическое суммирование, $x_{_{N}},$ вместе с $N$ -длинное ДПФ, также может использоваться для выборки ДВПФ с интервалами $1/N.$ Эти выборки также имеют действительные значения и точно соответствуют DTFT (пример: File:Sampling the Discrete-time Fourier Transform.svg ). Чтобы использовать полное симметричное окно для спектрального анализа на $1/N$ интервал, можно было бы объединить $n=0$ и $n=N$ выборки данных (дополнительно, поскольку симметричное окно взвешивает их одинаково), а затем применить усеченное симметричное окно и $N$ -длина ДПФ.

Рис. 2. ДПФ $e i2πn/8$ для $L = 64$ и $N = 256$

Рис. 3. ДПФ $e i2πn/8$ для $L = 64$ и $N = 64$

Случай: Частотная интерполяция. $L\leq N$

В этом случае ДПФ упрощается до более привычной формы :

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.

Чтобы воспользоваться преимуществами алгоритма быстрого преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем $N$ термины, хотя $N-L$ из них нули. Следовательно, случай $L<N$ часто называют заполнением нулями .

Спектральная утечка, которая увеличивается по мере $L$ уменьшается, вредно для некоторых важных показателей производительности, таких как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеряемого каждой выборкой DTFT. Но эти вещи не всегда имеют значение, например, когда $x[n]$ последовательность представляет собой бесшумную синусоиду (или константу), сформированную оконной функцией. Тогда обычной практикой является использование заполнения нулями для графического отображения и сравнения подробных закономерностей утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:

x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad

и

L=64.

На рисунках 2 и 3 представлены графики величин двух ДПФ разного размера, как указано на их этикетках. В обоих случаях доминирующая составляющая находится на частоте сигнала: $f=1/8=0.125$ . также видна На рис. 2 картина спектральной утечки $L=64$ прямоугольное окно. Иллюзия на рис. 3 является результатом выборки DTFT только при пересечении нуля. Вместо DTFT последовательности конечной длины он создает впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими возникновению иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) ровно с 8 (целыми числами) циклами на 64 выборки. Окно Ханна даст аналогичный результат, за исключением того, что пик будет расширен до 3 выборок (см. Окно Ханна с четным ДПФ ).

Свертка [ править ]

Теорема свертки для последовательностей :

x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].

^[17]^{: стр.297}^[с]

Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей $x$ и $y$ , определяемая формулой $x_{_{N}}*y,$ где $x_{_{N}}$ представляет собой периодическое суммирование. Дискретно-частотная природа $\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}$ означает, что произведение с непрерывной функцией $\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}$ также дискретно, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования :

x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].

^[18]^[1]^{: стр.548}

Для $последовательностей x$ и $y$ , ненулевая длительность которых меньше или равна $N$ , окончательное упрощение :

x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].

Значение этого результата объясняется в разделах «Алгоритмы круговой свертки» и «Быстрая свертка» .

Свойства симметрии [ править ]

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие : ^[17]^{: стр.291}

${\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}$

Отсюда вытекают различные зависимости, например :

Преобразование действительной функции $(x_{_{RE}}+x_{_{RO}})$ это четная симметричная функция $X_{RE}+i\ X_{IO}.$ И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
Преобразование мнимой функции $(i\ x_{_{IE}}+i\ x_{_{IO}})$ нечетная симметричная функция $X_{RO}+i\ X_{IE},$ и обратное верно.
Преобразование четно-симметричной функции $(x_{_{RE}}+i\ x_{_{IO}})$ это действительная функция $X_{RE}+X_{RO},$ и обратное верно.
Преобразование нечетно-симметричной функции $(x_{_{RO}}+i\ x_{_{IE}})$ — мнимая функция $i\ X_{IE}+i\ X_{IO},$ и обратное верно.

Связь с Z-преобразованием [ править ]

$X_{2\pi }(\omega )$ представляет собой ряд Фурье , который также можно выразить через двустороннее Z-преобразование . Т.е .:

X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),

где ${\widehat {X}}$ Обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Следовательно, мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье :

{\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}

Обратите внимание, что при изменении параметра $T$ члены $X_{2\pi }(\omega )$ оставаться постоянной разлукой $2\pi$ друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Члены $X 1/ T (f)$ остаются постоянной ширины, а их расстояние $1/ T$ масштабируется вверх или вниз.

дискретных Фурье преобразований Таблица

Некоторые распространенные пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения :

$\omega =2\pi fT$ — действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). ( $f$ измеряется в циклах/сек, и $T$ находится в секундах/выборку.) Во всех случаях в таблице DTFT является 2π-периодическим (в $\omega$ ).
$X_{2\pi }(\omega )$ обозначает функцию, определенную на $-\infty <\omega <\infty$ .
$X_{o}(\omega )$ обозначает функцию, определенную на $-\pi <\omega \leq \pi$ , и ноль в другом месте. Затем: $X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).$
$\delta (\omega )$ это дельта-функция Дирака
$\operatorname {sinc} (t)$ нормализованная функция sinc
$\operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}$
$\operatorname {tri} (t)$ это функция треугольника
$n$ — целое число, представляющее область дискретного времени (в выборках).
$u[n]$ - дискретная ступенчатая функция
$\delta [n]$ это дельта Кронекера $\delta _{n,0}$

Область времени х [ н ]	Частотная область Икс _{2 п} ( ω )	Примечания	Ссылка
$\delta [n]$	$X_{2\pi }(\omega )=1$		^[17]^{: стр.305}
$\delta [n-M]$	$X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}$	целое число $M$
$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!$	$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ нечетное М $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ даже М	целое число $M>0$
$u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$ $X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!$	The $1/(1-e^{-i\omega })$ термин следует интерпретировать как распределение в смысле главного значения Коши вокруг его полюсов в точке $\omega =2\pi k$ .
$a^{n}u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!$	$0<\|a\|<1$	^[17]^{: стр.305}
$e^{-ian}$	$X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),$ -π < а < π $X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)$	настоящий номер $a$
$\cos(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],$ $X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)$	настоящий номер $a$ с $-\pi <a<\pi$
$\sin(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]$	настоящий номер $a$ с $-\pi <a<\pi$
$\operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]\equiv \operatorname {rect} \left[{n-M \over N-1}\right]$	$X_{o}(\omega )={\sin(N\omega /2) \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!$	целое число $M,$ и нечетное целое число $N$
$\operatorname {sinc} (W(n+a))$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }$	вещественные числа $W,a$ с $0<W<1$
$\operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$	настоящий номер $W$ , $0<W<0.5$
${\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=j\omega$	он работает как дифференцирующий фильтр
${\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}$	$X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }$	вещественные числа $W,a$ с $0<W<1$
${\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=\|\omega \|$
${\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}$	Преобразование Гильберта
${\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]$	$X_{o}(\omega )=$	вещественные числа $A,B$ сложный $C$

Свойства [ править ]

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.

$*\!$ это дискретная свертка двух последовательностей
$x[n]^{*}$ является комплексно-сопряженным числом $x [n]$ .

Свойство	Область времени $х [н]$	Частотная область $X_{2\pi }(\omega )$	Примечания	Ссылка
Линейность	$a\cdot x[n]+b\cdot y[n]$	$a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )$	комплексные числа $a,b$	^[17]^{: стр.294}
Обращение времени/Обращение частоты	$x[-n]$	$X_{2\pi }(-\omega )\!$		^[17]^{: стр.297}
Сопряжение времени	$x[n]^{*}$	$X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!$		^[17]^{: стр.291}
Обращение времени и сопряжение	$x[-n]^{*}$	$X_{2\pi }(\omega )^{*}\!$		^[17]^{: стр.291}
Реальная часть времени	$\Re {(x[n])}$	${\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		^[17]^{: стр.291}
Мнимая часть времени	$\Im {(x[n])}$	${\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		^[17]^{: стр.291}
Действительная часть по частоте	${\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])$	$\Re {(X_{2\pi }(\omega ))}$		^[17]^{: стр.291}
Мнимая часть частоты	${\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])$	$\Im {(X_{2\pi }(\omega ))}$		^[17]^{: стр.291}
Сдвиг во времени/Модуляция по частоте	$x[n-k]$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}$	целое число $к$	^[17]^{: стр.296}
Сдвиг частоты/модуляция во времени	$x[n]\cdot e^{ian}\!$	$X_{2\pi }(\omega -a)\!$	настоящий номер $a$	^[17]^{: стр.300}
Децимация	$x[nM]$	${\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!$ ^[И]	целое число $M$
Расширение времени	$\scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	$X_{2\pi }(M\omega )\!$	целое число $M$	^[1]^{: стр.172}
Производная по частоте	${\frac {n}{i}}x[n]\!$	${\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!$		^[17]^{: стр.303}
Интегрирование по частоте	$\!$	$\!$
Разница во времени	$x[n]-x[n-1]\!$	$\left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!$
Суммирование по времени	$\sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!$	${\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$
Свертка по времени/Умножение по частоте	$x[n]*y[n]\!$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$		^[17]^{: стр.297}
Умножение по времени/Свертка по частоте	$x[n]\cdot y[n]\!$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!$	Периодическая свертка	^[17]^{: стр.302}
Взаимная корреляция	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{}y[n]\!$	$R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$
Теорема Парсеваля	$E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!$	$E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!$		^[17]^{: стр.302}

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Когда зависимость от $T$ не важна, обычно ее заменяют на $1.$ Тогда $f$ имеет единицы измерения ( циклы/выборка ), называемые нормализованной частотой .
^ Фактически уравнение 2 часто оправдывается следующим образом : ^[1]^{: стр.143} ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}$
^ WOLA не следует путать с Overlap-add . методом кусочной свертки
^ Пример WOLA: Файл: пример канала WOLA.png
^ Это выражение получается следующим образом: ^[1]^{: стр. 168}
${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}$

Цитаты страниц [ править ]

^ Оппенгейм и Шафер, ^[1] стр. 147 (4.20), стр. 694 (10.1), а также Прандони и Веттерли, ^[2] стр. 255, (9.33), где: $x[n]\triangleq x(nT)={\tfrac {1}{T}}x[n],$ поэтому $X(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}X_{2\pi }(\omega ).$ Также $\omega \triangleq 2\pi fT,$ и $X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).$
^ Оппенгейм и Шафер, ^[1] стр. 551 (8.35), а также Прандони и Веттерли, ^[2]стр. 82, (4.43). С определениями : ${\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}X_{2\pi }(\omega ),$ $\omega \triangleq 2\pi fT,$ ${\tilde {X}}[k]\triangleq X[k],$ и $\delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T),$ это выражение отличается от ссылки в раз $2\pi$ потому что они потеряли его при переходе от 3-го шага к 4-му. В частности, DTFT $e^{-ian}$ в § Таблица дискретных преобразований Фурье имеет $2\pi$ фактор, который в ссылках опущен.
^ Оппенгейм и Шафер, ^[1] стр. 60, (2.169), а также Прандони и Веттерли, ^[2] стр. 122, (5.21)

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). «4.2, 8.4». Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-754920-2 . образцы преобразования Фурье апериодической последовательности x[n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные путем суммирования периодических реплик x[n].
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Прандони, Паоло; Веттерли, Мартин (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 72, 76. ISBN. 978-1-4200-7046-0 . Проверено 4 октября 2020 г. коэффициенты DFS для периодизованного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT.
^ Рао, Р. (2008). Сигналы и системы . Prentice-Hall Of India Pvt. Ограниченное. ISBN 9788120338593 .
^ «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB» .
^ Гумас, Чарльз Константин (июль 1997 г.). «Окно-предполагаемое БПФ обеспечивает широкий динамический диапазон и разрешение» . Новости индивидуальной инженерии и приборостроения : 58–64. Архивировано из оригинала 10 февраля 2001 г. {{cite journal}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
^ Крошер, RE; Рабинер, Л.Р. (1983). «7,2». Многоскоростная цифровая обработка сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 313–326. ISBN 0136051626 .
^ Ван, Хун; Лу, Юсинь; Ван, Сюэган (16 октября 2006 г.). «Канальный приемник с банком фильтров WOLA». 2006 Международная конференция CIE по радиолокации . Шанхай, Китай: IEEE. стр. 1–3. дои : 10.1109/ICR.2006.343463 . ISBN 0-7803-9582-4 . S2CID 42688070 .
^ Лайонс, Ричард Г. (июнь 2008 г.). «Хитрости DSP: создание практичного анализатора спектра» . ЭЭ Таймс . Проверено 20 февраля 2020 г. с меткой ссылки Однако обратите внимание, что он содержит структуру взвешенного перекрытия-добавления , которая неправильно переходит в метод Overlap-add .
^ Перейти обратно: ^а ^б Лиллингтон, Джон (март 2003 г.). «Сравнение архитектур широкополосного каналирования» (PDF) . Даллас: Международная конференция по обработке сигналов. п. 4 (рис. 7). S2CID 31525301 . Архивировано из оригинала (PDF) 8 марта 2019 г. Проверено 6 сентября 2020 г. Метод «Перекрытие и добавление веса», или WOLA, или его подмножество, «Многофазное ДПФ», становится все более популярным и, безусловно, очень эффективным там, где требуются большие, высококачественные банки фильтров.
^ Перейти обратно: ^а ^б Лиллингтон, Джон. «Обзор методов набора фильтров — радиочастотные и цифровые» (PDF) . Armms.org . Остров Уайт, Великобритания: Libra Design Associates Ltd., с. 11 . Проверено 6 сентября 2020 г. К счастью, существует гораздо более элегантное решение, как показано на рисунке 20 ниже, известное как многофазное или WOLA (взвешивание, перекрытие и сложение) БПФ.
^ Хохгюртель, Стефан (2013). «Эффективные реализации широкополосных БПФ-спектрометров высокого разрешения и их применение для исследования линий центра галактики APEX» (PDF) . hss.ulb.uni-bonn.de . Бонн: Рейнский Боннский университет имени Фридриха Вильгельма. стр. 26–27 . Проверено 6 сентября 2020 г. Чтобы выполнить M-кратный WOLA для N-точечного ДПФ, M·N реальных входных выборок a _j сначала умножаются на оконную функцию w _j того же размера.
^ Ченнамангалам, Джаянт (18 октября 2016 г.). «Техника банка многофазных фильтров» . Группа компаний КАСПЕР . Проверено 30 октября 2016 г.
^ Даль, Джейсон Ф. (6 февраля 2003 г.). Методы сглаживания времени для оценки спектра (доктор философии). Университет Бригама Янга . Проверено 31 октября 2016 г.
^ Линь, Юань-Пей; Вайдьянатан, П.П. (июнь 1998 г.). «Подход Кайзера к проектированию прототипов фильтров с косинусно-модулированными наборами фильтров» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 5 (6): 132–134. Бибкод : 1998ISPL....5..132L . дои : 10.1109/97.681427 . S2CID 18159105 . Проверено 16 марта 2017 г.
^ Харрис, Фредерик Дж. (24 мая 2004 г.). «9». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: PTR Prentice Hall. стр. 226–253. ISBN 0131465112 .
^ Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Бибкод : 1978IEEP..66...51H . CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID 426548 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р Проакис, Джон Г.; Манолакис, Дмитрий Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис-Холл Интернэшнл. Бибкод : 1996dspp.book.....P . ISBN 9780133942897 . sAcfAQAAIAAJ.
^ Рабинер, Лоуренс Р .; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., с. 59 (2,163). ISBN 978-0139141010 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Порат, Боаз (1996). Курс цифровой обработки сигналов . Джон Уайли и сыновья. стр. 27–29 и 104–105. ISBN 0-471-14961-6 .
Зиберт, Уильям М. (1986). Цепи, сигналы и системы . Серия MIT по электротехнике и информатике. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0262690950 .
Лайонс, Ричард Г. (2010). Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0137027415 .

[4] Когда зависимость от $T$ не важна, обычно ее заменяют на $1.$ Тогда $f$ имеет единицы измерения ( циклы/выборка ), называемые нормализованной частотой .

[5] Фактически уравнение 2 часто оправдывается следующим образом : ^[1]^{: стр.143} ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}$

[16] WOLA не следует путать с Overlap-add . методом кусочной свертки

[17] Пример WOLA: Файл: пример канала WOLA.png

[26] Это выражение получается следующим образом: ^[1]^{: стр. 168}
${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}$

[3] Оппенгейм и Шафер, ^[1] стр. 147 (4.20), стр. 694 (10.1), а также Прандони и Веттерли, ^[2] стр. 255, (9.33), где: $x[n]\triangleq x(nT)={\tfrac {1}{T}}x[n],$ поэтому $X(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}X_{2\pi }(\omega ).$ Также $\omega \triangleq 2\pi fT,$ и $X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).$

[7] Оппенгейм и Шафер, ^[1] стр. 551 (8.35), а также Прандони и Веттерли, ^[2]стр. 82, (4.43). С определениями : ${\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}X_{2\pi }(\omega ),$ $\omega \triangleq 2\pi fT,$ ${\tilde {X}}[k]\triangleq X[k],$ и $\delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T),$ это выражение отличается от ссылки в раз $2\pi$ потому что они потеряли его при переходе от 3-го шага к 4-му. В частности, DTFT $e^{-ian}$ в § Таблица дискретных преобразований Фурье имеет $2\pi$ фактор, который в ссылках опущен.

[24] Оппенгейм и Шафер, ^[1] стр. 60, (2.169), а также Прандони и Веттерли, ^[2] стр. 122, (5.21)

[Oppenheim-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). «4.2, 8.4». Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-754920-2 . образцы преобразования Фурье апериодической последовательности x[n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные путем суммирования периодических реплик x[n].

[Prandoni-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Прандони, Паоло; Веттерли, Мартин (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 72, 76. ISBN. 978-1-4200-7046-0 . Проверено 4 октября 2020 г. коэффициенты DFS для периодизованного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT.

[Rao-6] Рао, Р. (2008). Сигналы и системы . Prentice-Hall Of India Pvt. Ограниченное. ISBN 9788120338593 .

[Matlab-8] «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB» .

[Gumas-9] Гумас, Чарльз Константин (июль 1997 г.). «Окно-предполагаемое БПФ обеспечивает широкий динамический диапазон и разрешение» . Новости индивидуальной инженерии и приборостроения : 58–64. Архивировано из оригинала 10 февраля 2001 г. {{cite journal}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[Crochiere-10] Крошер, RE; Рабинер, Л.Р. (1983). «7,2». Многоскоростная цифровая обработка сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 313–326. ISBN 0136051626 .

[Wang-11] Ван, Хун; Лу, Юсинь; Ван, Сюэган (16 октября 2006 г.). «Канальный приемник с банком фильтров WOLA». 2006 Международная конференция CIE по радиолокации . Шанхай, Китай: IEEE. стр. 1–3. дои : 10.1109/ICR.2006.343463 . ISBN 0-7803-9582-4 . S2CID 42688070 .

[Lyons-12] Лайонс, Ричард Г. (июнь 2008 г.). «Хитрости DSP: создание практичного анализатора спектра» . ЭЭ Таймс . Проверено 20 февраля 2020 г. с меткой ссылки Однако обратите внимание, что он содержит структуру взвешенного перекрытия-добавления , которая неправильно переходит в метод Overlap-add .

[Lillington-13] Перейти обратно: ^а ^б Лиллингтон, Джон (март 2003 г.). «Сравнение архитектур широкополосного каналирования» (PDF) . Даллас: Международная конференция по обработке сигналов. п. 4 (рис. 7). S2CID 31525301 . Архивировано из оригинала (PDF) 8 марта 2019 г. Проверено 6 сентября 2020 г. Метод «Перекрытие и добавление веса», или WOLA, или его подмножество, «Многофазное ДПФ», становится все более популярным и, безусловно, очень эффективным там, где требуются большие, высококачественные банки фильтров.

[Lillington2-14] Перейти обратно: ^а ^б Лиллингтон, Джон. «Обзор методов набора фильтров — радиочастотные и цифровые» (PDF) . Armms.org . Остров Уайт, Великобритания: Libra Design Associates Ltd., с. 11 . Проверено 6 сентября 2020 г. К счастью, существует гораздо более элегантное решение, как показано на рисунке 20 ниже, известное как многофазное или WOLA (взвешивание, перекрытие и сложение) БПФ.

[Hochgürtel-15] Хохгюртель, Стефан (2013). «Эффективные реализации широкополосных БПФ-спектрометров высокого разрешения и их применение для исследования линий центра галактики APEX» (PDF) . hss.ulb.uni-bonn.de . Бонн: Рейнский Боннский университет имени Фридриха Вильгельма. стр. 26–27 . Проверено 6 сентября 2020 г. Чтобы выполнить M-кратный WOLA для N-точечного ДПФ, M·N реальных входных выборок a _j сначала умножаются на оконную функцию w _j того же размера.

[Chennamangalam-18] Ченнамангалам, Джаянт (18 октября 2016 г.). «Техника банка многофазных фильтров» . Группа компаний КАСПЕР . Проверено 30 октября 2016 г.

[Dahl-19] Даль, Джейсон Ф. (6 февраля 2003 г.). Методы сглаживания времени для оценки спектра (доктор философии). Университет Бригама Янга . Проверено 31 октября 2016 г.

[Lin-20] Линь, Юань-Пей; Вайдьянатан, П.П. (июнь 1998 г.). «Подход Кайзера к проектированию прототипов фильтров с косинусно-модулированными наборами фильтров» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 5 (6): 132–134. Бибкод : 1998ISPL....5..132L . дои : 10.1109/97.681427 . S2CID 18159105 . Проверено 16 марта 2017 г.

[Harrisbook-21] Харрис, Фредерик Дж. (24 мая 2004 г.). «9». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: PTR Prentice Hall. стр. 226–253. ISBN 0131465112 .

[Harris-22] Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Бибкод : 1978IEEP..66...51H . CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID 426548 .

[Proakis-23] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р Проакис, Джон Г.; Манолакис, Дмитрий Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис-Холл Интернэшнл. Бибкод : 1996dspp.book.....P . ISBN 9780133942897 . sAcfAQAAIAAJ.

[Rabiner-25] Рабинер, Лоуренс Р .; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., с. 59 (2,163). ISBN 978-0139141010 .

[1]

[а]

[А]

[Б]

[3]

[б]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[С]

[Д]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[с]

[18]

[И]

[2]

v т Это Цифровая обработка сигналов
Теория	Теория обнаружения Дискретный сигнал Теория оценки Теорема выборки Найквиста – Шеннона
Подполя	Обработка аудиосигнала Цифровая обработка изображений Обработка речи Статистическая обработка сигналов
Техники	Z-преобразование Расширенное z-преобразование Метод согласованного Z-преобразования Билинейное преобразование Преобразование с постоянной Q Дискретное косинусное преобразование (ДКП) Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Дискретное преобразование Фурье (DTFT) Импульсная инвариантность Интегральное преобразование Преобразование Лапласа Формула обращения Поста Помеченное преобразование Зак трансформирует
Выборка	Псевдонимы Сглаживающий фильтр Понижение разрешения Найквиста Частота / частота Передискретизация Квантование Частота выборки Недостаточная выборка Повышение дискретизации