Повышение дискретизации

В цифровой обработке сигналов , повышающая дискретизация — это термины , расширение и интерполяция связанные с процессом повторной дискретизации в многоскоростной системе цифровой обработки сигналов. Повышение дискретизации может быть синонимом расширения или может описывать весь процесс расширения и фильтрации ( интерполяции ). Когда повышающая дискретизация выполняется над последовательностью выборок сигнала или другой непрерывной функции, она дает аппроксимацию последовательности, которая была бы получена путем дискретизации сигнала с более высокой скоростью (или плотностью , как в случае фотографии). Например, если звук компакт-диска со скоростью 44 100 выборок в секунду подвергается повышающей дискретизации в 5/4 раза, результирующая частота дискретизации составит 55 125.

Рис. 1: Изображение одного скалярного произведения, дающего одну выходную выборку (зеленого цвета), для случая L=4, n=9, j=3. Между каждой парой входных выборок изображены три концептуальных «вставленных нуля». Исключение их из расчета — вот что отличает многоскоростной фильтр от моноскоростного фильтра.

Повышение дискретизации с помощью целочисленного коэффициента

Увеличение ставки в целочисленном коэффициенте $L$ можно объяснить как двухэтапный процесс с более эффективной эквивалентной реализацией :

1. Расширение : Создайте последовательность, $x_{L}[n],$ включающий оригинальные образцы, $x[n],$ разделены $L-1$ нули. Обозначение этой операции :   $x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.$
2. Интерполяция : сгладьте разрывы с помощью фильтра нижних частот , который заменяет нули.

В этом приложении фильтр называется интерполяционным фильтром , а его конструкция обсуждается ниже. Когда интерполяционный фильтр относится к типу КИХ , его эффективность можно повысить, поскольку нули не вносят никакого вклада в вычисления скалярного произведения . Их легко исключить как из потока данных, так и из вычислений. Расчет, выполняемый многоскоростным интерполяционным КИХ-фильтром для каждой выходной выборки, представляет собой скалярное произведение :

$y[j+nL]=\sum _{k=0}^{K}x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j=0,1,\ldots ,L-1,$ и для любого $n,$    

( Уравнение 1 )

где $h$ последовательность - это импульсная характеристика интерполяционного фильтра, а $K$ является наибольшим значением $k$ для чего $h[j+kL]$ не равно нулю.

показывать Вывод уравнения 1

The interpolation filter output sequence is defined by a convolution: $y[m]=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x_{L}[m-r]\cdot h[r]$ The only terms for which $x_{L}[m-r]$ can be non-zero are those for which $m-r$ is an integer multiple of $L.$  Thus:$m-r={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L-kL$  for integer values of $k,$  and the convolution can be rewritten as: ${\begin{aligned}y[m]&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{L}\left[{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L-kL\right]\cdot h{\Bigl [}\overbrace {m-{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L+kL} ^{r}{\Bigr ]}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left[{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }-k\right]\cdot h\left[m-{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L+kL\right]\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ j+nL}{\longrightarrow }}\quad y[j+nL]=\sum _{k=0}^{K}x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j=0,1,\ldots ,L-1\end{aligned}}$

В случае $L=2,$ функция $h$ может быть спроектирован как полуполосный фильтр , где почти половина коэффициентов равна нулю и не требует включения в скалярное произведение. Коэффициенты импульсной характеристики, снятые с интервалом $L$ образуют подпоследовательность, и существуют $L$ такие подпоследовательности (называемые фазами ) мультиплексируются вместе. Каждый из $L$ фазы импульсной характеристики фильтрует одни и те же последовательные значения $x$ поток данных и создание одного из $L$ последовательные выходные значения. В некоторых многопроцессорных архитектурах эти скалярные произведения выполняются одновременно, и в этом случае это называется многофазным фильтром.

Для полноты упомянем теперь, что возможная, но маловероятная реализация каждой фазы заключается в замене коэффициентов других фаз нулями в копии $h$ массив и обработать $x_{L}[n]$ последовательность в $L$ раз быстрее исходной скорости ввода. Затем $L-1$ каждого $L$ выходы равны нулю. Желаемый $y$ последовательность представляет собой сумму фаз, где $L-1$ члены каждой суммы тождественно равны нулю. Вычисление $L-1$ нули между полезными выходами фазы и добавление их к сумме фактически является прореживанием. Это тот же результат, что и вообще не вычислять их. Эта эквивалентность известна как вторая дворянская идентичность . Иногда его используют при выводах многофазного метода.

Проект интерполяционного фильтра

Рис. 2: Первый треугольник первого графика представляет собой преобразование Фурье X ( f ) непрерывной функции x(t) . Весь первый график изображает преобразование Фурье в дискретном времени последовательности x[n], сформированной путем выборки непрерывной функции x(t) с низкой скоростью 1/T . На втором графике показано применение фильтра нижних частот на более высокой скорости передачи данных, реализованное путем вставки нулевых выборок между исходными. И третий график — это DTFT выходного сигнала фильтра. В нижней таблице указана максимальная полоса пропускания фильтра в различных единицах частоты, используемых инструментами проектирования фильтров.

Позволять $X(f)$ быть преобразованием Фурье любой функции, $x(t),$ чьи выборки через некоторый интервал, $T,$ равный $x[n]$ последовательность. Тогда дискретное преобразование Фурье (DTFT) $x[n]$ последовательность представляет собой ряда Фурье представление суммирования периодического $X(f):$

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-i2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.$    

( Уравнение 2 )

Когда $T$ имеет единицы секунды, $f$ имеет единицы измерения - герцы (Гц) . Выборка $L$ раз быстрее (с интервалом $T/L$) увеличивает периодичность в раз $L:$

${\frac {L}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k\cdot {\frac {L}{T}}\right),$    

( Уравнение 3 )

что также является желаемым результатом интерполяции. Пример обоих этих распределений изображен на первом и третьем графиках рис. 2.  

Когда в дополнительные выборки вставляются нули, они уменьшают интервал выборки до $T/L.$ Опуская нулевые члены ряда Фурье, его можно записать как:

$\sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},$

что эквивалентно уравнению 2, независимо от значения $L.$ Эта эквивалентность изображена на втором графике рис.2. Единственное отличие состоит в том, что доступная цифровая полоса пропускания расширяется до $L/T$, что увеличивает количество периодических спектральных изображений в новой полосе пропускания. Некоторые авторы описывают это как новые частотные компоненты. На втором графике также изображен фильтр нижних частот и $L=3,$ что приводит к желаемому спектральному распределению (третий график). Полоса пропускания фильтра — это частота Найквиста исходного сигнала. $x[n]$ последовательность. В единицах Гц это значение равно ${\tfrac {0.5}{T}},$ но приложения для проектирования фильтров обычно требуют нормализованных единиц измерения . (см. рис. 2, таблицу)

Повышение дискретизации с помощью дробного коэффициента

Пусть L / M обозначает коэффициент повышающей дискретизации, L > M. где

1. раз Повышение дискретизации в L
2. Понижение дискретизации раз в M

Для повышения частоты дискретизации требуется фильтр нижних частот после увеличения скорости передачи данных, а для понижающей дискретизации требуется фильтр нижних частот перед децимацией. Следовательно, обе операции могут быть выполнены с помощью одного фильтра с меньшей из двух частот среза. Для случая L > M срез интерполяционного фильтра ${\tfrac {0.5}{L}}$ циклов на промежуточную выборку — нижняя частота.

См. также

• Понижение разрешения
• Многоскоростная цифровая обработка сигналов
• Полуполосный фильтр
• Передискретизация
• Выборка (теория информации)
• Сигнал (теория информации)
• Преобразование данных
• Интерполяция
• Формула суммирования Пуассона

Дальнейшее чтение

• «Домашняя страница цифрового аудио передискретизации» . (обсуждается метод интерполяции с ограниченной полосой пропускания)
• «Пример Matlab использования многофазных фильтров для интерполяции» .