Периодическое суммирование

В математике любая интегрируемая функция $s(t)$ можно преобразовать в периодическую функцию $s_{P}(t)$ с периодом P путем суммирования сдвигов функции $s(t)$ целыми кратными P . Это называется периодическим суммированием:

s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)

Когда $s_{P}(t)$ альтернативно представляется в виде ряда Фурье , коэффициенты Фурье равны значениям непрерывного преобразования Фурье , $S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},$ с интервалом в ${\tfrac {1}{P}}$ . ^[1]^[2] Это тождество является формой формулы суммирования Пуассона . Аналогично, ряд Фурье, коэффициенты которого являются выборками $s(t)$ через постоянные промежутки времени ( T ) эквивалентно периодическому суммированию $S(f),$ которое известно как преобразование Фурье с дискретным временем .

Периодическое суммирование дельта-функции Дирака представляет собой гребенку Дирака . Аналогично периодическое суммирование интегрируемой функции представляет собой ее свертку с гребенкой Дирака.

Факторпространство как домен

Если вместо этого периодическая функция представляется с использованием факторпространства области $\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )$ тогда можно написать:

\varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R}

\varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )~.

Аргументы $\varphi _{P}$ — это классы эквивалентности , действительных чисел которые имеют одну и ту же дробную часть при делении на $P$ .

Цитаты

^ Пинский, Марк (2001). Введение в анализ Фурье и вейвлеты . Брукс/Коул. ISBN 978-0534376604 .
^ Зигмунд, Антони (1988). Тригонометрическая серия (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521358859 .

См. также

[1] Пинский, Марк (2001). Введение в анализ Фурье и вейвлеты . Брукс/Коул. ISBN 978-0534376604 .

[2] Зигмунд, Антони (1988). Тригонометрическая серия (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521358859 .

[1]

[2]