Дробная часть

График дробной части действительных чисел

Дробная часть или десятичная часть неотрицательного действительного числа $x$ — это превышение целой части этого числа . Последний определяется как наибольшее целое число, не превышающее , называемое полом x x или $\lfloor x\rfloor$. Тогда дробную часть можно сформулировать как разность :

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0$.

Следовательно, для положительного числа, записанного в обычной позиционной системе счисления (например, двоичной или десятичной ), его дробная часть соответствует цифрам, появляющимся после точки счисления . Результатом является действительное число в полуоткрытом интервале [0, 1).

Для отрицательных чисел

Однако в случае отрицательных чисел существуют различные противоречивые способы распространить на них функцию дробной части: она либо определяется так же, как и для положительных чисел, т.е. $\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$ ( Грэм, Кнут и Паташник 1992 ), или как часть числа справа от точки счисления $\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$ ( Дайнтит 2004 ), или нечетной функцией :

$\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}$

с $\lceil x\rceil$ число не меньше x , также называемое потолком x как наименьшее целое . В результате мы можем получить, например, три разных значения дробной части всего лишь одного x : пусть это будет -1,3, его дробная часть будет равна 0,7 по первому определению, 0,3 по второму определению и -0,3. согласно третьему определению, результат которого также можно получить прямым путем,

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$.

The $x-\lfloor x\rfloor$ а определения «нечетной функции» допускают уникальное разложение любого действительного числа x на сумму его целой и дробной частей, где «целая часть» относится к $\lfloor x\rfloor$ или $\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$ соответственно. Эти два определения функции дробной части также обеспечивают идемпотентность .

Дробная часть, определяемая отличием от ⌊ ⌋, обычно обозначается фигурными скобками :

$\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .$

Связь с цепными дробями

Каждое действительное число может быть по существу однозначно представлено в виде непрерывной дроби , а именно как сумма его целой части и обратной его дробной части, которая записывается как сумма его целой части и обратной его дробной части, и так далее.

См. также

• Группа кругов
• Равнораспределенная последовательность
• Однопараметрическая группа
• Число Писо – Виджаярагавана
• Доказательство Пуссена
• Значение