Доказательство Пуссена

В теории чисел , разделе математики , доказательство Пуссена — это доказательство тождества, связанного с частью отношения дробной .

В 1838 году Питер Густав Лежен Дирихле доказал приближенную формулу среднего числа делителей всех чисел от 1 до n:

${\frac {\sum _{k=1}^{n}d(k)}{n}}\approx \ln n+2\gamma -1,$

где d представляет собой функцию делителя , а γ представляет константу Эйлера-Машерони .

В 1898 году Шарль Жан де ла Валле-Пуссен доказал, что если большое число n разделить на все простые числа до n, то средняя дробь, на которую частное не дотягивает до следующего целого числа, равна γ:

${\frac {\sum _{p\leq n}\left\{{\frac {n}{p}}\right\}}{\pi (n)}}\approx 1-\gamma ,$

где { x } представляет дробную часть x , а π представляет функцию подсчета простых чисел .Например, если мы разделим 29 на 2, мы получим 14,5, что меньше 15 на 0,5.

Ссылки

• Дирихле, Г.Л. « Об использовании бесконечных рядов в теории чисел », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 18 (1838), стр. 259–274. Цитируется в статье MathWorld «Функция делителя» ниже.
• де ла Валле Пуссен, К.-Ж. Безымянное общение. Анналы Брюссельского научного общества 22 (1898), стр. 84–90. Цитируется в статье MathWorld «Константа Эйлера-Машерони» ниже.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция делителя» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Эйлера-Машерони» . Математический мир .