Теория чисел

О книге Андре Вейля см. « Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра» .

Не путать с нумерологией .

Распределение простых чисел является центральным вопросом изучения теории чисел. Эта спираль Улама служит иллюстрацией этого, намекая, в частности, на условную независимость между тем, чтобы быть простым и быть значением некоторых квадратичных многочленов.

Теория чисел (или арифметика или высшая арифметика в старом использовании) — это раздел чистой математики, посвященный в первую очередь изучению целых чисел и арифметических функций . Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) сказал: «Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики». Теоретики чисел изучают простые числа , а также свойства математических объектов , построенных из целых чисел (например, рациональных чисел ) или определяемых как обобщения целых чисел (например, алгебраических целых чисел ).

Целые числа можно рассматривать либо сами по себе, либо как решения уравнений ( Диофантова геометрия ). Вопросы теории чисел часто лучше всего понять посредством изучения аналитических объектов (например, дзета-функции Римана ), которые каким-либо образом кодируют свойства целых, простых чисел или других теоретико-числовых объектов ( аналитическая теория чисел ). Можно также изучать действительные числа по отношению к рациональным числам, например, при приближении последних ( диофантово приближение ).

Старый термин теории чисел — арифметика . К началу двадцатого века ее заменила «теория чисел». (Слово « арифметика » широко используется для обозначения « элементарных вычислений »; оно также приобрело другие значения в математической логике , например, в арифметике Пеано , и в информатике , например, в арифметике с плавающей запятой .) Использование Термин «арифметика» в теории чисел вновь приобрел популярность во второй половине 20-го века, возможно, отчасти из-за французского влияния. В частности, арифметический обычно предпочтительнее прилагательного к теоретико-числовому .

История

Происхождение

Рассвет арифметики

Планшет Плимптон 322

Самая ранняя историческая находка арифметического характера — фрагмент таблицы: разбитая глиняная табличка Плимптон 322 ( Ларса, Месопотамия , ок. 1800 г. до н.э.) содержит список « пифагорейских троек », то есть целых чисел. $(a,b,c)$ такой, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Троек слишком много и они слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой . Заголовок над первой колонкой гласит: « Такилтум диагонали, вычтенной так, что ширина...»

Расположение таблицы предполагает что оно было построено посредством того, что на современном языке означает тождество

$\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},$

что подразумевается в рутинных древневавилонских упражнениях. Если был использован какой-то другой метод, тройки сначала были построены, а затем переупорядочены с помощью $c/a$, предположительно для реального использования в качестве "стола", например, с прицелом на приложения.

Неизвестно, что это были за приложения и могли ли они быть; Вавилонская астрономия , например, по-настоящему расцвела лишь позже. Вместо этого было высказано предположение, что таблица была источником числовых примеров для школьных задач.

Хотя вавилонская теория чисел — или то, что сохранилось от вавилонской математики и что можно так назвать, — состоит из этого единственного поразительного фрагмента, вавилонская алгебра (в школьном смысле слова « алгебра ») была исключительно хорошо развита. Поздние неоплатонические источники утверждают, что Пифагор учился математике у вавилонян. Гораздо более ранние источники утверждают, что Фалес и Пифагор путешествовали и учились в Египте .

Евклид IX 21–34, весьма вероятно, был пифагорейцем; это очень простой материал («нечетное число — четное», «если нечетное число измеряет [= делит] четное число, то оно также измеряет [= делит] его половину»), но это все, что нужно, чтобы докажи это ${\sqrt {2}}$ является иррациональным . Пифагорейские мистики придавали большое значение четному и нечетному. Открытие того, что ${\sqrt {2}}$ Иррациональность приписывают ранним пифагорейцам (до Теодора ). Открыв (в современных терминах), что числа могут быть иррациональными, это открытие, похоже, спровоцировало первый фундаментальный кризис в истории математики; его доказательство или его разглашение иногда приписывают Гиппасу , который был исключен или отделился от пифагорейской секты. Это заставило провести различие между числами (целыми и рациональными числами — предметами арифметики), с одной стороны, и длинами и пропорциями (которые мы отождествляли бы с действительными числами, рациональными или нет), с другой стороны.

Пифагорейская традиция говорила также о так называемых многоугольных или фигурных числах . Хотя квадратные числа , кубические числа и т. д. сейчас считаются более естественными, чем треугольные числа , пятиугольные числа и т. д., изучение сумм треугольных и пятиугольных чисел окажется плодотворным в период раннего Нового времени (с XVII по начало XIX вв.). ).

Мы не знаем ни одного четко арифметического материала ни в древнеегипетских , ни в ведических источниках, хотя в каждом из них есть некоторая алгебраическая составляющая. Китайская теорема об остатках появляется как упражнение в Суньцзы Суаньцзин (3, 4 или 5 век н.э.). (В решении Сунци умалчивается один важный шаг: эта проблема была позднее решена в – » Арьябхаты «Куттаке см. ниже .)

В китайской математике также присутствует некоторый числовой мистицизм. но, в отличие от пифагорейцев, оно, похоже, ни к чему не привело. Пифагора Подобно совершенным числам , магические квадраты из суеверия превратились в развлечение .

ранний эллинистический

Дополнительная информация: Древнегреческая математика.

За исключением нескольких фрагментов, математика классической Греции известна нам либо по сообщениям современных ему нематематиков, либо по математическим трудам раннего эллинистического периода . В случае теории чисел это означает, по большому счету, Платона и Евклида соответственно.

Хотя азиатская математика повлияла на греческое и эллинистическое обучение, похоже, что греческая математика также является местной традицией.

Евсевий , PE X, глава 4 упоминает Пифагора :

«Действительно, упомянутый Пифагор, усердно изучая мудрость каждого народа, посетил Вавилон, и Египет, и всю Персию, получая наставления от магов и жрецов: и вдобавок к этому он, как сообщается, учился у брахманов ( это индийские философы); и от одних он почерпнул астрологию, от других геометрию, а от третьих арифметику и музыку, и разные вещи от разных народов, и только от мудрецов Греции он ничего не получил, поскольку они были женаты на каком-то человеке. бедность и недостаток мудрости: так, напротив, он сам стал автором наставления греков в знаниях, которые он приобрел из-за границы».

Аристотель утверждал, что философия Платона близко следовала учению пифагорейцев. и Цицерон повторяет это утверждение: « Говорят, Платон изучил все пифагорейское».

Платон проявлял большой интерес к математике и четко различал арифметику и расчет. (Под арифметикой он имел в виду, отчасти, теоретизирование чисел, а не то, что стали означать арифметика или теория чисел .) Именно из одного из диалогов Платона, а именно «Теэтета », мы знаем, что Теодор доказал, что ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$иррациональны. Теэтет , как и Платон, был учеником Феодора; он работал над различением различных видов несоизмеримых величин и, таким образом, возможно, был пионером в изучении систем счисления . (Книга X « Начал» Евклида описана Паппом как во многом основанная на трудах Теэтета.)

Часть своих «Начал» Евклида Евклид посвятил простым числам и делимости, темам, которые однозначно принадлежат теории чисел и являются для нее основными (книги VII–IX «Начал» ). В частности, он дал алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух чисел ( алгоритм Евклида ; «Начала» , предложение VII.2) и первое известное доказательство бесконечности простых чисел ( «Начала» , предложение IX.20).

В 1773 году Лессинг опубликовал эпиграмму , которую он нашел в рукописи во время работы библиотекарем; что это письмо, отправленное Архимедом Эратосфену оно утверждало , . В эпиграмме предлагалось то, что стало известно как Задача Архимеда о скоте ; его решение (отсутствующее в рукописи) требует решения неопределенного квадратного уравнения (которое сводится к тому, что позже будет ошибочно названо уравнением Пелла ). Насколько нам известно, такие уравнения впервые были успешно рассмотрены индийской школой . Неизвестно, имел ли сам Архимед метод решения.

Диофант

Титульный лист издания 1621 года « Александрийского Арифметики» Диофанта , переведенного на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком.

известно очень мало О Диофанте Александрийском ; он, вероятно, жил в третьем веке нашей эры, то есть примерно через пятьсот лет после Евклида. Диофанта Шесть из тринадцати книг «Арифметики» сохранились в оригинальном греческом языке, а еще четыре сохранились в арабском переводе. Арифметика вида — это набор разработанных задач, задача которых неизменно состоит в том, чтобы найти рациональные решения системы полиномиальных уравнений, обычно $f(x,y)=z^{2}$ или $f(x,y,z)=w^{2}$. Таким образом, в настоящее время мы говорим о диофантовых уравнениях, когда говорим о полиномиальных уравнениях, для которых необходимо найти рациональные или целочисленные решения.

Можно сказать, что Диофант изучал рациональные точки , т. е. точки, координаты которых рациональны, — на кривых и алгебраических многообразиях ; однако, в отличие от греков классического периода, которые делали то, что мы сейчас называем базовой алгеброй в геометрических терминах, Диофант делал то, что мы сейчас называем базовой алгебраической геометрией в чисто алгебраических терминах. В современном языке Диофант нашел рациональную параметризацию разновидностей; то есть, учитывая уравнение вида (скажем) $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$его целью было найти (по сути) три рациональные функции $g_{1},g_{2},g_{3}$ такая, что для всех значений $r$ и $s$, параметр $x_{i}=g_{i}(r,s)$ для $i=1,2,3$ дает решение $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$

Диофант также изучал уравнения некоторых нерациональных кривых, для которых невозможна рациональная параметризация. Ему удалось найти некоторые рациональные точки на этих кривых ( эллиптических кривых , как оказалось, это, по-видимому, первое известное их появление) посредством того, что представляет собой конструкцию касательной: переведенную в координатную геометрию. (которого не существовало во времена Диофанта), его метод можно было бы представить как проведение касательной к кривой в известной рациональной точке, а затем нахождение другой точки пересечения касательной с кривой; эта другая точка — новая рациональная точка. (Диофант также прибегал к тому, что можно было бы назвать частным случаем секущей конструкции.)

Хотя Диофанта в основном интересовали рациональные решения, он предполагал некоторые результаты о целых числах, в частности, что каждое целое число представляет собой сумму четырех квадратов (хотя он никогда не утверждал этого явно).

Арьябхата, Брахмагупта, Бхаскара

Хотя греческая астрономия, вероятно, повлияла на индийское образование, вплоть до введения тригонометрии , похоже, что индийская математика в остальном является местной традицией; в частности, нет никаких свидетельств того, что «Начала» Евклида достигли Индии до 18 века.

Арьябхата (476–550 гг. н.э.) показал, что пары одновременных конгруэнтностей $n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}$, $n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}$ можно было решить методом, который он назвал кутака , или распылителем ; это процедура, близкая (обобщенная) к алгоритму Евклида, который, вероятно, был открыт независимо в Индии. Арьябхата, по-видимому, имел в виду применение астрономических вычислений.

Брахмагупта (628 г. н.э.) начал систематическое изучение неопределенных квадратных уравнений, в частности, ошибочно названного уравнения Пелла , которым, возможно, впервые заинтересовался Архимед и которое на Западе начали решать только во времена Ферма и Эйлера. Позже санскритские авторы последовали их примеру, используя техническую терминологию Брахмагупты. Общая процедура ( чакравала , или «циклический метод») решения уравнения Пелла была наконец найдена Джаядевой (цитируется в одиннадцатом веке; в противном случае его работа утеряна); самое раннее из сохранившихся изложений содержится в «Биджа-ганите» Бхаскары II (двенадцатый век).

Индийская математика оставалась практически неизвестной в Европе до конца восемнадцатого века; Работа Брахмагупты и Бхаскары была переведена на английский язык в 1817 году Генри Колбруком .

ислама

Дополнительная информация: Математика в средневековом исламе и золотом веке ислама.

Аль-Хайсам глазами Запада: на фронтисписе «Селенографии» Альхасен [ так в оригинале ] представляет знание через разум, а Галилей — знание через чувства.

В начале девятого века халиф Аль-Мамун заказал переводы многих греческих математических работ и, по крайней мере, одного санскритского труда (« Синдхинд» , который, возможно, или не может будь «Брахмаспхутасиддханта » Брахмагупты ). Главный труд Диофанта, «Арифметика» , был переведен на арабский язык Кустой ибн Лукой (820–912). Часть трактата аль-Фахри ( аль-Караджи , 953 – ок. 1029) в некоторой степени опирается на него. По словам Рашида Рошди, современник аль-Караджи Ибн аль-Хайсам знал то, что позже будет названо теоремой Вильсона .

Западная Европа в средние века

За исключением трактата о квадратах в арифметической прогрессии Фибоначчи , который путешествовал и учился в Северной Африке и Константинополе, в Западной Европе в Средние века не существовало никакой теории чисел, о которой можно было бы говорить. Ситуация в Европе начала меняться в эпоху позднего Возрождения благодаря возобновлению изучения произведений греческой античности. Катализатором послужили текстовые исправления и перевод на латынь « Арифметики » Диофанта .

современная

Ферма

Пьер де Ферма

Пьер де Ферма (1607–1665) никогда не публиковал своих сочинений; в частности, его работы по теории чисел почти полностью содержатся в письмах к математикам и в частных заметках на полях. В своих записках и письмах он почти не писал корректур — моделей в этой области у него не было.

За свою жизнь Ферма внес следующий вклад в эту область:

• Одним из первых интересов Ферма были совершенные числа (которые появляются у Евклида, «Начала IX») и дружественные числа ; эти темы привели его к работе над целочисленными делителями , которые с самого начала были среди тем переписки (с 1636 г.), которая познакомила его с математическим сообществом того времени.
• В 1638 году Ферма без доказательств заявил, что все целые числа могут быть выражены как сумма четырех квадратов или меньше.
• Маленькая теорема Ферма (1640 г.): если а не делится на простое число р , то $a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.$
• Если a и b взаимно просты , то $a^{2}+b^{2}$ не делится ни на одно простое число, соответствующее −1 по модулю 4; и каждое простое число, соответствующее 1 по модулю 4, можно записать в виде $a^{2}+b^{2}$. Эти два заявления также датируются 1640 годом; в 1659 году Ферма заявил Гюйгенсу, что доказал последнее утверждение методом бесконечного спуска .
• В 1657 году Ферма поставил задачу решения $x^{2}-Ny^{2}=1$как вызов английским математикам. Проблема была решена за несколько месяцев Уоллисом и Браункером. Ферма посчитал их решение верным, но отметил, что они предоставили алгоритм без доказательства (как это сделали Джаядева и Бхаскара, хотя Ферма не знал об этом). Он заявил, что доказательство можно найти путем бесконечного спуска.
• Ферма заявил и доказал (путем бесконечного спуска) в приложении к « Наблюдениям о Диофанте» (Obs. XLV). что $x^{4}+y^{4}=z^{4}$не имеет нетривиальных решений в целых числах. Ферма также упомянул своим корреспондентам, что $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ не имеет нетривиальных решений, и это также можно доказать бесконечным спуском. Первое известное доказательство принадлежит Эйлеру (1753 г.; действительно, путем бесконечного спуска).
• Ферма утверждал ( Великая теорема Ферма ), что показал, что не существует решений $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ для всех $n\geq 3$; это утверждение появляется в его аннотациях на полях его копии Диофанта.

Эйлер

Леонард Эйлер

Интерес Леонарда Эйлера (1707–1783) к теории чисел впервые возник в 1729 году, когда его друг, любитель Гольдбах указал ему на некоторые работы Ферма по этой теме. Это назвали «возрождением» современной теории чисел. после относительной неудачи Ферма в привлечении внимания современников к этой теме. Работа Эйлера по теории чисел включает следующее:

• Доказательства утверждений Ферма. Сюда входит малая теорема Ферма (обобщенная Эйлером на непростые модули); дело в том, что $p=x^{2}+y^{2}$ если и только если $p\equiv 1{\bmod {4}}$; начальная работа по доказательству того, что каждое целое число является суммой четырех квадратов (первое полное доказательство принадлежит Жозефу-Луи Лагранжу (1770 г.), вскоре улучшенное самим Эйлером ); отсутствие ненулевых целочисленных решений $x^{4}+y^{4}=z^{2}$ (подразумевается случай n=4 последней теоремы Ферма, случай n=3 которого Эйлер также доказал родственным методом).
• Уравнение Пелла , впервые ошибочно названное Эйлером. Он писал о связи между непрерывными дробями и уравнением Пелла.
• Первые шаги к аналитической теории чисел. В своей работе о суммах четырех квадратов, разделах , пятиугольных числах и распределении простых чисел Эйлер впервые применил то, что можно рассматривать как анализ (в частности, бесконечные ряды) в теории чисел. Поскольку он жил до развития комплексного анализа , большая часть его работ ограничивается формальными манипуляциями со степенными рядами . Тем не менее, он провёл некоторые очень примечательные (хотя и не вполне строгие) ранние работы над тем, что позже будет названо дзета-функцией Римана .
• Квадратичные формы . Следуя примеру Ферма, Эйлер продолжил исследование вопроса о том, какие простые числа можно выразить в виде $x^{2}+Ny^{2}$некоторые из них являются прообразом квадратичной взаимности .
• Диофантовы уравнения . Эйлер работал над некоторыми диофантовыми уравнениями рода 0 и 1. В частности, он изучал творчество Диофанта; он пытался ее систематизировать, но время для такой попытки еще не пришло — алгебраическая геометрия все еще находилась в зачаточном состоянии. Он заметил, что существует связь между диофантовыми задачами и эллиптическими интегралами . исследование которого он сам инициировал.

«Это была проблема, которую я, десятилетний ребенок, мог понять, и с того момента я знал, что никогда не отпущу ее. Я должен был ее решить». — Сэр Эндрю Уайлс о своем доказательстве Великой теоремы Ферма .

Лагранж, Лежандр и Гаусс

Арифметические исследования Карла Фридриха Гаусса, первое издание

Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) был первым, кто дал полные доказательства некоторых работ и наблюдений Ферма и Эйлера, например, теоремы четырех квадратов и базовой теории ошибочно названного «уравнения Пелля» (для которого алгоритмическое Решение было найдено Ферма и его современниками, а до них также Джаядевой и Бхаскарой II.) Он также изучал квадратичные формы в полной общности (в отличие от $mX^{2}+nY^{2}$) — определяют их отношение эквивалентности, показывают, как привести их в сокращенном виде и т. д.

Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) был первым, кто сформулировал закон квадратичной взаимности. Он также выдвинул гипотезу о том, что представляет собой теорему о простых числах и теорему Дирихле об арифметических прогрессиях . Он дал полное объяснение уравнения $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ и работал над квадратичными формами в направлении, позднее полностью развитом Гауссом. В преклонном возрасте он первым доказал Великую теорему Ферма для $n=5$ (завершение работы Питера Густава Лежена Дирихле и указание как ему, так и Софи Жермен ).

Карл Фридрих Гаусс

В своих Disquisitiones Arithmeticae (1798) Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал закон квадратичной взаимности и развил теорию квадратичных форм (в частности, определив их состав). Он также ввел некоторые основные обозначения ( сравнения ) и посвятил раздел вычислительным вопросам, включая тесты на простоту. Последний раздел «Рассуждений» установил связь между корнями единства и теорией чисел:

Теория деления круга... которая рассматривается в разд. 7 само по себе не принадлежит арифметике, но его принципы могут быть извлечены только из высшей арифметики.

Таким образом, Гаусс, возможно, совершил первый набег как на Эвариста Галуа работу , так и на алгебраическую теорию чисел .

Зрелость и разделение на подполя

Серьезное горе

Питер Густав Лежен Дирихле

Начиная с начала девятнадцатого века, постепенно происходили следующие события:

• Возникновение самосознания теории чисел (или высшей арифметики ) как области исследования.
• Развитие большей части современной математики, необходимой для базовой современной теории чисел: комплексный анализ , теория групп , теория Галуа, — сопровождаемое большей строгостью анализа и абстракцией в алгебре.
• Грубое подразделение теории чисел на ее современные подполя, в частности, на аналитическую и алгебраическую теорию чисел.

Можно сказать, что алгебраическая теория чисел началась с изучения взаимности и циклотомии , но по-настоящему приобрела свою актуальность с развитием абстрактной алгебры и ранней идеальной теории и оценки теории ; см. ниже. Обычной отправной точкой аналитической теории чисел является теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (1837 г.): доказательство которого ввело L-функции и включало некоторый асимптотический анализ и предельный процесс для действительной переменной. Первое использование аналитических идей в теории чисел фактически восходит к Эйлеру (1730-е годы). который использовал формальные степенные ряды и нестрогие (или неявные) ограничивающие аргументы. Использование комплексного работа Бернхарда Римана (1859) о дзета-функции ; анализа в теории чисел появилось позже: канонической отправной точкой стала теорема Якоби о четырех квадратах Предшествовавшая ей (1839 г.) принадлежит к первоначально другому направлению, занявшему к настоящему времени ведущую роль в аналитической теории чисел ( модулярные формы ).

История каждого подполя кратко рассмотрена в отдельном разделе ниже; более полную информацию см. в основной статье каждого подраздела. Многие наиболее интересные вопросы в каждом направлении остаются открытыми и активно прорабатываются.

Основные подразделения

Элементарная теория чисел

Термин «элементарный» обычно обозначает метод, который не использует комплексный анализ . Например, теорема о простых числах была впервые доказана с помощью комплексного анализа в 1896 году, но элементарное доказательство было найдено только в 1949 году Эрдешем и Сельбергом . Термин несколько неоднозначен: например, доказательства, основанные на сложных тауберовых теоремах (например, Винера–Икехары ), часто рассматриваются как весьма поучительные, но не элементарные, несмотря на использование анализа Фурье , а не комплексного анализа как такового. Здесь, как и везде, элементарное доказательство может оказаться для большинства читателей длиннее и сложнее, чем неэлементарное.

Теоретики чисел Пол Эрдеш и Теренс Тао в 1985 году, когда Эрдешу было 72 года, а Тао - 10.

Теория чисел имеет репутацию области, многие результаты которой могут быть изложены непрофессионалу. В то же время доказательства этих результатов не особенно доступны, отчасти потому, что диапазон используемых ими инструментов в математике необычайно широк.

Аналитическая теория чисел

Основная статья: Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ( s ) в комплексной плоскости . Цвет точки s дает значение ζ( s значения ): темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок дает аргумент .

Действие модулярной группы на верхней полуплоскости . Область, выделенная серым цветом, представляет собой стандартную фундаментальную область .

Аналитическая теория чисел может быть определена

• с точки зрения его инструментов, как изучение целых чисел с помощью инструментов реального и комплексного анализа; или
• с точки зрения его проблем, как исследование в рамках теории чисел оценок размера и плотности, а не тождеств.

Некоторые предметы обычно считаются частью аналитической теории чисел, например, теория сит . лучше описываются вторым, а не первым определением: например, в некоторых теориях сита мало используется анализ, тем не менее, оно принадлежит аналитической теории чисел.

Ниже приведены примеры проблем аналитической теории чисел: теорема о простых числах , гипотеза Гольдбаха (или гипотеза о простых числах-близнецах , или гипотезы Харди–Литтлвуда ), проблема Варинга и гипотеза Римана . Одними из важнейших инструментов аналитической теории чисел являются метод окружности , методы решета и L-функции (вернее, исследование их свойств). Теория модульных форм (и, в более общем смысле, автоморфных форм ) также занимает все более центральное место в арсенале аналитической теории чисел.

Можно задавать аналитические вопросы об алгебраических числах и использовать аналитические средства для ответа на такие вопросы; таким образом пересекаются алгебраическая и аналитическая теории чисел. Например, можно определить простые идеалы (обобщения простых чисел в области алгебраических чисел) и спросить, сколько существует простых идеалов до определенного размера. На этот вопрос можно ответить посредством изучения дзета-функций Дедекинда , которые являются обобщениями дзета-функции Римана , ключевого аналитического объекта, лежащего в основе предмета. Это пример общей процедуры в аналитической теории чисел: получение информации о распределении последовательности ( здесь простых идеалов или простых чисел) из аналитического поведения соответствующим образом построенной комплекснозначной функции.

Алгебраическая

Основная статья: Алгебраическая теория чисел

Алгебраическим числом называется любое комплексное число , являющееся решением некоторого полиномиального уравнения. $f(x)=0$с рациональными коэффициентами; например, каждое решение $x$ из $x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0$(скажем) — алгебраическое число. Поля алгебраических чисел также называют полями алгебраических чисел или сокращенно числовыми полями . Алгебраическая теория чисел изучает поля алгебраических чисел. Таким образом, аналитическая и алгебраическая теории чисел могут пересекаться и действительно пересекаются: первая определяется ее методами, вторая - объектами исследования.

Можно утверждать, что простейший вид числовых полей (а именно, квадратичные поля) уже изучался Гауссом, поскольку обсуждение квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae может быть переформулировано в терминах идеалов и нормы в квадратичных полях. ( Квадратичное поле состоит из всех числа вида $a+b{\sqrt {d}}$, где $a$ и $b$ являются рациональными числами и $d$— фиксированное рациональное число, квадратный корень которого не является рациональным.) XI века В этом отношении метод чакравалы представляет собой — в современных терминах — алгоритм поиска единиц действительного поля квадратичных чисел. Однако ни Бхаскара, ни Гаусс не знали о числовых полях как таковых.

Основы предмета в том виде, в каком мы его знаем, были заложены в конце девятнадцатого века, когда идеальные числа , теория идеалов и теория оценки были разработаны ; это три взаимодополняющих способа решения проблемы отсутствия уникальной факторизации в полях алгебраических чисел. (Например, в поле, порожденном рациональными числами и ${\sqrt {-5}}$, номер $6$ можно факторизовать как $6=2\cdot 3$ и $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$; все $2$, $3$, $1+{\sqrt {-5}}$ и $1-{\sqrt {-5}}$ неприводимы и, таким образом, в наивном смысле аналогичны простым числам среди целых чисел.) Первоначальный толчок к развитию идеальных чисел (Куммером ) , по-видимому, исходил от изучения высших законов взаимности, то есть обобщения квадратичной взаимности .

Числовые поля часто изучаются как расширения меньших числовых полей: поле L называется расширением поля K если L содержит K. , (Например, комплексные числа C являются расширением действительных чисел R , а действительные числа R являются расширением рациональных чисел Q. ) Классификация возможных расширений данного числового поля — сложная и частично открытая проблема. Абелевы расширения, то есть расширения L поля K такие, что группа Галуа Gal( L / K ) группы L над K является абелевой группой — относительно хорошо изучены. Их классификация была предметом программы теории поля классов , которая была начата в конце 19 века (частично Кронекером и Эйзенштейном ) и осуществлена ​​в основном в 1900–1950 годах.

Примером активной области исследований в области алгебраической теории чисел является теория Ивасавы . Программа Ленглендса , один из основных нынешних крупномасштабных планов исследований в математике, иногда описывается как попытка обобщить теорию полей классов на неабелевы расширения числовых полей.

Диофантова геометрия

Основная статья: Диофантова геометрия

Центральная проблема диофантовой геометрии — определить, имеет ли диофантово уравнение решения и если да, то сколько. Принятый подход состоит в том, чтобы думать о решениях уравнения как о геометрическом объекте.

Например, уравнение с двумя переменными определяет кривую на плоскости. В более общем смысле уравнение или система уравнений с двумя или более переменными определяет кривую , поверхность или какой-либо другой подобный объект в n -мерном пространстве. В диофантовой геометрии задается вопрос, существуют ли рациональные точки (точки, все координаты которых являются рациональными) или целые точки (точки, все координаты которых являются целыми числами) на кривой или поверхности. Если такие точки есть, следующим шагом будет вопрос, сколько их и как они распределены. Основной вопрос в этом направлении состоит в том, существуют ли конечные или бесконечно много рациональных точек на данной кривой (или поверхности).

В уравнении Пифагора $x^{2}+y^{2}=1,$ мы хотели бы изучить его рациональные решения, то есть его решения $(x,y)$такие, что x и y оба рациональны. Это то же самое, что запросить все целочисленные решения. к $a^{2}+b^{2}=c^{2}$; любое решение последнего уравнения дает нам решение $x=a/c$, $y=b/c$бывшему. Это также то же самое, что запросить все точки с рациональными координатами на кривой, описываемой формулой $x^{2}+y^{2}=1$. (Эта кривая представляет собой круг радиуса 1 вокруг начала координат.)

Два примера эллиптической кривой , то есть кривой рода 1, имеющей хотя бы одну рациональную точку. (Любой граф можно рассматривать как срез тора в четырехмерном пространстве.)

Перефразирование вопросов об уравнениях в терминах точек на кривых оказывается удачным. Конечность или отсутствие числа рациональных или целых точек на алгебраической кривой, то есть рациональных или целочисленных решений уравнения. $f(x,y)=0$, где $f$является многочленом от двух переменных и, как оказывается, существенно зависит от рода кривой. Род можно определить следующим образом: разрешить переменные в $f(x,y)=0$быть комплексными числами; затем $f(x,y)=0$определяет двумерную поверхность в (проективном) четырехмерном пространстве (поскольку две комплексные переменные можно разложить на четыре действительные переменные, то есть четыре измерения). Если мы посчитаем количество отверстий (бубликов) на поверхности; мы называем это родом число $f(x,y)=0$. Другие геометрические понятия оказываются столь же важными.

Существует также тесно связанная область диофантовых приближений : учитывая число $x$, а затем выяснить, насколько хорошо оно может быть аппроксимировано рациональными числами. (Мы ищем приближения, которые хороши с точки зрения объема пространства, необходимого для записи рационального выражения: вызов $a/q$ (с $\gcd(a,q)=1$) хорошее приближение к $x$ если $|x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}$, где $c$ велика.) Этот вопрос представляет особый интерес, если $x$является алгебраическим числом. Если $x$не могут быть хорошо аппроксимированы, то некоторые уравнения не имеют целых или рациональных решений. Более того, некоторые понятия (особенно понятие высоты ) оказываются критически важными как в диофантовой геометрии, так и при изучении диофантовых приближений. Этот вопрос также представляет особый интерес в теории трансцендентных чисел : если число можно приблизить лучше, чем любое алгебраическое число, то оно является трансцендентным числом . Именно с помощью этого аргумента что π и e было показано, трансцендентны.

Диофантову геометрию не следует путать с геометрией чисел , которая представляет собой совокупность графических методов для ответа на некоторые вопросы алгебраической теории чисел. Арифметическая геометрия , однако, является современным термином, обозначающим почти ту же область, что и термин «Диофантова геометрия» . Термин «арифметическая геометрия» , возможно, используется чаще всего, когда кто-то хочет подчеркнуть связь с современной алгебраической геометрией (как, например, в теореме Фалтингса ), а не с методами диофантовых приближений.

Другие подполя

Области ниже датируются не ранее середины двадцатого века, даже если они основаны на более древнем материале. Например, как объясняется ниже, тема алгоритмов в теории чисел очень стара, в некотором смысле старше, чем концепция доказательства; в то же время современные исследования вычислимости датируются лишь 1930-ми и 1940-ми годами, а теория сложности вычислений — 1970-ми годами.

Вероятностная теория чисел

Основная статья: Вероятностная теория чисел

Большую часть вероятностной теории чисел можно рассматривать как важный частный случай изучения переменных, которые почти, но не совсем, взаимно независимы . Например, событие, когда случайное целое число от одного до миллиона делится на два, и событие, когда оно делится на три, почти независимы, но не совсем.

Иногда говорят, что вероятностная комбинаторика использует тот факт, что все, что происходит с вероятностью, большей, чем $0$должно случаться иногда; С такой же справедливостью можно сказать, что многие приложения вероятностной теории чисел основаны на том факте, что все необычное должно быть редким. Если можно показать, что определенные алгебраические объекты (скажем, рациональные или целочисленные решения некоторых уравнений) находятся в хвосте определенных разумно определенных распределений, из этого следует, что их должно быть немного; это очень конкретное невероятностное утверждение, вытекающее из вероятностного.

Иногда нестрогий вероятностный подход приводит к ряду эвристических алгоритмов и открытых проблем, в частности, к гипотезе Крамера .

Арифметическая комбинаторика

Основные статьи: Арифметическая комбинаторика и аддитивная теория чисел.

Если мы начнем с довольно «толстого» бесконечного множества $A$, содержит ли он много элементов в арифметической прогрессии: $a$, $a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b$, сказать? Можно ли записывать большие целые числа как суммы элементов $A$?

Эти вопросы характерны для арифметической комбинаторики . В настоящее время это объединяющаяся область; он включает в себя аддитивную теорию чисел (которая касается определенных очень специфических множеств $A$арифметического значения, такие как простые числа или квадраты) и, возможно, некоторые из геометрии чисел , а также некоторые быстро развивающиеся новые материалы. Его внимание к проблемам роста и распределения частично объясняет его развивающиеся связи с эргодической теорией , теорией конечных групп , теорией моделей и другими областями. термин аддитивная комбинаторика Также используется ; однако наборы $A$изучаются не наборы целых чисел, а скорее подмножества некоммутативных групп , для которых традиционно используется символ умножения, а не символ сложения; они также могут быть подмножествами колец , и в этом случае рост $A+A$ и $A$· $A$ можно сравнить.

Вычислительная

Основная статья: Вычислительная теория чисел

Сито Лемера — примитивный цифровой компьютер , используемый для поиска простых чисел и решения простых диофантовых уравнений.

Хотя слово «алгоритм» известно только некоторым читателям аль-Хорезми , тщательные описания методов решения старше доказательств: такие методы (то есть алгоритмы) так же стары, как любая известная математика — древнеегипетская, вавилонская, ведическая, китайская. — тогда как доказательства появились только у греков классического периода.

Ранний случай — это то, что мы сейчас называем алгоритмом Евклида. В своей базовой форме (а именно, как алгоритм вычисления наибольшего общего делителя ) оно появляется как Предложение 2 Книги VII в «Началах» вместе с доказательством правильности. Однако в том виде, который часто используется в теории чисел (а именно, как алгоритм поиска целочисленных решений уравнения $ax+by=c$или, что то же самое, для нахождения величин, существование которых гарантируется китайской теоремой об остатках ) впервые появляется в работах Арьябхаты (V–VI вв. н.э.) как алгоритм, называемый кутака («измельчитель»), без доказательство правильности.

Есть два основных вопроса: «Можем ли мы это вычислить?» и «Можем ли мы это быстро вычислить?» Любой может проверить, является ли число простым, а если нет, разбить его на простые множители; сделать это быстро – другое дело. Теперь мы знаем быстрые алгоритмы проверки простоты , но, несмотря на большую работу (как теоретическую, так и практическую), по-настоящему быстрого алгоритма факторизации не существует.

Сложность вычислений может оказаться полезной: современные протоколы шифрования сообщений (например, RSA ) зависят от функций, которые известны всем, но чьи обратные значения известны только избранным, и для их вычисления потребуется слишком много времени. выйти самостоятельно. Например, эти функции могут быть такими, что их обратные значения можно вычислить только в том случае, если определенные большие целые числа факторизуются. Хотя известно множество сложных вычислительных задач, выходящих за рамки теории чисел, большинство работающих в настоящее время протоколов шифрования основаны на сложности нескольких теоретико-числовых задач.

Некоторые вещи вообще невозможно вычислить; на самом деле это можно доказать в некоторых случаях. Например, в 1970 году в качестве решения десятой проблемы Гильберта было доказано , что не существует машины Тьюринга , которая могла бы решить все диофантовы уравнения. В частности, это означает, что для заданного вычислимо перечислимого набора аксиом существуют диофантовы уравнения, для которых нет доказательства, исходя из аксиом, имеет ли набор уравнений целочисленные решения или нет. (Мы обязательно будем говорить о диофантовых уравнениях, для которых не существует целочисленных решений, поскольку, если дано диофантово уравнение, имеющее хотя бы одно решение, само решение доказывает факт существования решения. Мы не можем доказать, что конкретное диофантово уравнение имеет хотя бы одно решение. уравнение именно такого типа, поскольку это означало бы, что оно не имеет решений.)

Приложения

Теоретик чисел Леонард Диксон (1874–1954) сказал: «Слава Богу, что теория чисел не запятнана никакими приложениями». Такая точка зрения больше не применима к теории чисел. В 1974 году Дональд Кнут сказал, что «практически каждая теорема в элементарной теории чисел возникает естественным и мотивированным образом в связи с проблемой заставить компьютеры выполнять высокоскоростные численные вычисления». Элементарная теория чисел преподается на курсах дискретной математики для специалистов по информатике ; с другой стороны, теория чисел также имеет приложения к непрерывному численному анализу .

Теория чисел в настоящее время имеет несколько современных приложений, охватывающих различные области, такие как:

• Криптография : схемы шифрования с открытым ключом, такие как RSA, основаны на сложности разложения больших составных чисел на их простые множители.
• Информатика : Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который используется для эффективного вычисления дискретного преобразования Фурье, имеет важные применения в обработке сигналов и анализе данных.
• Физика : Гипотеза Римана связана с распределением простых чисел и изучалась на предмет ее потенциальных последствий в физике.
• Коды с исправлением ошибок . Теория конечных полей и алгебраическая геометрия использовались для построения эффективных кодов с исправлением ошибок.
• Связь. Проектирование сотовых телефонных сетей требует знания теории модульных форм , которая является частью аналитической теории чисел.
• Изучение музыкальных гамм: концепция « равной темпераментности », лежащая в основе большинства современной западной музыки, предполагает деление октавы на 12 равных частей. Это изучалось с использованием теории чисел и, в частности, свойств корня 12-й степени из 2.

Призы

Американское математическое общество присуждает премию Коула в области теории чисел . Более того, теория чисел — одна из трёх математических дисциплин, удостоенных премии Ферма .

См. также

• Поле алгебраической функции
• Конечное поле
• р-то есть число
• Список теоретико-числовых алгоритмов

Источники

• Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел . Тексты бакалавриата по математике . Спрингер . ISBN  978-0-387-90163-3 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Апостол, Том М. (1981). «Введение в теорию чисел (обзор Харди и Райта)». Математические обзоры (MathSciNet) . Американское математическое общество . МР   0568909 . (нужна подписка)
• Беккер, Оскар (1936). «Учение о четах и ​​нечетностях в девятой книге евклидовых элементов». Источники и исследования по истории математики, астрономии и физики . Отдел Б: Учеба (на немецком языке). 3 :533-553.
• Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Дом К. (1991). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли . ISBN  978-0-471-54397-8 . Издание 1968 года на archive.org
• Кларк, Уолтер Юджин (пер.) (1930). Арьябхатия Арьябхаты: древний индийский труд по математике и астрономии . Издательство Чикагского университета . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Коулбрук, Генри Томас (1817). Алгебра с арифметикой и измерением, с санскрита Брахмегупты и Бхаскары . Лондон: Дж. Мюррей . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Давенпорт, Гарольд ; Монтгомери, Хью Л. (2000). Мультипликативная теория чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 74 (переработанное 3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-0-387-95097-6 .
• Эдвардс, Гарольд М. (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и квадратичная взаимность». Журнал «Математика» . 56 (5): 285–291. дои : 10.2307/2690368 . JSTOR   2690368 .
• Эдвардс, Гарольд М. (2000) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 50 (перепечатка изд. 1977 г.). Спрингер Верлаг . ISBN  978-0-387-95002-0 .
• Ферма, Пьер де (1679). Varia Opera Mathematica (на французском и латыни). Тулуза: Жоаннис Печ . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Фриберг, Йоран (август 1981 г.). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, тройки Пифагора и уравнения параметров вавилонского треугольника» . История Математики . 8 (3): 277–318. дои : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
• фон Фриц, Курт (2004). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». В Кристианидисе, Дж. (ред.). Классика в истории греческой математики . Берлин: Клювер (Шпрингер). ISBN  978-1-4020-0081-2 .
• Гаусс, Карл Фридрих ; Уотерхаус, Уильям К. (пер.) (1966) [1801]. Арифметические рассуждения . Спрингер. ISBN  978-0-387-96254-2 .
• Голдфельд, Дориан М. (2003). «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 марта 2016 г. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Гольдштейн, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт (2007). «Книга в поисках дисциплины» . В Гольдштейне, К.; Шаппахер, Н.; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин и Гейдельберг: Springer. стр. 3–66. ISBN  978-3-540-20441-1 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Гранвилл, Эндрю (2008). «Аналитическая теория чисел» . В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-11880-2 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Порфир ; Гатри, К.С. (пер.) (1920). Жизнь Пифагора . Альпайн, Нью-Джерси: Platonist Press. Архивировано из оригинала 29 февраля 2020 г. Проверено 10 апреля 2012 г.
• Гатри, Кеннет Сильван (1987). Справочник и библиотека по Пифагору . Гранд-Рапидс, Мичиган: Phanes Press. ISBN  978-0-933999-51-0 .
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-921986-5 . МР   2445243 .
• Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики, Том 1: От Фалеса до Евклида . Оксфорд: Кларендон Пресс . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Хопкинс, JFP (1990). «Географическая и навигационная литература». Ин Янг, MJL; Лэтэм, доктор медицинских наук; Сержант, РБ (ред.). Религия, обучение и наука в период Аббасидов . Кембриджская история арабской литературы. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-32763-3 .
• Хаффман, Карл А. (8 августа 2011 г.). «Пифагор» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2011 г.). Архивировано из оригинала 2 декабря 2013 года . Проверено 7 февраля 2012 г.
• Иванец, Хенрик ; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3633-0 .
• Платон ; Джоуэтт, Бенджамин (пер.) (1871). Теэтет . Архивировано из оригинала 9 июля 2011 г. Проверено 10 апреля 2012 г.
• Лам, Лей Йонг ; Анг, Тянь Се (2004). Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае (переработанное издание). Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-238-696-0 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Лонг, Кэлвин Т. (1972). Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.). Лексингтон, Вирджиния: DC Heath and Company . LCCN   77171950 .
• Махони, MS (1994). Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601–1665 (Переиздание, 2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-03666-3 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Милн, Дж.С. (18 марта 2017 г.). «Алгебраическая теория чисел» . Проверено 7 апреля 2020 г.
• Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел: I, Классическая теория . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84903-6 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Морроу, Гленн Рэймонд (пер., ред.); Прокл (1992). Комментарий к первой книге «Начал» Евклида . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-02090-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Мамфорд, Дэвид (март 2010 г.). «Математика в Индии: рецензия Дэвида Мамфорда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (3): 387. ISSN   1088-9477 . Архивировано (PDF) из оригинала 06 мая 2021 г. Проверено 28 апреля 2021 г.
• Нойгебауэр, Отто Э. (1969). Точные науки в древности . Том. 9. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-22332-2 .
• Нойгебауэр, Отто Э .; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945). Математические клинописные тексты . Американский восточный сериал. Том. 29. Американское восточное общество и др. .
• О'Грейди, Патрисия (сентябрь 2004 г.). «Фалес Милетский» . Интернет-энциклопедия философии. Архивировано из оригинала 6 января 2016 года . Проверено 7 февраля 2012 г.
• Пингри, Дэвид ; Якуб, ибн Тарик (1968). «Фрагменты произведений Якуба ибн Тарика». Журнал ближневосточных исследований . 26 .
• Пингри, Д. ; аль-Фазари (1970). «Фрагменты произведений аль-Фазари». Журнал ближневосточных исследований . 28 .
• Плофкер, Ким (2008). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-12067-6 .
• Цянь, Баокун, изд. (1963). Суаньцзин ши шу (Десять математических классиков) китайском языке: Чжунхуа шуцзюй). Архивировано 28 февраля . 2013 г. ( на
• Рашид, Рошди (1980). «Ибн аль-Хайсам и теория Вильсона». Архив истории точных наук . 22 (4): 305–321. дои : 10.1007/BF00717654 . S2CID   120885025 .
• Робсон, Элеонора (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» (PDF) . История Математики . 28 (3): 167–206. дои : 10.1006/hmat.2001.2317 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 октября 2014 г.
• Сахау, Эдуард ; Бируни, Мухаммад ибн Ахмад (1888). Индия Альберуни: отчет о религии, философии, литературе, географии, хронологии, астрономии и астрологии Индии, Том. 1 . Лондон: Кеган, Пол, Тренч, Трюбнер и компания Архивировано из оригинала 03 марта 2016 г. . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики . Тексты для аспирантов по математике. Том. 7. Спрингер . ISBN  978-0-387-90040-7 .
• Смит, Делавэр (1958). История математики, Том I. Нью-Йорк: Dover Publications.
• Таннери, Пол ; Ферма, Пьер де (1891). Чарльз Генри (ред.). Работы Ферма . (4 тома) (на французском и латыни). Париж: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Том 1 Том 2 Том 3 Том 4 (1912)
• Ямвлих ; Тейлор, Томас (пер.) (1818). Жизнь Пифагора или Пифагорова жизнь . Лондон: Дж. М. Уоткинс. Архивировано из оригинала 21 июля 2011 г. {{cite book}}: CS1 maint: bot: статус исходного URL неизвестен ( ссылка ) Другие издания см. в Iamblichus#Список изданий и переводов.
• Трусделл, Калифорния (1984). «Леонард Эйлер, высший геометр» . В Хьюлетте, Джон (пер.) (ред.). Леонард Эйлер, Элементы алгебры (переиздание 1840 г., 5-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-96014-2 . В этом предварительном просмотре книги « Элементы алгебры» в Google отсутствует введение Трусделла, которое перепечатано (слегка сокращено) в следующей книге:
• Трусделл, Калифорния (2007). «Леонард Эйлер, высший геометр» . В Данэме, Уильям (ред.). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве . Второй том празднования 300-летия Эйлера МАА. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-558-4 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Варадараджан, В.С. (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3580-7 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Варди, Илан (апрель 1998 г.). «Проблема скота Архимеда» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 105 (4): 305–319. CiteSeerX   10.1.1.383.545 . дои : 10.2307/2589706 . JSTOR   2589706 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 июля 2012 г. Проверено 8 апреля 2012 г.
• ван дер Варден, Бартель Л .; Дрезден, Арнольд (транс) (1961). Пробуждение науки . Полный. 1 или 2. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета .
• Вейль, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю – от Хаммурапи до Лежандра . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-3141-3 . Проверено 28 февраля 2016 г.

• Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Теория чисел », которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не под лицензией GFDL .

Дальнейшее чтение

Два наиболее популярных введения в эту тему:

• Г.Х. Харди ; Э.М. Райт (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (ред. Д. Р. Хита-Брауна и Дж. Х. Сильвермана, 6-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-921986-5 . Проверено 2 марта 2016 г.
• Виноградов, И.М. (2003) [1954]. Элементы теории чисел (переиздание изд. 1954 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications.

Книга Харди и Райта представляет собой всеобъемлющую классику, хотя ее ясность иногда страдает из-за того, что авторы настаивают на элементарных методах ( Апостол 1981 ). Главная привлекательность Виноградова состоит в комплексе проблем, которые быстро приводят к собственным исследовательским интересам Виноградова; сам текст очень простой и близкий к минимальному. Другие популярные первые знакомства:

• Иван М. Нивен ; Герберт С. Цукерман; Хью Л. Монтгомери (2008) [1960]. Введение в теорию чисел (перепечатка 5-го изд. 1991 г.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-81-265-1811-1 . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Кеннет Х. Розен (2010). Элементарная теория чисел (6-е изд.). Образование Пирсона . ISBN  978-0-321-71775-7 . Проверено 28 февраля 2016 г.

Популярные варианты второго учебника включают:

• Боревич А.И .; Шафаревич, Игорь Робертович (1966). Теория чисел . Чистая и прикладная математика. Том. 20. Бостон, Массачусетс: Академик Пресс . ISBN  978-0-12-117850-5 . МР   0195803 .
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики . Тексты для аспирантов по математике . Том. 7. Спрингер. ISBN  978-0-387-90040-7 .

Внешние ссылки

• Запись о теории чисел в математической энциклопедии
• Теория чисел Интернет