Бруновое сито

В области теории чисел ( сито Бруна также называемое чистым ситом Бруна ) — это метод оценки размера «просеянных наборов» положительных целых чисел , которые удовлетворяют набору условий, которые выражаются с помощью сравнений . Она была разработана Вигго Брюном в 1915 году, а затем обобщена на фундаментальную лемму теории решета другими авторами .

Описание [ править ]

С точки зрения теории сит сито Брюна относится к комбинаторному типу ; то есть это результат тщательного использования принципа включения-исключения .

Позволять $A$ — конечное множество натуральных чисел. Позволять $P$ быть некоторым набором простых чисел . Для каждого простого числа $p$ в $P$ , позволять $A_{p}$ обозначим множество элементов $A$ которые делятся на $p$ . Это обозначение можно распространить на другие целые числа. $d$ которые являются произведениями различных простых чисел в $P$ . В этом случае определите $A_{d}$ быть пересечением множеств $A_{p}$ для простых факторов $p$ из $d$ . Наконец, определите $A_{1}$ быть $A$ сам. Позволять $z$ быть произвольным положительным действительным числом. Целью сита является оценка:

S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },

где обозначение $|X|$ обозначает мощность множества $X$ , что в данном случае представляет собой просто количество элементов. Предположим, кроме того, что $|A_{d}|$ может быть оценено

\left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},

где

w

— некоторая мультипликативная функция , и

R_{d}

это некоторая функция ошибки. Позволять

W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).

Чистое сито Брюна [ править ]

Эта формулировка взята из Кожокару и Мурти , теорема 6.1.2. Используя обозначения, принятые выше, предположим, что

$|R_{d}|\leq w(d)$ для любого квадратабесплатно $d$ состоит из простых чисел $P$ ;
$w(p)<C$ для всех $p$ в $P$ ;
Существуют константы $C,D,E$ такая, что для любого положительного действительного числа $z$ , $\sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.$

Затем

S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)

где $X$ является кардиналом $A$ , $b$ любое положительное целое число, а $O$ вызывает большую нотацию O. В частности, позволяя $x$ обозначаем максимальный элемент в $A$ , если $\log z<c\log x/\log \log x$ для достаточно небольшого $c$ , затем

S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).

Приложения [ править ]

Теорема Брюна : сумма обратных чисел-близнецов сходится;
Теорема Шнирельмана : каждое четное число является суммой не более $C$ простые числа (где $C$ можно принять равным 6);
Существует бесконечно много пар целых чисел, отличающихся на 2, где каждый член пары является произведением не более 9 простых чисел;
Каждое четное число представляет собой сумму двух чисел, каждое из которых является произведением не более 9 простых чисел.

Последние два результата были заменены теоремой Чена , а второй — слабой гипотезой Гольдбаха ( $C=3$ ).

Ссылки [ править ]

Вигго Брун (1915). «О законе Гольдбаха и числе пар простых чисел». Архив математики и естествознания . Б34 (8).
Вигго Браун (1919). "Ряд ${\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots$ где знаменатели являются «простыми числами-близнецами», сходится или конечен». Bulletin des Sciences Mathématiques . 43 : 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01 .
Алина Кармен Кожокару; М. Рам Мурти (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета. стр. 80–112. ISBN 0-521-61275-6 .
Джордж Гривз (2001). Сита в теории чисел . Итоги математики и ее границы (3-я серия). Том 43. Спрингер Верлаг. стр. 71–101. ISBN 3-540-41647-1 .
Хейни Хальберштам ; HE Richert (1974). Ситовые методы . Академическая пресса . ISBN 0-12-318250-6 .
Кристофер Хули (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-20915-3 . .