Твин Прайм

Простое число-близнец — это простое число , которое на 2 меньше или на 2 больше, чем другое простое число, например любой член пары простых чисел-близнецов $(17, 19)$ или $(41, 43)$ . Другими словами, простое число-близнец — это простое число, у которого разница между простыми числами равна двум. Иногда термин «простые числа-близнецы» используется для обозначения пары простых чисел-близнецов; альтернативное название — простой близнец или простая пара .

Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере того, как изучаются большие диапазоны, в соответствии с общей тенденцией промежутков между соседними простыми числами становиться больше по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза простых чисел-близнецов ) или существует наибольшая пара. Прорыв ^[1] Работа Итана Чжана в 2013 году, а также работа Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того , что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время эта проблема остается нерешенной. ^[2]

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов?

(еще нерешенные задачи по математике)

Свойства [ править ]

Обычно пара $(2, 3)$ не считается парой простых чисел-близнецов. ^[3]Поскольку 2 — единственное четное простое число, эта пара — единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы расположены как можно ближе к любым другим простым числам.

Первые несколько пар простых чисел-близнецов

(3, 5), (5, 7), (11, 13),

(17, 19), (29, 31), (41, 43),

(59, 61), (71, 73), (101 , 103),

(107, 109), (137, 139), ...

OEIS : A077800 .

Пять — единственное простое число, принадлежащее двум парам, поскольку каждая пара простых чисел-близнецов больше $(3, 5)$ имеет вид $(6n-1,6n+1)$ для некоторого натурального числа $n$ ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. ^[4] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12.

Теорема Брюна [ править ]

В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных чисел-близнецов сходится . ^[5]Этот знаменитый результат, названный теоремой Брюна , был первым применением сита Брюна и помог положить начало развитию современной теории сита . Современную версию аргумента Брюна можно использовать, чтобы показать, что число простых чисел-близнецов меньше $N$ не превышает

{\frac {CN}{(\log N)^{2}}}

для некоторой абсолютной константы $C$ > 0. ^[6] Фактически, оно ограничено сверху

{\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],

где

C_{2}

— константа простого числа близнецов (чуть меньше 2/3), приведенная ниже . ^[7]

Гипотеза о простых числах-близнецах [ править ]

был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, на протяжении многих лет . В этом состоит содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p + 2$ также является простым. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для каждого натурального числа $k$ существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p + 2 k$ также является простым. ^[8] Случай гипотезы $k$ = 1 де Полиньяка - это гипотеза о простых числах-близнецах.

Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди-Литтлвуда (см. ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .

17 апреля 2013 года Итан Чжан объявил о доказательстве того, что для некоторого целого числа $N$ , меньшего 70 миллионов, существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на $N$ . ^[9] Статья Чжана была принята в начале мая 2013 года. ^[10] Теренс Тао Впоследствии предложил совместную работу над проектом Polymath Project по оптимизации границы Чжана. ^[11]

По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после заявления Чжана, это количество было сокращено до 246. ^[12]Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, который был проще, чем подход Чжана, и был открыт независимо Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао . Этот второй подход также дал границы наименьшего $f (m),$ необходимые для того, чтобы гарантировать, что бесконечно много интервалов ширины $f (m)$ содержат по крайней мере $m$ простых чисел. Более того (см. также следующий раздел), предполагая гипотезу Эллиотта – Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт Polymath Project утверждает, что оценка равна 12 и 6 соответственно. ^[12]

Усиление гипотезы Гольдбаха , если оно будет доказано, также докажет существование бесконечного числа простых чисел-близнецов, а также существование нулей Зигеля .

чем гипотеза о простых числах- близнецах Другие теоремы , более слабые ,

В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа $c < 1$ и бесконечное число простых чисел $p$ таких, что $p' - p < c ln p$ , где $p'$ обозначает следующее простое число после $p$ . Это означает, что мы можем найти бесконечное множество интервалов, содержащих два простых числа $(p, p'),$ если мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размерах по мере перехода к все большим и большим простым числам. Здесь «расти медленно» означает, что длина этих интервалов может расти логарифмически . Этот результат последовательно улучшался; в 1986 году Хельмут Майер константу $c <0,25$ показал, что можно использовать . В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константу можно улучшить до $c = 0,085786...$ . В 2005 году Голдстон , Пинц и Йылдырым установили, что $c$ можно выбрать сколь угодно малым: ^[13]^[14] то есть

\liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.

С другой стороны, этот результат не исключает того, что интервалов, содержащих два простых числа, не может быть бесконечно много, если мы позволяем интервалам только увеличиваться в размерах, как, например, $c ln ln p$ .

Приняв гипотезу Эллиотта-Хальберштама или несколько более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много $n$ таких, что по крайней мере два из $n$ , $n + 2$ , $n + 6$ , $n + 8$ , $n + 12$ , $n + 18$ или $n + 20$ — простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа $n$ по крайней мере два из $n$ , $n + 2$ , $n + 4$ и $n + 6$ являются простыми.

Результат Итан Чжана ,

\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},

является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырыма. Оптимизация границы Чжана в рамках проекта Polymath и работа Мейнарда уменьшили границу: нижний предел составляет не более 246. ^[15]^[16]

Предположения [ править ]

гипотеза Харди Литтлвуда Первая -

Первая гипотеза Харди-Литтлвуда (названная в честь Г.Х. Харди и Джона Литтлвуда ) представляет собой обобщение гипотезы о простых числах-близнецах. Он касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Позволять $\pi _{2}(x)$ обозначаем количество простых чисел $p ⩽ x$ таких, что $p + 2$ также является простым. Определим константу простого близнеца $C 2$ как ^[17]

C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,}  \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .

(Здесь произведение распространяется на все простые числа

p \geq 3.

) Тогда частным случаем первой гипотезы Харди-Литтлвуда является то, что

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}

в том смысле, что частное двух выражений стремится к 1, когда

x

приближается к бесконечности. ^[6] (Второе ~ не является частью гипотезы и доказывается интегрированием по частям .)

Гипотезу можно обосновать (но не доказать), если предположить, что ${\tfrac {1}{\ln t}}$ описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, предложенное теоремой о простых числах, подразумевает гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в формуле для $\pi _{2}(x)$ выше.

Полностью общая первая гипотеза Харди–Литтлвуда о простых $k$ -наборах (здесь не приводится) означает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда неверна.

Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .

Гипотеза Полиньяка [ править ]

Гипотеза Полиньяка 1849 года гласит, что для каждого положительного четного числа $k$ существует бесконечно много последовательных пар простых чисел $p$ и $p'$ таких, что $p' - p = k$ (т.е. существует бесконечно много простых пробелов размера $k$ ). Случай $k = 2$ представляет собой гипотезу о простых числах-близнецах . Гипотеза еще не доказана и не опровергнута ни для какого конкретного значения $k$ , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (на данный момент неизвестного) значения $k$ . Действительно, если бы такого $k$ не существовало, то для любого положительного четного натурального числа $N$ существует не более чем конечное число $n$ таких, что $p_{n+1}-p_{n}=m$ для всех $m < N$ и, следовательно, для $достаточно большого n$ имеем $p_{n+1}-p_{n}>N,$ что противоречило бы результату Чжана. ^[8]

Большие простые числа-близнецы [ править ]

Начиная с 2007 года, два распределенных вычислений проекта , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордных по величине простых чисел-близнецов. По состоянию на август 2022 г. ^[update], на данный момент самая большая известная пара простых чисел-близнецов равна 2996863034895 × 2. ^1290000 ± 1 , ^[18]с 388 342 десятичными цифрами. Его обнаружили в сентябре 2016 года. ^[19]

Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов ниже 10. ¹⁸. ^[20]^[21]

Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 × 10. ¹⁵ показывает, что если число таких пар меньше $x$ равно $f (x) \cdot x /(log x) 2$ тогда $f (x)$ составляет около 1,7 для малых $x$ и уменьшается примерно до 1,3 по мере того, как $x$ стремится к бесконечности. предельное значение $f (x)$ равно удвоенной константе простых чисел-близнецов ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна Согласно гипотезе Харди-Литтлвуда, ).

Другие элементарные свойства [ править ]

Каждое третье нечетное число делится на 3, и поэтому никакие три последовательных нечетных числа не могут быть простыми, если только одно из них не равно 3. Таким образом, пять — единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Младший член пары по определению является простым числом Чена .

Это было доказано ^[22] что пара ( m , m + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда

4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.

Если m −4 или m +6 также простое число, то эти три простых числа называются тройкой простых чисел .

Для пары простых чисел-близнецов вида (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1 n должно заканчиваться цифрой 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ). .

Изолированное простое число [ править ]

( Изолированное простое число также известное как простое простое число или простое число, не являющееся близнецом ) — это такое простое число p , что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 — изолированное простое число, поскольку 21 и 25 — составные .

Первые несколько изолированных простых чисел

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510 .

следует Из теоремы Брюна , что почти все простые числа изолированы в том смысле, что отношение количества изолированных простых чисел меньше заданного порога n к числу всех простых чисел меньше n стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Томас, Келли Дивайн (лето 2014 г.). «Захватывающее математическое путешествие Итан Чжана» . Письмо института . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований – через ias.edu.
^ Тао, Терри, доктор философии. (ведущий) (7 октября 2014 г.). Маленькие и большие промежутки между простыми числами (видеолекция). Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе – через YouTube. Департамент математики
^ «Первые 100 000 простых чисел-близнецов (только первый член пары)» (обычный текст) . Списки. Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
^ Колдуэлл, Крис К. «Все ли простые числа (прошлые 2 и 3) имеют формы $6 n +1$ и $6 n -1$ ?» . Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин . Проверено 27 сентября 2018 г.
^ Брун, В. (1915). «О правиле Гольдбаха и количестве пар простых чисел». Архив математики и Naturvidenskab (на немецком языке). 34 (8): 3–19. ISSN 0365-4524 . ЯФМ 45.0330.16 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004). Аналитическая теория чисел . Всемирная научная. стр. 313 и 334–335. ISBN 981-256-080-7 . Збл 1074.11001 .
^ Хальберштам, Хейни; Рихерт, Ханс Эгон (2010). Ситовые методы . Дуврские публикации. п. 117.
^ Перейти обратно: ^а ^б де Полиньяк, А. (1849). «Новые исследования простых чисел» . Отчеты (на французском языке). 29 : 397–401. [Из стр. 400] "1 ^{является} Теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел бесконечным числом способов...
^ Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел образуют пары» . Природа . дои : 10.1038/nature.2013.12989 . ISSN 0028-0836 .
^ Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР 3171761 .
^ Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение Полимата: ограниченные промежутки между простыми числами» .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Полимат (michaelnielsen.org) . Проверено 27 марта 2014 г.
^ Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаси, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006). «Существуют небольшие промежутки между простыми числами» . Японская академия. Слушания . Серия А. Математические науки. 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . дои : 10.3792/pjaa.82.61 . МР 2222213 . S2CID 18847478 .
^ Голдстон, Вашингтон ; Грэм, Юго-Запад; Пинц, Дж .; Йылдырым, CY (2009). «Небольшие промежутки между простыми или почти простыми числами». Труды Американского математического общества . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . дои : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 . МР 2515812 . S2CID 12127823 .
^ Мейнард, Джеймс (2015). «Малые промежутки между простыми числами». Анналы математики . Вторая серия. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.1.7 . МР 3272929 . S2CID 55175056 .
^ Полимат, DHJ (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие множество простых чисел» . Исследования в области математических наук . 1 . искусство 12, 83. arXiv : 1407.4897 . дои : 10.1186/s40687-014-0012-7 . МР 3373710 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005597 (десятичное разложение константы простого числа-близнеца)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 ноября 2019 г.
^ Колдуэлл, Крис К. » 2996863034895 × 2 ^1290000 − 1 " . База данных Prime . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
^ «Найдены мировые рекорды простых чисел-близнецов!» . primegrid.com . 20 сентября 2016 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007508 (количество пар простых чисел-близнецов менее 10 ^$н$)» . Интернет- энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 01.11.2019 .
^ Оливейра и Сильва, Томас (7 апреля 2008 г.). значений $(x) и$ π2 $» (x) «$ Таблицы π Также Университет . Получено 7 января.
^ П. А. Клемент (1949). «Сравнения множеств простых чисел». Американский математический ежемесячник . 56 : 23–25. дои : 10.2307/2305816 . JSTOR 2305816 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Слоан, Нил ; Плуфф, Саймон (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2 .

Внешние ссылки [ править ]

«Близнецы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Топ-20 простых чисел-близнецов Криса Колдуэлла на сайте Prime Pages
Ксавье Гурдон, Паскаль Себа: Введение в простые числа-близнецы и константу Бруна
«Официальный пресс-релиз» о 58711-значной записи простых чисел-близнецов
Вайсштейн, Эрик В. «Простые числа-близнецы» . Математический мир .
20 000 первых простых чисел-близнецов
Полиматематика: ограниченные промежутки между простыми числами
Внезапный прогресс в решении проблемы простых чисел взволновал математиков

[1] Томас, Келли Дивайн (лето 2014 г.). «Захватывающее математическое путешествие Итан Чжана» . Письмо института . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований – через ias.edu.

[2] Тао, Терри, доктор философии. (ведущий) (7 октября 2014 г.). Маленькие и большие промежутки между простыми числами (видеолекция). Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе – через YouTube. Департамент математики

[3] «Первые 100 000 простых чисел-близнецов (только первый член пары)» (обычный текст) . Списки. Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин .

[4] Колдуэлл, Крис К. «Все ли простые числа (прошлые 2 и 3) имеют формы $6 n +1$ и $6 n -1$ ?» . Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин . Проверено 27 сентября 2018 г.

[Brun-1915-5] Брун, В. (1915). «О правиле Гольдбаха и количестве пар простых чисел». Архив математики и Naturvidenskab (на немецком языке). 34 (8): 3–19. ISSN 0365-4524 . ЯФМ 45.0330.16 .

[Bateman-Diamond-2004-6] Перейти обратно: ^а ^б Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004). Аналитическая теория чисел . Всемирная научная. стр. 313 и 334–335. ISBN 981-256-080-7 . Збл 1074.11001 .

[7] Хальберштам, Хейни; Рихерт, Ханс Эгон (2010). Ситовые методы . Дуврские публикации. п. 117.

[dePolignac-1849-8] Перейти обратно: ^а ^б де Полиньяк, А. (1849). «Новые исследования простых чисел» . Отчеты (на французском языке). 29 : 397–401. [Из стр. 400] "1 ^{является} Теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел бесконечным числом способов...

[9] Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел образуют пары» . Природа . дои : 10.1038/nature.2013.12989 . ISSN 0028-0836 .

[10] Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР 3171761 .

[11] Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение Полимата: ограниченные промежутки между простыми числами» .

[nielsen-bd-gaps-12] Перейти обратно: ^а ^б «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Полимат (michaelnielsen.org) . Проверено 27 марта 2014 г.

[13] Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаси, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006). «Существуют небольшие промежутки между простыми числами» . Японская академия. Слушания . Серия А. Математические науки. 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . дои : 10.3792/pjaa.82.61 . МР 2222213 . S2CID 18847478 .

[14] Голдстон, Вашингтон ; Грэм, Юго-Запад; Пинц, Дж .; Йылдырым, CY (2009). «Небольшие промежутки между простыми или почти простыми числами». Труды Американского математического общества . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . дои : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 . МР 2515812 . S2CID 12127823 .

[15] Мейнард, Джеймс (2015). «Малые промежутки между простыми числами». Анналы математики . Вторая серия. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.1.7 . МР 3272929 . S2CID 55175056 .

[16] Полимат, DHJ (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие множество простых чисел» . Исследования в области математических наук . 1 . искусство 12, 83. arXiv : 1407.4897 . дои : 10.1186/s40687-014-0012-7 . МР 3373710 .

[17] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005597 (десятичное разложение константы простого числа-близнеца)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 ноября 2019 г.

[18] Колдуэлл, Крис К. » 2996863034895 × 2 ^1290000 − 1 " . База данных Prime . Мартин, Теннесси: UT Мартин .

[19] «Найдены мировые рекорды простых чисел-близнецов!» . primegrid.com . 20 сентября 2016 г.

[20] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007508 (количество пар простых чисел-близнецов менее 10 ^$н$)» . Интернет- энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 01.11.2019 .

[21] Оливейра и Сильва, Томас (7 апреля 2008 г.). значений $(x) и$ π2 $» (x) «$ Таблицы π Также Университет . Получено 7 января.

[22] П. А. Клемент (1949). «Сравнения множеств простых чисел». Американский математический ежемесячник . 56 : 23–25. дои : 10.2307/2305816 . JSTOR 2305816 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

v т Это простых чисел Классы
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers