Уилсон Прайм

Уилсон Прайм
Назван в честь	Джон Уилсон
Количество известных терминов	3
Первые сроки	5 , 13 , 563
ОЭИС Индекс	А007540 ; Простые числа Вильсона: простые числа такой, что ;

В теории чисел простое число Вильсона — это простое число. $p$ такой, что $p^{2}$ делит $(p-1)!+1$ , где " $!$ "обозначает факториал ; сравните это с теоремой Вильсона , которая утверждает, что каждое простое число $p$ делит $(p-1)!+1$ . Оба названы в честь английского математика XVIII века Джона Уилсона ; в 1770 году Эдвард Уоринг приписал теорему Вильсону, ^[1] хотя это было заявлено несколькими столетиями ранее Ибн аль-Хайсамом . ^[2]

Единственные известные простые числа Вильсона — 5 , 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS ). Коста и др. напиши, что "случай $p=5$ тривиально», и приписываем наблюдение Мэтьюза (1892) о том, что 13 является простым числом Вильсона . ^[3]^[4] Ранняя работа над этими числами включала поиски, проведенные NGWH Beeger и Эммой Лемер . ^[5]^[3]^[6] но 563 не был обнаружен до начала 1950-х годов, когда к этой проблеме можно было применить компьютерный поиск. ^[3]^[7]^[8] Если существуют другие, они должны быть больше 2 × 10. ¹³. ^[3] Была выдвинута гипотеза , что существует бесконечно много простых чисел Вильсона и что количество простых чисел Вильсона в интервале $[x,y]$ речь идет о $\log \log _{x}y$ . ^[9]

Было проведено несколько компьютерных поисков в надежде найти новые простые числа Вильсона. ^[10]^[11]^[12]Проект Ibercivis распределенных вычислений включает поиск простых чисел Вильсона. ^[13] Другой поиск был координирован на форуме Great Internet Mersenne Prime Search . ^[14]

Обобщения [ править ]

Простые числа Вильсона порядка $n$ [ править ]

Теорему Вильсона можно выразить в общем виде как $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ для каждого целого числа $n\geq 1$ и премьер $p\geq n$ . Обобщенные простые числа Вильсона порядка $n$ — это простые числа $p$ такие, что $p^{2}$ делит $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ .

Было высказано предположение, что для каждого натурального числа $n$ существует бесконечно много простых чисел Вильсона порядка $n$ .

Наименьшие обобщенные простые числа Вильсона порядка $n$ являются:

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (Следующий член > 1,4 × 10 ⁷) (последовательность A128666 в OEIS )

Почти простые числа Вильсона

$п$	$Б$
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Премьер $p$ удовлетворение соответствия $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ с маленьким $|B|$ можно назвать почти простым числом Вильсона . Почти вильсоновские простые числа с $B=0$ являются настоящими простыми числами Вильсона. В таблице справа перечислены все такие простые числа с $|B|\leq 100$ от 10 ⁶ до 4 × 10 ¹¹. ^[3]

Числа Вильсона [ править ]

Число Вильсона – натуральное число $n$ такой, что $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ , где

W(n)=\pm 1+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k},

и где

\pm 1

член положителен тогда и только тогда, когда

n

имеет примитивный корень и отрицательный в противном случае. ^[15] Для каждого натурального числа

n

,

W(n)

делится на

n

и коэффициенты (называемые обобщенными коэффициентами Вильсона ) перечислены в OEIS : A157249 . Числа Вильсона

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... (последовательность A157250 в OEIS )

Если число Вильсона $n$ является простым, то $n$ является простым числом Вильсона. Существует 13 чисел Вильсона до 5 × 10. ⁸. ^[16]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Эдвард Уоринг, Meditationes Algebraicae (Кембридж, Англия: 1770), стр. 218 (на латыни). В третьем (1782 г.) издании «Алгебраических размышлений » Уоринга теорема Вильсона появляется как задача 5 на странице 380 . На этой странице Уоринг заявляет: «Это самое элегантное свойство простых чисел было открыто самым выдающимся человеком и самым опытным в математике Джоном Уилсоном Армигером». (Человек, самый выдающийся и самый опытный в математике, сквайр Джон Уилсон, обнаружил это самое изящное свойство простых чисел.)
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Коста, Эдгар; Гербич, Роберт; Харви, Дэвид (2014). «Поиск простых чисел Вильсона». Математика вычислений . 83 (290): 3071–3091. arXiv : 1209.3436 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02800-7 . МР 3246824 . S2CID 6738476 .
^ Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). «Пример 15». Теория чисел, часть 1 . Дейтон и Белл. п. 318.
^ Лемер, Эмма (апрель 1938 г.). «О сравнениях с числами Бернулли и частными Ферма и Вильсона» (PDF) . Анналы математики . 39 (2): 350–360. дои : 10.2307/1968791 . JSTOR 1968791 . Проверено 8 марта 2011 г.
^ Бигер, NGWH (1913–1914). «Некоторые замечания по поводу сравнений $r^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ И $(p-1)!\equiv -1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ". Вестник математики . 43 : 72–84.
^ Уолл, Д.Д. (октябрь 1952 г.). «Неопубликованные математические таблицы» (PDF) . Математические таблицы и другие средства вычислений . 6 (40): 238. дои : 10.2307/2002270 . JSTOR 2002270 .
^ Гольдберг, Карл (1953). «Таблица частных Вильсона и третьего простого числа Вильсона». Дж. Лондон Математика. Соц. 28 (2): 252–256. дои : 10.1112/jlms/s1-28.2.252 .
^ Главный глоссарий: простое число Вильсона
^ Макинтош, Р. (9 марта 2004 г.). «СТАТУС УИЛСОНА (февраль 1999 г.)» . Электронное письмо Полу Циммерману . Проверено 6 июня 2011 г.
^ Крэндалл, Ричард Э.; Дилчер, Карл; Померанс, Карл (1997). «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона» . Математика. Вычислить . 66 (217): 433–449. Бибкод : 1997MaCom..66..433C . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 . См. стр. 443.
^ Рибенбойм, П. ; Келлер, В. (2006). Мир простых чисел: тайны и рекорды (на немецком языке). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer. п. 241. ИСБН 978-3-540-34283-0 .
^ «Сайт Иберцивис» . Архивировано из оригинала 20 июня 2012 г. Проверено 10 марта 2011 г.
^ Распределенный поиск простых чисел Вильсона (на mersenneforum.org)
^ см . обобщение Гаусса теоремы Вильсона .
^ Ага, Такаши; Дилчер, Карл; Скула, Ладислав (1998). «Факторы Вильсона для составных модулей» (PDF) . Математика. Вычислить . 67 (222): 843–861. Бибкод : 1998MaCom..67..843A . дои : 10.1090/S0025-5718-98-00951-X .

Дальнейшее чтение [ править ]

Крэндалл, Ричард Э.; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива . Спрингер-Верлаг. п. 29. ISBN 978-0-387-94777-8 .
Пирсон, Эрна Х. (1963). «О сравнениях ( p − 1)! ≡ −1 и 2 ^{р -1} ≡ 1 (против p ²)» (PDF) . Math. Comput . 17 : 194–195.

Внешние ссылки [ править ]

[1] Эдвард Уоринг, Meditationes Algebraicae (Кембридж, Англия: 1770), стр. 218 (на латыни). В третьем (1782 г.) издании «Алгебраических размышлений » Уоринга теорема Вильсона появляется как задача 5 на странице 380 . На этой странице Уоринг заявляет: «Это самое элегантное свойство простых чисел было открыто самым выдающимся человеком и самым опытным в математике Джоном Уилсоном Армигером». (Человек, самый выдающийся и самый опытный в математике, сквайр Джон Уилсон, обнаружил это самое изящное свойство простых чисел.)

[2] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .

[Search-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Коста, Эдгар; Гербич, Роберт; Харви, Дэвид (2014). «Поиск простых чисел Вильсона». Математика вычислений . 83 (290): 3071–3091. arXiv : 1209.3436 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02800-7 . МР 3246824 . S2CID 6738476 .

[4] Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). «Пример 15». Теория чисел, часть 1 . Дейтон и Белл. п. 318.

[lehmer-5] Лемер, Эмма (апрель 1938 г.). «О сравнениях с числами Бернулли и частными Ферма и Вильсона» (PDF) . Анналы математики . 39 (2): 350–360. дои : 10.2307/1968791 . JSTOR 1968791 . Проверено 8 марта 2011 г.

[6] Бигер, NGWH (1913–1914). «Некоторые замечания по поводу сравнений $r^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ И $(p-1)!\equiv -1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ". Вестник математики . 43 : 72–84.

[7] Уолл, Д.Д. (октябрь 1952 г.). «Неопубликованные математические таблицы» (PDF) . Математические таблицы и другие средства вычислений . 6 (40): 238. дои : 10.2307/2002270 . JSTOR 2002270 .

[8] Гольдберг, Карл (1953). «Таблица частных Вильсона и третьего простого числа Вильсона». Дж. Лондон Математика. Соц. 28 (2): 252–256. дои : 10.1112/jlms/s1-28.2.252 .

[9] Главный глоссарий: простое число Вильсона

[10] Макинтош, Р. (9 марта 2004 г.). «СТАТУС УИЛСОНА (февраль 1999 г.)» . Электронное письмо Полу Циммерману . Проверено 6 июня 2011 г.

[11] Крэндалл, Ричард Э.; Дилчер, Карл; Померанс, Карл (1997). «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона» . Математика. Вычислить . 66 (217): 433–449. Бибкод : 1997MaCom..66..433C . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 . См. стр. 443.

[12] Рибенбойм, П. ; Келлер, В. (2006). Мир простых чисел: тайны и рекорды (на немецком языке). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer. п. 241. ИСБН 978-3-540-34283-0 .

[13] «Сайт Иберцивис» . Архивировано из оригинала 20 июня 2012 г. Проверено 10 марта 2011 г.

[14] Распределенный поиск простых чисел Вильсона (на mersenneforum.org)

[15] см . обобщение Гаусса теоремы Вильсона .

[16] Ага, Такаши; Дилчер, Карл; Скула, Ладислав (1998). «Факторы Вильсона для составных модулей» (PDF) . Математика. Вычислить . 67 (222): 843–861. Бибкод : 1998MaCom..67..843A . дои : 10.1090/S0025-5718-98-00951-X .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers