Первобытное число

В развлекательной теории чисел первобытное число — это натуральное число n , для которого количество простых чисел , которые можно получить перестановкой некоторых или всех его цифр (по основанию 10 ), больше, чем количество простых чисел, которые можно получить таким же способом для любое меньшее натуральное число. Первобытные числа были впервые описаны Майком Китом .

Первые несколько простых чисел

1, 2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, 1379, 10079, 10123, 10136, 10139, 10237, 10279, 10367, 10379, 1 2379, 13679, ... ( последовательность A072857 в OEIS )

Число простых чисел, которые можно получить из простых чисел, равно

0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 19, 21, 26, 29, 31, 33, 35, 41, 53, 55, 60, 64, 89, 96, 106, ... ( последовательность A076497 в OEIS )

Наибольшее количество простых чисел, которое можно получить из простого числа, состоящего из n цифр, равно

1, 4, 11, 31, 106, 402, 1953, 10542, 64905, 362451, 2970505, ... (последовательность A076730 в OEIS )

Наименьшее n -значное число, в котором можно получить такое количество простых чисел, равно

2, 37, 137, 1379, 13679, 123479, 1234679, 12345679, 102345679, 1123456789, 10123456789, ... (последовательность A134596 в OEIS )

Простые числа могут быть составными . Первый — 1037 = 17×61. Первобытное простое число — это первобытное число, которое также является простым числом:

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, 10139, 12379, 13679, 100279, 100379, 123479, 1001237, 1002347, 1003679, 1012379, ... (последовательность A119535 в OEIS )

В следующей таблице показаны первые семь первобытных чисел с указанием возможных простых чисел и их количества.

Первобытное число	Получены простые числа	Количество простых чисел
1		0
2	2	1
13	3, 13, 31	3
37	3, 7, 37, 73	4
107	7, 17, 71, 107, 701	5
113	3, 11, 13, 31, 113, 131, 311	7
137	3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173, 317	11

База 12 [ править ]

В системе счисления 12 первоначальные числа: (используя перевернутые двойку и тройку для десяти и одиннадцати соответственно)

1, 2, 13, 15, 57, 115, 117, 125, 135, 157, 1017, 1057, 1157, 1257, 125Ɛ, 157Ɛ, 167Ɛ, ...

Количество простых чисел, которые можно получить из простых чисел, равно: (записано по основанию 10)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 20, 23, 27, 29, 33, 35, ...

Первобытное число	Получены простые числа	Количество простых чисел (записанных по основанию 10)
1		0
2	2	1
13	3, 31	2
15	5, 15, 51	3
57	5, 7, 57, 75	4
115	5, 11, 15, 51, 511	5
117	7, 11, 17, 117, 171, 711	6
125	2, 5, 15, 25, 51, 125, 251	7
135	3, 5, 15, 31, 35, 51, 315, 531	8
157	5, 7, 15, 17, 51, 57, 75, 157, 175, 517, 751	11

Обратите внимание, что 13, 115 и 135 являются составными: 13 = 3×5, 115 = 7×1Ɛ и 135 = 5×31.

См. также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: Первобытное число на The Prime Pages
Майк Кейт , Целые числа, содержащие множество вложенных простых чисел

v т Это простых чисел Классы
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers