Проник номер

Проническое число — это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел , то есть число вида $n(n+1)$ . ^[1] Изучение этих чисел восходит к Аристотелю . Их еще называют продолговатыми числами , гетеромецическими числами , ^[2] или прямоугольные числа ; ^[3] однако термин «прямоугольное число» также применялся к составным числам . ^[4]^[5]

Первые несколько пронических чисел:

0 , 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462… (последовательность A002378 в ОЭИС ).

Сдача в аренду $P_{n}$ обозначаем проническое число $n(n+1)$ , у нас есть $P_{{-}n}=P_{n{-}1}$ . Поэтому, обсуждая пронические числа, можно предположить, что $n\geq 0$ без потери общности — соглашение, принятое в следующих разделах.

Как фигурные числа [ править ]

Дважды треугольное число является проническим числом.

n $n- ное$ проническое число на $больше$ n $-$ го квадратного числа

Пронические числа изучались как фигурные числа наряду с треугольными и квадратными числами в Аристотеля » «Метафизике . ^[2] и их открытие было приписано гораздо раньше пифагорейцам . ^[3]Пронические числа как разновидность фигурного числа иногда называют продолговатыми. ^[2] потому что они аналогичны многоугольным числам в этом отношении: ^[1]


1 × 2	2 × 3	3 × 4	4 × 5

- е $n$ проническое число представляет собой сумму первых $n$ четных целых чисел и, следовательно, в два раза больше $n-$ го треугольного числа. ^[1]^[2] и $n$ больше, чем $n$ -е квадратное число , как указано альтернативной формулой $n 2 + n$ для пронических номеров. n $- е$ проническое число — это также разность нечетного квадрата $(2 n + 1) 2$ и $(n +1)$ -е центрированное шестиугольное число .

Поскольку количество недиагональных элементов в квадратной матрице в два раза превышает треугольное число, это проническое число. ^[6]

Сумма пронических чисел [ править ]

Частичная сумма первых $n$ положительных пронических чисел в два раза превышает значение $n-$ го тетраэдрического числа :

\sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}

.

Сумма обратных положительных пронических чисел (исключая 0) представляет собой телескопический ряд , сумма которого равна 1: ^[7]

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1

.

Частичная сумма первых $n$ членов этого ряда равна ^[7]

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}

.

Попеременная сумма обратных положительных чисел проника (исключая 0) представляет собой сходящийся ряд :

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1

.

Дополнительные свойства [ править ]

Пронические числа четные, и 2 — единственное простое проническое число. Это также единственное проническое число в последовательности Фибоначчи и единственное проническое число Лукаса . ^[8]^[9]

двух Среднее арифметическое последовательных пронических чисел представляет собой квадратное число :

{\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}

Таким образом, между любыми двумя последовательными проническими числами есть квадрат. Он уникален, поскольку

n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.

Другим следствием этой цепочки неравенств является следующее свойство. Если $m$ — проникное число, то справедливо следующее:

\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.

Тот факт, что последовательные целые числа взаимно просты и что проническое число является произведением двух последовательных целых чисел, приводит к ряду свойств. Каждый отдельный простой фактор пронического числа присутствует только в одном из факторов $n$ или $n + 1$ . Таким образом, проническое число бесквадратно тогда и только тогда, когда $n$ и $n + 1$ также бесквадратны. Количество различных простых множителей пронического числа представляет собой сумму количества различных простых множителей $n$ и $n + 1$ .

любого пронического числа прибавить 25 Если к десятичному представлению , результатом будет квадратное число, квадрат числа, оканчивающегося на 5; например, 625 = 25 ² и 1225 = 35 ². Это так, потому что

100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}

.

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б ^с Конвей, Дж. Х. ; Гай, Р.К. (1996), Книга чисел , Нью-Йорк: Коперник, рисунок 2.15, с. 34 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Норр, Уилбур Ричард (1975), Эволюция евклидовых элементов , Дордрехт-Бостон, Массачусетс: D. Reidel Publishing Co., стр. 144–150, ISBN 90-277-0509-7 , МР 0472300 .
^ Jump up to: ^а ^б Бен-Менахем, Ари (2009), Историческая энциклопедия естественных и математических наук, том 1 , справочник Springer, Springer-Verlag, стр. 161, ИСБН 9783540688310 .
^ «Плутарх, De Iside et Osiride, раздел 42» , www.perseus.tufts.edu , получено 16 апреля 2018 г.
^ Хиггинс, Питер Майкл (2008), История чисел: от подсчета к криптографии , Copernicus Books, стр. 9, ISBN 9781848000018 .
^ Раммель, Рудольф Дж. (1988), Прикладной факторный анализ , издательство Северо-западного университета, стр. 319, ISBN 9780810108240 .
^ Jump up to: ^а ^б Франц, Марк (2010), «Телескопическая серия в перспективе» , в Дифендерфере, Карен Л .; Нельсен, Роджер Б. (ред.), Коллекция исчисления: ресурс для AP и не только , Справочные материалы для классных комнат, Математическая ассоциация Америки, стр. 467–468, ISBN 9780883857618 .
^ МакДэниел, Уэйн Л. (1998), «Числа Проника Лукаса» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, MR 1605345 , заархивировано из оригинала (PDF) 05 июля 2017 г. , получено в 2011 г. 05-21 .
^ Макдэниел, Уэйн Л. (1998), «Пронические числа Фибоначчи» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, MR 1605341 .

[bon-1] Jump up to: ^а ^б ^с Конвей, Дж. Х. ; Гай, Р.К. (1996), Книга чисел , Нью-Йорк: Коперник, рисунок 2.15, с. 34 .

[knorr-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Норр, Уилбур Ричард (1975), Эволюция евклидовых элементов , Дордрехт-Бостон, Массачусетс: D. Reidel Publishing Co., стр. 144–150, ISBN 90-277-0509-7 , МР 0472300 .

[hist-3] Jump up to: ^а ^б Бен-Менахем, Ари (2009), Историческая энциклопедия естественных и математических наук, том 1 , справочник Springer, Springer-Verlag, стр. 161, ИСБН 9783540688310 .

[4] «Плутарх, De Iside et Osiride, раздел 42» , www.perseus.tufts.edu , получено 16 апреля 2018 г.

[5] Хиггинс, Питер Майкл (2008), История чисел: от подсчета к криптографии , Copernicus Books, стр. 9, ISBN 9781848000018 .

[6] Раммель, Рудольф Дж. (1988), Прикладной факторный анализ , издательство Северо-западного университета, стр. 319, ISBN 9780810108240 .

[telescope-7] Jump up to: ^а ^б Франц, Марк (2010), «Телескопическая серия в перспективе» , в Дифендерфере, Карен Л .; Нельсен, Роджер Б. (ред.), Коллекция исчисления: ресурс для AP и не только , Справочные материалы для классных комнат, Математическая ассоциация Америки, стр. 467–468, ISBN 9780883857618 .

[8] МакДэниел, Уэйн Л. (1998), «Числа Проника Лукаса» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, MR 1605345 , заархивировано из оригинала (PDF) 05 июля 2017 г. , получено в 2011 г. 05-21 .

[9] Макдэниел, Уэйн Л. (1998), «Пронические числа Фибоначчи» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, MR 1605341 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect