Идеальный номер

В математике Эйлера идонеальные числа (также называемые подходящими числами или удобными числами ) — это положительные целые числа D такие, что любое целое число можно выразить только одним способом: x ² ± Ты ² (где х ² относительно прост с Dy ²) — степень простого числа или дважды степень простого числа. является число, которое имеет два различных представления в виде суммы двух квадратов В частности, составным . Каждое идонеальное число порождает множество, содержащее бесконечное число простых чисел и пропускающее бесконечное число других простых чисел.

Определение [ править ]

Целое положительное число n является идонеальным тогда и только тогда, когда оно не может быть записано как ab + bc + ac для различных целых положительных чисел a, b и c . ^[1]

Достаточно рассмотреть множество ${n + k 2 | 3 . к 2 \leq п \land НОД (п, k) знак равно 1 }$ ; если все эти числа имеют вид $p$ , $p 2$ , $2 \cdot п$ или 2 ^с для некоторого целого числа s , где $p$ — простое число, тогда $n$ идонеально. ^[2]

Предположительно полный список [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли идональные числа 65, 66 или 67?

(еще нерешенные задачи по математике)

65 идонеальных чисел, найденных Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом и предположительно единственных таких чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 и 1848 (последовательность A000926 в OEIS ).

Результаты Питера Дж. Вайнбергера за 1973 год. ^[3] подразумевают, что существует не более двух других идонеальных чисел и что приведенный выше список является полным, если верна обобщенная гипотеза Римана (некоторые источники ошибочно утверждают, что результаты Вайнбергера предполагают, что существует не более одного другого идонеального числа). ^[4]

См. также [ править ]

Список нерешенных задач по математике

Примечания [ править ]

↑ Эрик Рейнс, OEIS : A000926 Комментарии к A000926, декабрь 2007 г.
^ Робертс, Джо: Приманка целых чисел. Математическая ассоциация Америки, 1992 г.
^ Acta Arith., 22 (1973), с. 117-124
^ Кани, Эрнст (2011). «Идонеальные числа и некоторые обобщения» (PDF) . Анналы математических наук Квебека . 35 (2). Следствие 23, замечание 24.

Ссылки [ править ]

З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич, Теория чисел . Academic Press, Нью-Йорк, 1966, стр. 425–430.
Д.А. Кокс (1989). Простые числа формы x ² + ². Уайли-Интерсайенс. п. 61. ИСБН 0-471-50654-0 .
Л. Эйлер, « Иллюстрация парадокса об идонеальных, или подходящих, числах », 1806 г.
Г. Фрей, Удобные числа Эйлера, Матем. Интел. Том. 7 № 3 (1985), 55–58 и 64.
ОЙ. Келлер, О «Numeri idonei» Эйлера, Contributions Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Математика. Откр. 85м:11019]
Г.Б. Мэтьюз, Теория чисел , Челси, без даты, стр. 263.
П. Рибенбойм , «Galimatias Arithmeticae», в журнале Mathematics Magazine 71 (5) 339, 1998 г. MAA или «Мои числа, мои друзья», глава 11, Springer-Verlag, 2000 г., Нью-Йорк.
Дж. Стейниг, Об идейных числах Эйлера, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
Вейль А. « Теория чисел: подход через историю»; от Хаммурапи до Лежандра , Биркхойзер, Бостон, 1984 год; см. стр. 188.
П. Вайнбергер, Показатели групп классов комплексных квадратичных полей, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
Эрнст Кани, Идонеальные числа и некоторые обобщения, Ann. наук. Математика. Квебек 35, № 2 (2011), 197–227.

Внешние ссылки [ править ]

К.С. Браун, Mathpages, допустимые числа
М. Вальдшмидт, Открытые диофантовые задачи
Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число» . Математический мир .

[1] Эрик Рейнс, OEIS : A000926 Комментарии к A000926, декабрь 2007 г.

[2] Робертс, Джо: Приманка целых чисел. Математическая ассоциация Америки, 1992 г.

[3] Acta Arith., 22 (1973), с. 117-124

[4] Кани, Эрнст (2011). «Идонеальные числа и некоторые обобщения» (PDF) . Анналы математических наук Квебека . 35 (2). Следствие 23, замечание 24.

[1]

[2]

[3]

[4]