Сумма-номер продукта

Число -произведение суммы в заданной системе счисления $b$ — натуральное число , равное произведению суммы его цифр и произведения его цифр.

В любой заданной базе существует конечное число чисел-сумм-произведений. $b$ . В базе 10 имеется ровно четыре произведения суммы числа (последовательность A038369 в OEIS ): 0, 1, 135 и 144. ^[1]

Определение [ править ]

Позволять $n$ быть натуральным числом. Определим функцию суммы-произведения для базы $b>1$ , $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ , быть следующим:

F_{b}(n)=\left(\sum _{i=1}^{k}d_{i}\right)\!\!\left(\prod _{j=1}^{k}d_{j}\right)

где $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ это количество цифр в числе по основанию $b$ , и

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

— значение каждой цифры числа. Натуральное число $n$ является произведения суммы, числом если это фиксированная точка для $F_{b}$ , что происходит, если $F_{b}(n)=n$ . Натуральные числа 0 и 1 являются тривиальными -произведениями числами для всех $b$ , а все остальные числа -произведения суммы являются нетривиальными -произведениями суммы числами .

Например, число 144 по основанию 10 является числом произведения суммы, потому что $1+4+4=9$ , $1\times 4\times 4=16$ , и $9\times 16=144$ .

Натуральное число $n$ является общительным числом-произведением суммы, если оно является периодической точкой для $F_{b}$ , где $F_{b}^{p}(n)=n$ для положительного целого числа $p$ , и образует цикл периода $p$ . Число -произведение суммы — это общительное число-произведение с $p=1$ , а дружественное -произведение число — это общительное число-произведение с $p=2.$

Все натуральные числа $n$ являются предпериодическими точками для $F_{b}$ , независимо от базы. Это потому, что для любого заданного количества цифр $k$ , минимально возможное значение $n$ является $b^{k-1}$ и максимально возможное значение $n$ является $b^{k}-1=\sum _{i=0}^{k-1}(b-1)^{k}.$ Следовательно, максимально возможная сумма цифр равна $k(b-1)$ и максимально возможное цифровое произведение равно $(b-1)^{k}.$ Таким образом, суммы-произведения равно значение функции $F_{b}(n)=k(b-1)^{k+1}.$ Это говорит о том, что $k(b-1)^{k+1}\geq n\geq b^{k-1},$ или разделив обе части на $(b-1)^{k-1}$ , $k(b-1)^{2}\geq {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k-1}.$ С ${\frac {b}{b-1}}\geq 1,$ это означает, что будет максимальное значение $k$ где ${\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq k(b-1)^{2},$ из-за экспоненциального характера ${\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}$ и линейность $k(b-1)^{2}.$ За пределами этого значения $k$ , $F_{b}(n)\leq n$ всегда. Таким образом, существует конечное число чисел суммы-произведения , и любое натуральное число гарантированно достигает периодической точки или фиксированной точки меньше, чем $b^{k}-1,$ делая это предпериодической точкой.

Количество итераций $i$ необходимо для $F_{b}^{i}(n)$ достижения фиксированной точки - это произведения функции сохранение суммы $n$ и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Любое целое число, представленное как число-произведение суммы в данной базе, должно, по определению, также быть числом Харшада в этой базе.

Числа сумм-продуктов и циклы F _b для конкретных b [ править ]

Все числа представлены в базе $b$ .

База	Нетривиальные числа-произведения суммы	Циклы
2	(никто)	(никто)
3	(никто)	2 → 11 → 2, 22 → 121 → 22
4	12	(никто)
5	341	22 → 31 → 22
6	(никто)	(никто)
7	22, 242, 1254, 2343, 116655, 346236, 424644
8	(никто)
9	13, 281876, 724856, 7487248	53 → 143 → 116 → 53
10	135, 144
11	253, 419, 2189, 7634, 82974
12	128, 173, 353
13	435, А644, 268956
14	328, 544, 818С
15	2585
16	14
17	33, 3Б2, 3993, 3Е1Е, С34Д, С8А2
18	175, 2Д2, 4Б2
19	873, Б1Е, 24А8, ЕАХ1, 1А78А, 6EC4B7
20	1D3, 14C9C, 22DCCG
21	1CC69
22	24, 366С, 6Л1Е, 4796Г
23	7D2, J92, 25EH6
24	33DC
25	15, БД75, 1ББН8А
26	81М, ДЖН44, 2С88Г, ЕН888
27	$\varnothing$
28	15Б
29	$\varnothing$
30	976, 85МДА
31	44, 13Н, 1Е5
32	$\varnothing$
33	1КС69, 54ГСА
34	25Q8, 16L6W, B6CBQ
35	4U5W5
36	16, 22О

Расширение для отрицательных целых чисел [ править ]

Числа суммы-произведения можно расширить до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Пример программирования [ править ]

В приведенном ниже примере реализована функция sum-product, описанная в приведенном выше определении, для поиска sum-product чисел и циклов в Python .

def sum_product(x: int, b: int) -> int:    """Sum-product number."""    sum_x = 0    product = 1    while x > 0:        if x % b > 0:            sum_x = sum_x + x % b            product = product * (x % b)        x = x // b    return sum_x * productdef sum_product_cycle(x: int, b: int) -> list[int]:    seen = []    while x not in seen:        seen.append(x)        x = sum_product(x, b)    cycle = []    while x not in cycle:        cycle.append(x)        x = sum_product(x, b)    return cycle

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038369 (Числа n такие, что n = (произведение цифр n) * (сумма цифр n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038369 (Числа n такие, что n = (произведение цифр n) * (сумма цифр n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1]