Додекаэдрическое число

Додекаэдрическое число — фигурное число , обозначающее додекаэдр . е n- додекаэдрическое число определяется формулой

${n(3n-1)(3n-2) \over 2}={3n \choose 3}$

Первые такие числа — 0, 1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480,… (последовательность A006566 в OEIS ).

История

Первое исследование додекаэдрических чисел, по-видимому, было проведено Рене Декартом около 1630 года в его «De Solidorum Elementis» . До Декарта фигурные числа изучались древними греками и Иоганном Фаульхабером , но только для многоугольных чисел , пирамидальных чисел и кубов . Декарт ввёл изучение фигурных чисел, основанное на Платоновых телах и некоторых полуправильных многогранниках ; его работа включала додекаэдрические числа. Однако De Solidorum Elementis был утерян и открыт только в 1860 году. Тем временем додекаэдрические числа снова изучались другими математиками, в том числе Фридрихом Вильгельмом Марпургом в 1774 году, Георгом Симоном Клюгелем в 1808 году и сэром Фредериком Поллоком в 1850 году.

Свойства

(3n+1) тетраэдрическое число является также (n+1) додекаэдрическим числом.

(3n+1)-е тетраэдрическое число является также (n+1)-м додекаэдрическим числом. Проиллюстрировано геометрическое изображение этого равенства. Когда треугольные грани тетраэдра делятся на конгруэнтные трапеции, в результате получается додекаэдрический граф; с массивом фигурных чисел для (3n+1)-го тетраэдрического числа каждое ребро додекаэдрического графа падает по (n+1) единичным шарам.

Генерирующая функция

Обычная производящая функция додекаэдрических чисел равна

${\frac {x(1+16x+10x^{2})}{(-1+x)^{4}}}$