Ахиллесово число

Число Ахиллеса — это число, которое является мощным , но не является совершенной степенью . ^[1] Положительное целое число $n$ является мощным числом, если для каждого множителя $p$ числа $n$ простого $p 2$ также является делителем . Другими словами, каждый простой множитель при факторизации появляется как минимум в квадрате. Все числа Ахилла являются мощными. Однако не все мощные числа являются числами Ахилла: только те, которые нельзя представить в виде $m. к$ , где $m$ и $k$ — целые положительные числа, большие 1.

Числа Ахилла были названы Генри Боттомли в честь Ахилла , героя Троянской войны , который также был могущественным, но несовершенным. Сильные числа Ахилла — это числа Ахилла, коэффициенты Эйлера которых также являются числами Ахилла; самые маленькие — 500 и 864. ^[2]

Последовательность чисел Ахилла [ править ]

Число $n = p 1 1 п 2 a а2 \dots п к к к$ является мощным , если $min(a 1, a 2, \dots, a k) \geq 2$ . Если дополнительно $НОД (a 1, a 2, \dots, a k) = 1,$ то число является ахиллесовым числом.

Ахилловы числа до 5000:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312 , 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (последовательность A052486 в OEIS ).

Наименьшая пара последовательных чисел Ахилла: ^[3]

5425069447 = 7 ³ × 41 ² × 97 ²

5425069448 = 2 ³ × 26041 ²

Примеры [ править ]

Например, 108 — мощное число. Его простая факторизация равна 2 ² · 3 ³, и, следовательно, его простые делители равны 2 и 3. Оба 2 ² = 4 и 3 ² = 9 являются делителями 108. Однако 108 нельзя представить в виде $m к$ , где $m$ и $k$ — целые положительные числа, большие 1, поэтому 108 — ахиллесово число.

Целое число 360 не является числом Ахиллеса, поскольку оно не является мощным. Один из его простых делителей равен 5, но число 360 не делится на 5. ² = 25.

Наконец, 784 не является числом Ахиллеса. Это мощное число, потому что его единственными простыми делителями являются не только 2 и 7, но и 2. ² = 4 и 7 ² = 49 являются его делителями. Это совершенная сила:

784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}.\,

Так что это не ахиллесово число.

Целое число 500 = 2 ² × 5 ³ является сильным числом Ахилла, так как его коэффициент Эйлера равен 200 = 2. ³ × 5 ² также является числом Ахиллеса.

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Ахиллесово число» . Математический мир .
^ «Задача 302 — Проект Эйлера» . projecteuler.net .
^ Карлос Ривера, Основные головоломки и соединение задач , Задача 53

[mw-1] Вайсштейн, Эрик В. «Ахиллесово число» . Математический мир .

[2] «Задача 302 — Проект Эйлера» . projecteuler.net .

[3] Карлос Ривера, Основные головоломки и соединение задач , Задача 53

[1]

[2]

[3]

v т и Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect