Автоморфное число

В математике автоморфное число (иногда называемое круговым числом ) — это натуральное число в заданной системе счисления. $b$ которого квадрат «заканчивается» теми же цифрами, что и само число.

Определение и свойства

Учитывая базу чисел $b$, натуральное число $n$ с $k$ цифр является автоморфным числом, если $n$ является неподвижной точкой полиномиальной функции $f(x)=x^{2}$ над $\mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z}$, кольцо целых чисел по модулю $b^{k}$. В качестве обратного предела $\mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z}$ является $\mathbb {Z} _{b}$, кольцо $b$-адические целые числа, автоморфные числа используются для поиска числовых представлений неподвижных точек $f(x)=x^{2}$ над $\mathbb {Z} _{b}$.

Например, с $b=10$, имеется четыре 10-адических неподвижных точки $f(x)=x^{2}$, последние 10 цифр которого:

$\ldots 0000000000$

$\ldots 0000000001$

$\ldots 8212890625$ (последовательность A018247 в OEIS )

$\ldots 1787109376$ (последовательность A018248 в OEIS )

Таким образом, автоморфные числа по основанию 10 : 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 7. 87109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625 , 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (последовательность A003226 в OEIS ).

Фиксированная точка $f(x)$ является нулем функции $g(x)=f(x)-x$. В кольце целых чисел по модулю $b$, есть $2^{\omega (b)}$ нули до $g(x)=x^{2}-x$, где простая омега-функция $\omega (b)$ количество различных простых делителей в $b$. Элемент $x$ в $\mathbb {Z} /b\mathbb {Z}$ является нулем $g(x)=x^{2}-x$ тогда и только тогда, когда $x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}$ или $x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}$ для всех $p|b$. Поскольку существует два возможных значения в $\lbrace 0,1\rbrace$, и есть $\omega (b)$ такой $p|b$, есть $2^{\omega (b)}$ нули $g(x)=x^{2}-x$, и, таким образом, существуют $2^{\omega (b)}$ фиксированные точки $f(x)=x^{2}$. По лемме Гензеля , если существуют $k$ нули или неподвижные точки полиномиальной функции по модулю $b$, то есть $k$ соответствующие нули или фиксированные точки одной и той же функции по модулю любой степени $b$, и это остается верным в обратном пределе . Таким образом, в любой данной базе $b$ есть $2^{\omega (b)}$ $b$-адические неподвижные точки $f(x)=x^{2}$.

Поскольку 0 всегда является делителем нуля , 0 и 1 всегда являются фиксированными точками $f(x)=x^{2}$, а 0 и 1 — автоморфные числа в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если $b$ является простой степенью , то кольцо $b$-адические числа не имеют делителей нуля, кроме 0, поэтому единственные фиксированные точки $f(x)=x^{2}$ равны 0 и 1. В результате нетривиальные автоморфные числа , отличные от 0 и 1, существуют только тогда, когда база $b$ имеет по крайней мере два различных простых делителя.

Автоморфные числа по основанию b

Все $b$-адические числа представлены в базе $b$, используя A-Z для представления цифр от 10 до 35.

$b$	Основные факторы $b$	Фиксированные точки в $\mathbb {Z} /b\mathbb {Z}$ из $f(x)=x^{2}$	$b$-адические неподвижные точки $f(x)=x^{2}$	Автоморфные числа в базе $b$
6	2, 3	0, 1, 3, 4	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 2221350213$ $\ldots 3334205344$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344, ...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 8212890625$ $\ldots 1787109376$	0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, ...
12	2, 3	0, 1, 4, 9	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 21{\text{B}}61{\text{B}}3854$ $\ldots 9{\text{A}}05{\text{A}}08369$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9А05А08369, ...
14	2, 7	0, 1, 7, 8	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 7337{\text{A}}{\text{A}}0{\text{C}}37$ $\ldots 6{\text{A}}{\text{A}}633{\text{D}}1{\text{A}}8$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6AA633D 1А 8, 7337AA0C37,...
15	3, 5	0, 1, 6, 10	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 624{\text{D}}4{\text{B}}{\text{D}}{\text{A}}86$ $\ldots 8{\text{C}}{\text{A}}1{\text{A}}3146{\text{A}}$	0, 1, 6, А, 6А, 86, 46А, А86, 146А, DA86, 3146А, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D, 4 БДА86, 8СА1А3146А,...
18	2, 3	0, 1, 9, 10	...000000 ...000001 ...4E1249 ...D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	...000000 ...000001 ...1AB6B5 ...I98D8G
21	3, 7	0, 1, 7, 15	...000000 ...000001 ...86H7G7 ...CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	...000000 ...000001 ...8Д185Б ...D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	...000000 ...000001 ...E4D0L9 ...9ЯНВАРЯ2Г
26	2, 13	0, 1, 13, 14	...0000 ...0001 ...1Г6Д ...O9JE
28	2, 7	0, 1, 8, 21	...0000 ...0001 ...AAQ8 ...HH1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	...0000 ...0001 ...B2J6 ...H13A ...1Q7F ...С3МГ ...CSQL ...ИРАП
33	3, 11	0, 1, 12, 22	...0000 ...0001 ...1 км/мин ...VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	...0000 ...0001 ...248 ч ...VTPI
35	5, 7	0, 1, 15, 21	...0000 ...0001 ...5MXL ...TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	...0000 ...0001 ...ДН29 ...MCXS

Расширения

Автоморфные числа можно расширить до любой такой полиномиальной функции степени $n$ ${\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ с b -адическими коэффициентами $a_{i}$. Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево .

а -автоморфные числа

Ан $a$- автоморфное число возникает, когда полиномиальная функция $f(x)=ax^{2}$

Например, с $b=10$ и $a=2$, так как имеются две неподвижные точки для $f(x)=2x^{2}$ в $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$ ( $x=0$ и $x=8$), согласно лемме Гензеля существуют две 10-адические неподвижные точки для $f(x)=2x^{2}$,

$\ldots 0000000000$

$\ldots 0893554688$

поэтому 2-автоморфные числа по основанию 10 — это 0, 8, 88, 688, 4688...

Триморфные числа

Триморфное число или сферическое число возникает, когда полиномиальная функция равна $f(x)=x^{3}$. Все автоморфные числа триморфны. Термины «круговой» и «сферический» раньше использовались для немного другого случая числа, все степени которого имеют ту же самую последнюю цифру, что и само число.

Для базы $b=10$, триморфные числа:

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (последовательность A033819 в OEIS )

Для базы $b=12$, триморфные числа:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, Б, 15, 47, 53, 54, 5Б, 61, 68, 69, 75, А7, Б3, ББ, 115, 253, 368, 369, ...

Пример программирования

def hensels_lemma(polynomial_function, base: int, power: int) -> list[int]:
    """Hensel's lemma."""
    if power == 0:
        return [0]
    if power > 0:
        roots = hensels_lemma(polynomial_function, base, power - 1)
    new_roots = []
    for root in roots:
        for i in range(0, base):
            new_i = i * base ** (power - 1) + root
            new_root = polynomial_function(new_i) % pow(base, power)
            if new_root == 0:
                new_roots.append(new_i)
    return new_roots

base = 10
digits = 10

def automorphic_polynomial(x: int) -> int:
    return x ** 2 - x

for i in range(1, digits + 1):
    print(hensels_lemma(automorphic_polynomial, base, i))

См. также

• Арифметическая динамика
• Число Капрекара
• р - т.е. число
• p -адический анализ
• делитель нуля

Ссылки

• примеры 1-автоморфных чисел на PlanetMath .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Автоморфное число» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Триморфное число» . Математический мир .